系统性风险的度量

假设一组l实体，例如金融企业或企业集团被赋予一定数量的资本k∈ 然后，YK表示资本水平k的随机系统输出，例如金融系统对实体经济的总价值。单调性意味着资本配置越大，系统对经济的随机值越高。我们现在将讨论几个可用于捕获系统性风险的CVM的具体示例。例2.1。考虑一个由金融机构组成的相互关联的经济体n={1,2，…，n}。这些通常被解释为银行，但也可能包括养老基金、对冲基金和其他金融实体。（i） 聚合机制对资本水平不敏感：Chen，Iyengar&Moallemi（2013）的设置是拟议框架的一个特例。让X∈ L(Ohm; Rn）作为金融部门代理人的未来财富，系统中各公司的总财富通过某种递增函数∧：Rn进行聚合→ R.此外，我可能要求每家公司向系统提供资本金。在这种情况下，l=n，最后的随机输出由yk:=∧（X）+nXi=1ki，k给出∈ 注册护士。注意，在考虑资本捐赠之前，这种方法将企业的随机捐赠进行汇总。这些简单地添加到合计金额中。（ii）对资本水平敏感的聚合机制：示例（i）中描述的Chen、Iyengar&Moallemi（2013）的设置可以通过设置yk:=∧（X+k），k进行修改∈ 注册护士。在这种情况下，资本分配会改变聚合函数的参数。这意味着聚合机制对资本水平敏感。

特别是，从资本水平到最终产出的反馈被捕获。（iii）具有市场清算功能的金融网络：假设每个代理人的财富因其主要业务活动在t=0和t=1之间随机演变。例如，在Cifuntes，Shin&Ferrucci（2005）中，这可能被两个随机向量X，S捕捉到∈L(Ohm; Rn）。我们假设这些向量是经济中唯一的随机性来源。向量X的组成部分被解释为各n公司在t=1时拥有的随机现金量；S的组成部分表示公司在非流动资产中出售的野兔数量。与Eisenberg&Noe（2001）的开创性论文类似，Cifuntes、Shin&Ferrucci（2005）假设企业在金融体系中有双边义务。当债务在时间1后清算时，必须清算部分持有的非流动资产；由此导致的价格下降对系统中金融机构的财富产生了不利影响。我们假设金融系统不是孤立存在的，而是与另一个实体——社会联系在一起的。从形式上讲，这是通过简单地通过另一个代表社会的节点（0）来扩大金融网络来实现的。假设金融企业的资本捐赠为（ki）i=1,2，。。。，n、 Cifuntes、Shin&Ferrucci（2005）的网络清算机制提供了实体的权益价值，或者，如果实体违约，则提供了它们对系统造成的损失金额。这些数量可以通过确定函数i:Rn×Rn为每个节点捕获→ R、 i=0，1，2。

，n.如果一个人关注社会财富，那么随机领域k:=e（X+k；S），k可以提供一个合适的CVM∈ 注册护士。这可以看作是示例（ii）的一个特例，聚合函数∧（·）：=e（·；S）。这个例子很容易被艾森伯格和诺伊（2001）模型的其他变体所采用，包括——除了再销售（参见Cifuntes等人（2005）、范斯坦（2015）、赫德（2015））——例如破产成本（参见罗杰斯和维拉特（2013））或交叉控股（参见埃尔辛格（2009））；参见alsoAwiszus&Weber（2015），了解全面的扩展。（iv）集团：虽然前面的例子假设金融机构的资本可以不受任何限制地选择，但对企业集团的限制可以很容易地实施。例如，假设公司由三个组组成；在每一组中，所有公司持有相同数量的资本，即（k，k，…，k，k，k，…，k，k，…，k）T。这可以通过单调递增的函数g:Rl得到→ Rn，设置yk=e（g（k）+X；S） ，其中l=3≤ n和g（k）=（k，…，k，k，…，k，k）在具体示例中。这种形式主义可以很容易地应用于其他单调约束或示例（i）和（ii）中的设置。（v） 条件分布：Adrian&Brunnermeier（2016）提出了一个称为CoV@Rwhich基于条件分位数（或更一般地，基于条件风险度量），以评估市场参与者对整体系统风险的贡献。让市场由n家金融公司组成，这是CoV@R是用随机变量X来描述金融系统，用随机变量X来描述单个企业，Xn。随机变量代表一些有经济意义的数量，比如公平。Givena信心等级qCoV@Rj|C（Xi）=实体j的CQ∈ {1, . . .

