保险中copula模型的一种重要抽样方法

引理4.2），我们得到了E[NV]：E[NV]=1+γβ的显式表达式- 1.（4.3）为了满足条件A，我们假设γ<1。事实上，利用超几何函数的性质，可以证明对于γ=1，权函数是无界的，且权的方差var[w（V）]总是有限的。有许多copula类有明确的对角线。例如，克莱顿家族是对角线C（t1）=（dt-θ-d+1）-对于某些0<θ<∞. 在未来的研究中，我们可能会指出，找到连接函数的“共轭”F∧是一件有趣的事情，它也允许W（·）的显式形式。保险中copula模型的一种重要抽样方法94.3最优建议分布本节给出了一种针对当前问题校准分布F∧的方法。基本方法是选择建议分布Fv，使bunHa的方差小于un。在我们的例子中，这减少到最佳选择分布F∧。一般来说，F∧必须在0处有一个原子才能满足条件A。如果使用算法4.1进行采样，我们还需要满足E[1/（1）的约束- ∧）]不是太大，尤其是有限。对于bunifψ（u）w（u）=e[ψ（u）]，u，将获得零方差（即无估计误差）∈ [0,1）d，（4.4）见Asmussen和Glynn（2007）第128页第4.1节。由于[ψ（U）]未知，显然不可能做出这种选择。为了得到一个小的方差，我们应该选择∧，这样w（u）-1与ψ（u）近似成正比。根据定理4.4，我们可以把这个关系写成kzmax{u，…，ud}1- C（λ1）dF∧（λ）≈ ψ（u），（4.5）对于某些未知常数K∈ R+。为了得到一个易于处理的优化方案，我们假设ψ（u）是大的，如果它至少有一个分量是大的，即ψ（u）≈ Ψmax{u，…，ud}1. （4.6）将（4.6）插入（4.5），我们得到了ZT1- C（λ1）dF∧（λ）≈ ψ（t1），t∈ [0, 1].

（4.7）在下文中，我们提出了校准F∧的方法，以满足近似关系（4.7）。我们用F∧的两个选项来说明这种校准，即离散和连续。4.3.1离散F∧在离散情况下，如第4.2.1节所定义，指定分布F∧将减少到设置原子xk，并将其权重pk=P[∧=xk]用于k=1，n∧。通过将F∧插入（4.7），我们得到kn∧Xk=11{Xk≤ t} pk1- C（xk1）≈ ψ（t1），t∈ [0,1）。（4.8）我们建议通过强制等式（4.8）仅适用于t=x，…，xn∧来设置pk。在不丧失普遍性的情况下，假设xk<xk+1对于所有k，等式（4.8）导致Tokxl=11- C（xl1）pl=ψ（xk1），k=1，n∧。这就产生了一个三角形线性方程组，可以用以下算法轻松求解：；我们建议选择有限对数网格上的xk，密度朝1变大。算法4.6.1。选择n∧∈ N2.定义xk=1- （1/2）k-1，k=1，n∧；3.定义ep=ψ（0，…，0）和epk=（ψ（xk1）- ψ（xk）-11)) (1 - C（xk1）），对于k=2，n∧；4.定义pk=epk/（Plepl）。保险中copula模型的一种重要抽样方法使用1/2的幂来设置xk是任意的；可以使用（0，1）中的任何其他因子。在数值实验中，这种选择的影响通常很小，因为计算结果会相应改变。在以下情况下，算法4.6可能会失败：o如果p=0，则F∧不满足条件A；o如果t 7→ ψ（t1）不是单调的，那么算法4.6会导致一些pk为负如果函数ψ在（0，…，0）处没有达到一个限定值。自n∧<∞, 条件E[1/（1）]- Λ)] < ∞ 是自动满足的。当然，我们也可以对∧使用离散分布，由无数点支持。