，n，system}是V@R在给定的财务条件下，XJ的q级条件为c（Xi）=c∈ 对于一些可测函数C:R→ R:PXj≤ CoV@Rj|C（Xi）=cqC（Xi）=C= q、 在该设置中，可以通过要求k的值来选择相应的CVMYj | C（Xi）=cma∈ R（即，l=1），Yj | C（Xi）=k的分布等同于k+Xjgiven C（Xi）=C的条件分布。当然，当C不仅依赖于实体i的状态，而且依赖于多个实体的状态时，可以进行类似的构造。此外，Yj | C（Xi）=ccan等CVM也为其他条件风险度量提供了基础，超出了V@R.（vi）递增过程：最后，我们想考虑一个简单的例子，其中Y=（Yk）不能在Y的确定性变换中写入∈ L(Ohm; Rn）是金融系统代理人的随机未来财富，该财富通过某种递增函数∧：Rn在系统内各公司之间聚集→ R.然而，我们修改了额外资本如何影响金融实体财富的机制。概括（ii），假设大写字母k∈ RN不一定代表现金分配，而是指具有随机回报的投资。为此，我们考虑(Ohm, F） to（R+，B），其中B表示Borel集。任何资本投资都以挫折为代表∈ B并导致r和OM支付u（·，B）。我们现在可以具体说明银行的财富如何依赖于资本。银行i的资本投资由映射Bi:R建模→ B这在减少(-∞, 0]和递增[0，∞). 然后，在时间1时，资本为Kia的银行i的随机财富由以下公式得出：Ziki=Xi+sgn（ki）·u（·Bi（ki））。设置Zk=（Zk，Zk，…，Znkn）T，CVM由yk=λ（Zk）定义。2.2系统风险度量在本节中，我们定义了CVM的系统风险度量。

首先，我们回顾了货币风险度量理论的重要基本结果，参见F"ollmer&Schied（2011）：任何标量货币风险度量都可以表示为资本要求。本声明描述了以下对应关系：对于任何风险度量，具有非正风险的头寸系列是风险度量的接受集。验收集的元素称为“可接受”。任何头寸的风险计量都可以作为资本要求收回，即需要添加到头寸中以使其可接受的最小货币金额。由于这个简单的事实，风险度量的公理理论也可以基于接受集而不是风险度量。这一观察结果为我们构建系统性风险度量提供了一个有用的起点。准确地说，让我们 X是具有以下定义属性的静态标量货币风险度量的接受集：（i）inf{m∈ R | m∈ A} >-∞,（ii）M∈ 上午∈ X，M≥ M=> M∈ A、 （iii）A在X中闭合。属性（i）描述了不可接受任何确定的货币金额，不包括琐碎的情况。财产（ii）规定，支配可接受头寸的头寸也可接受。房地产（iii）是一种弱条件，如果风险度量是低半连续的，则在大多数情况下是必需的或自动满足的，参见F"ollmer&Schied（2011）、Kaina&Rüschendorf（2009）和Cheridito&L i（2009）。对应于A的标量风险度量是对应的资本要求ρ（M）=inf{M∈ R | m+m∈ A} ，M∈ X，即需要添加到某个位置以使其可接受的最小货币金额。对于系统性风险度量的定义，现在假设接受集A是监管机构的接受标准，即如果随机结果是A，那么它是可以接受的。

给定aCVM Y∈ Y、 大量的资本金∈ 因此，如果可以的话，RLK将被认为是可接受的∈ A.我们将通过收集额外资本的分配来识别系统性风险，从而提高可接受性。定义2.2。设P（Rl；Rl+）={B Rl | B=B+Rl+}是具有排序锥Rl+的上集合。我们称之为f函数：Y×Rl→ P（Rl；Rl+）一种系统性风险度量，如果对某些接受设置为 标量货币风险度量的X:R（Y；k）={m∈ Rl | Yk+m∈ A} 。（3） 备注2.3。风险度量R是一个集值函数，它将使输出可接受的所有资本向量分配给C VM Y和当前资本水平k。CVM Y的单调性和接受集A的性质意味着∈ R（Y；k）也是setm+Rl+ R（Y；k），即R映射到P（Rl；Rl+）。系统性风险度量具有标准属性，如现金不变性和单调性，这是从标量货币风险度量中知道的。引理2.4。让R作为定义2.2中介绍的系统性风险度量。那么R有以下性质：（i）现金不变性：R（Y；k）+m=R（Y；k）- m）(k、 m∈ Rl，Y∈ Y） 。（二）单调性：(Y、 Z∈ Y s.t。K∈ Rl:Yk≥ Zk）=> (K∈ Rl:R（Y；k） R（Z；k））。（iii）闭合值：假设Rl→ X，k 7→ 它是连续的。那么R（Y；k）是Rl的闭子集。财产（i）指的是，如果流动资本减少m，则所需的额外资本必须增加m。财产（ii）规定，如果Y始终大于Z，任何额外资本向量使CVM Z和当前资本水平k的产出可接受，也将使CVM Y“更好”。属性（iii）是一种规律性假设，将在以后使用。由于其现金不变性，在许多情况下，分析R（Y；0）是很有效的，因为R（Y；k）+k=R（Y；0）。