然而，在第7节所述的案例研究的实验中，这导致等待时间E[NV]变大，但在使用拒绝采样时没有提供额外的准确性。4.3.2连续F∧在连续情况下，如第4.2.2节所述，不幸的是，优化不能像离散情况那样简单明确地进行。通过将F∧，见等式（4.2）代入（4.7），我们得到k1+γ1.- β(1 - tα）β-1.β - 1.≈ ψ（t1），t∈ [0, 1]. （4.9）为了优化F∧，我们需要找到参数K∈ R、 γ∈ （0,1）和β>1，使（4.9）左右两侧之间的距离最小化。例如，作为距离函数，可以使用二次范数。这种最小化可以通过标准的数值最小化程序来实现。回想一下，α是通过copula的对角线固定的。为了使E[NV]不过高，可能需要通过将E[NV]限定为1+γ/（β）来施加进一步的参数约束- 1） .5直接采样算法如前一节所述，拒绝采样算法可能会由于拒绝步骤而导致较大的采样时间。由于C[λ]定义中条件作用事件的复杂性，这一步骤是必要的。我们现在考虑c[λ]（u）=d-1dXi=1P[U≤ UUd≤ ud | Ui>λ]（5.1）=d-1dXi=1C（u）- C（u，…，ui）-1，min{ui，λ}，ui+1，ud）1- λ、 u∈ [0，1]d.该分布仅涉及条件连接，其中条件事件仅在随机向量U的一个元素上。这将具有实际优势，即可以提供直接采样算法，即没有拒绝步骤。5.1抽样建议分布et us表示条件copula，假设第k分量等于uk，即isCuk（u，…，uk）-英国+1，ud）=P[U≤ U英国-1.≤ 英国-英国+1≤ 英国+1。

，Ud≤ ud | Uk=Uk]。然后，可以使用以下算法从FVS中进行采样。算法5.1。给出FV的一个实现：保险业中copula模型的一种重要抽样方法。画∧~ F∧；2.我画∈ {1，…，d}，其中P[I=I]=d-1.3.画VI~ U（λ，1）；4.画（V，…，VI）-1，VI+1，Vd）~ CVI；5.返回V=（V，…，Vd）。该算法的主要优点是不拒绝任何样本，因此，与算法4.1相比，其运行时间不依赖于分布F∧。此外，我们可以证明，使用拒绝算法从（5.1）生成样本将产生预期的等待时间E[（1）- Λ)-1] ，这将高于第4节中给出的拒绝采样的预期等待时间，见定理4.3。这证明了一个事实，即我们为这两种算法中的每一种提出了两种特定的C[λ]分布。在算法5.1的步骤4中，需要一个条件copula Cuk的采样算法，其中k可以是任意一个d分量。根据copula Cuk的形式，可以使用有效的抽样算法，例如见下面的示例5.3和5.4，或者可以使用条件分布法。请注意，条件分布方法应用于，例如，对藤连接函数进行采样；参见VineCopula R软件包。按照Embrechts等人（2003年）的思路，我们随后提出了以下通用算法来从Cuk中进行采样。算法5.2。鉴于英国∈ R、 要实现Cuk，请执行以下操作：1。吸引你=U英国-英国+1，Ud~ U（0，1）d-1.2.setU=C-1（英国）。。。英国-1=C-1（英国）-1 | U，英国-2，英国）英国+1=C-1（英国+1 | U，…，英国）-2、英国-1、英国）。。。Ud=C-1（Ud | U，…，英国）-1，英国，英国+1，Ud-1)3. 返回（U，…，英国）-英国+1，Ud）。根据Schmitz（2003）的定理2.27和备注2.29，我们得到了k>jC（uj | u。