为了简化符号，我们经常写R（Y）而不是R（Y；0）。备注2.5。系统风险度量也可以是基于分布的，也称为定律不变量，参见。g、 F"ollmer&Weber（2015）。假设A是基于分布的ScalarRick度量的接受集。让Y，Z∈ Y.如果所有固定的k∈ Rl、yk和zk具有相同的分布，那么R（Y）=R（Z）。现在我们将研究凸性问题。在经典情况下，这与风险度量是否适当量化多元化有关。在回答这个问题之前，我们考虑另一个基本性质，即风险度量R（Y）的凸性。引理2.6。假设A是凸的，而Rl是凸的→ X，k 7→ 它是凹的。那么R（Y）是Rl的一个凸子集。现在让我们转向多元化问题。为此，可以方便地假设族Y由某个索引集I枚举，即Y=（Yi）I∈I.我们不会假设我7→ Yi是内射的，所以I6=j的Yi=Yjj是允许的。对我来说，j∈ I和α∈ [0,1]我们设定了α（i，j）k:=αYik+（1）- α） Yjk，k∈ Rl。这是模型最终输出的多样化。金融机构在Yi和Yjan之间划分风险敞口，并根据其资本配置k，获得Yi和Yj控制的理论原始产出的凸组合。从现在起，我们将假设i，j∈ I意味着cα（I，j）∈ 任何α的Y∈ [0, 1].然而，在系统性风险的情况下，分散性也与模型的输入有关。考虑示例2.1（ii）的情况，设置YXk:=∧（X+k），k∈ Rn代表X∈ I:=L∞(Ohm; Rn）。假设多元化是指潜在风险因素X和X′的凸组合，即Dα（X，X′）k=∧（k+αX+（1- α） X′），k∈ Rn，α∈ [0, 1].除非∧是线性的，否则我们通常有Dα（X，X′）k6=Cα（X，X′）k。

这就是我们称之为anymappingD的原因：I×I×[0,1]→ Y（i，j，α）7→ Dα（i，j）是一个转移算子。引理2.7。设R:Y×Rl→ P（Rl；Rl+）是定义2.2中引入的系统性风险度量，Y=（Yi）i∈一、 和fixα∈ [0,1]和i，j∈ I.如果A是凸的，dα（I，j）k≥ Cα（i，j）k(K∈ Rl），（4）thenR（Dα（i，j）） R（易）∩ R（Yj）。（5） 如果第（5）项适用于任何α∈ [0,1]和任意（i，j）∈ 一、 我们称之为rd-quasi凸。D准凸性的解释是，多元化机制D不会增加资本需求：如果k∈ RLI是两个CVM Yik和Yj Yik可接受的资本分配∈ A和Yjk∈ A、 那么，对于资本水平K，多样化的系统响应Dα（i，j）也是可以接受的∈ Rl–即Dα（i，j）k∈ A.等式（4）提供了一个简单的标准，即多样化机制D主导了不同类型的输出。例2.8。我们现在简要地讨论几个例子。更多细节，包括说明性的数值案例研究，可以在第5节中找到。系统性风险度量的定义依赖于CVM，具体示例见第2.1节。第二个要素是由接受集A形成的接受标准。在我们讨论系统性风险度量的例子之前，让我们先调用一些标准例子，见f"ollmer&Schied（2011）、Ben Tal&Teb oulle（2007）和f"ollmer&Weber（2015）。为了简单起见，我们fix x=L∞(Ohm; R） ，尽管所有风险度量都可以在更大的空间中定义。（i） 验收标准：（a）风险平均值：给定λ∈ （0,1），λ级风险值∈ （0,1）已定义byV@Rλ（M）：=inf{M∈ R | P[M+M<0]≤ λ} ，M∈ 十、风险平均值是风险水平λ以下风险值的平均值：AV@Rλ（M）：=λZλV@Rγ（M）dγ，构成一致的风险度量。

它的接受集isA={M|AV@Rλ（M）≤ 0}={M|R∈ R:E[（R- M） +]≤ rλ}，见F"ollmer&Schied（2011）中的引理4.51。（b） 基于效用的短缺风险：出租l : R→ R是一个递增的、非常数的凸失函数，z是一个阈值级，位于域的内部l , 我们定义了凸风险度量BSR（M）：=inf{M∈ R|E[l(-M- m） ]≤ z} 。头寸M的基于效用的短缺风险（UBSR）等于最小的货币量M，使得非效用E[l(-M- m） ]最多为z。它可以被描述为唯一的ro ot m*方程E的[l(-M- M*)] - z=0。BSR的接受集可以用a={M|E表示[l(-M） ]≤ z} 。（c） 优化确定性等价：让u:R→ [-∞, ∞) 是一个满足u（0）=0且u（x）<x的凹非减奇异函数x、 优化确定性当量（OCE）由地图OCE:x定义→ R与Oce（M）=supη∈R{η+E[u（M- η)]}.OCE的负值定义了凸风险度量ρ（M）=- OCE（M）。它的接受集可以用a={M|表示η ∈ R：η+E[u（M）- η)] ≥ 0}.风险度量AV@Rλ, λ ∈ （0，1），可以作为u（t）=λ·t，t的特例获得≤ 0，u（t）=0，t>0。（ii）系统性风险测量：我们确定了A 任何标量风险度量的X，例如上述任何验收集。（a） 设∧：Rn→ R可以是示例2.1中描述的聚合函数。

我们假设∧是连续的，并设I=X。我们现在考虑对资本水平敏感的聚合机制的情况：YXk=∧（k+X），k∈ Rn，X∈ 一、功能k 7→ 对于任何X，如果∧是凹的，则YXkis是凹的，在这种情况下，systemicrisk测度R具有凸值。转移算子可以自然地由dα（X，X′）k=∧（k+αX+（1）定义- α） X′），k∈ Rn，α∈ [0,1]，X，X′的∈ 假设∧是凹的，那么：Dα（X，X′）k=∧（α（k+X）+（1）- α） （k+X′）≥ α∧（k+X）+（1）- α） ∧（k+X′）=Cα（X，X′）k引理2.7意味着如果A是凸的，R是D-拟凸的。如果聚合机制对资本水平不敏感，可以通过设置yxk=nXi=1ki+λ（X），k获得类似结果∈ Rn，X∈ 一、 Dα（X，X′）k=nXi=1ki+∧（αX+（1- α） X′），k∈ Rn，α∈ [0,1]，X，X′的∈ I.（b）如例2.1所述，具有市场清算功能的金融网络可以解释为对资本水平敏感的聚合机制的特例。因此，上述分析也适用于这种情况，这意味着目标的凹性和A的凸性导致了D-拟凸系统风险度量。（c） 考虑例2.1（vi）中的情况。我们表示来自(Ohm, F） 到（R+，B），使u（·R）∈ L∞(Ohm; R） 由K.我们s et I=L∞(Ohm, Rl）×K，Y（X，u）K=∧[{Xm+sgn（km）·u（·，Bm（km））}m=1,2，…，l]，（X，u）∈ 一、 并通过Y={Y（X，u）：（X，u）定义相应的CVM系列∈ 一} 。转移算子的一种可能形式是isDα（（X，u），（X′，u′）k=∧[αXm+（1）- α） X′m+sgn（km）·（αu+（1）- α） u′）（·，Bm（km））m=1,2，。。。，l] 带（X，u），（X′，u′）∈ 显然，如果∧是凹的，那么dα（（X，u），（X′，u′）k≥ 所有k的Cα（（X，u），（X′，u′）kF∈ Rl。引理2.7暗示，如果A是凸的，R是D-拟凸的。（iii）有条件的系统性风险度量：作为最后一个例子，考虑与CoV@R由Adrian&Brunnermeier（2016）介绍。