，uj-1，英国）=D1，。。。，J-1，kC1，。。。，J-1，j，k（u，…，uj）-1，uj，英国）D1，。。。，J-1，kC1，。。。，J-1，k（u，…，uj）-1，英国），（5.2）哪个简化了toC（uj | u，…，uj-1） =D1，。。。，J-1C1，。。。，J-1，j（u，…，uj）-1，uj）D1，。。。，J-1C1，。。。，J-1（u，…，uj）-1） 当k<j.这里，D1，。。。，j、 kdenotes关于组分1，…，的偏导数，j、 k和C1，。。。，j、 kdenotes对应于这些成分分布的copula。一般来说，条件分布（5.2）的易处理反演并不总是可用的，需要应用数值根查找。然而，在某些情况下，人们可以明确地推导出这样的反例，例如，参见示例5.5。因此，尽管该算法不涉及拒绝步骤，但可能需要更多的实现工作。保险中copula模型的重要抽样方法12例5.3（Farlie–Gumbel–Morgenstern copula的直接抽样）。Farlie–Gumbel–Morgenstern（FGM）copula由cθ（u）=dYi=1ui定义1+θdYj=1（1- （uj）, U∈ Rd，带θ∈ [-1，1]，参见，例如Genest等人（2011年）。这个连接词是更一般的伊劳-法利-甘贝尔-摩根斯坦连接词的一种特殊形式，参见Jaworski等人（2010）的第19页。这很容易看出ukCθ（u）=dYi=1，i6=kui1 + θ(1 - 2uk）dYi=1，i6=k（1- 用户界面）= Cθ（1）-英国，英国-英国+1，其中Cθ（1）-2uk）是一个具有参数θ（1）的FGM copula- 2英国）∈ [-1, 1]. 因此，从CθUK的采样减少为从Cθ（1）的采样-2英国）。为此，可以使用条件分布方法。制作样本~ Cθ确实可以简化为U~ U（0，1）并设置U=U，Ud-1=Ud-1，andUd=2Ud1+W+p（1+W）- 4W Ud，其中W=θQd-1j=1（1- 2Uj），详见Remillard（2013）第8.7.12节。例5.4（Frank copula的直接抽样）。

根据Mes FIOUI和Quessy（2008）第6节，如果C（u）=ψψ-1（u）+··+ψ-1（ud）是一个d维阿基米德copula，带生成元ψ，然后- 1） 多元分布Cukis的维copulac也是阿基米德分布，生成元ψuk（t）=ψ（t+ψ）-1（uk））ψ（ψ-1（英国）），t∈ [0, ∞].这可以用来证明如果C是一个带有参数α的Frank copula∈ R和发生器ψα（t）=-α-1日志（1）- (1 - E-α） e-t） 然后，CUKC可以用参数θ（α，uk）=1的Ali–Mikhail–Haq型copula的多元分布建模- E-αuk，生成元ψθ（α，uk）（t）=1- θ（α，uk）et- θ（α，uk）（5.3）和具有分位数函数的边际分布-1α，英国（u）=-α对数E-α- 11+e-αuk（u-1.- 1)+ 1, U∈ [0, 1]. （5.4）因此，从Cukis的采样减少为从带有生成器（5.3）的Ali–Mikhail–Haq copula的采样，例如使用快速马歇尔–奥尔金算法，参见Hofer（2010）中的第2.4节和第2.5节，然后将分位数函数（5.4）应用于copula样本。以类似的方式，如果Cis阿基米德算法使CUKI易于使用马歇尔-奥尔金算法进行采样（许多示例和技术都是已知的），并且边缘分布易于反转，则可以获得算法5.1中步骤4的快速采样技术。示例5.5（Clayton copula的条件分布方法）。克莱顿copula由cθ（u）=1+dXi=1（u）定义-θi- 1)!-1/θ，u∈ Rd，θ>0时保险中copula模型的一种重要抽样方法。使用（5.2），我们可以表示cθ(-1） （uj | u，…，uj-1，英国）=1+1- （j）- 1） +j-1Xk=1u-θk！（uj）-J-1+1/θ- 1.!-1/θ，这使我们能够轻松实现算法5.2.5.2样本权重的计算。对于拒绝采样方法，我们推导了算法5.1中使用的权重w（Vi）的表示。定理5.6。

Radon–Nikodym导数w（u）=dC（u）/dFV（u）可以写成w（u）=d-1dXi=1Zui1- λdF∧（λ）！-1.证据。注意到dC[λ]（u）=dC（u）d（1- λ） dXi=11{ui>λ}，我们进行类似于定理4.4的证明。在拒绝采样算法中，我们注意到dC（u）不出现在w（u）中，因此C的密度的存在不是推导权重的要求。为了确保重要性抽样估计的一致性和渐近正态性，我们还将检查权函数的有界性。引理5.7。在条件A下，权函数w从上到下的界为P[λ=0]-1on[0,1]。证据我们注意到所有成分的w（u）都在减少。因此，它在byw（0，…，0）=P[λ=0]上有界-1< ∞. 对于一般的F∧，权重函数w的计算可能会很困难。一般来说，可以使用数值积分方案。为了避免这些问题，我们建议对F∧使用与第4节相同的设置，即离散情况和连续情况。5.2.1离散F∧如果F∧是离散的，使得P[∧=xk]=pk，P>0，k=1，n∧，0=x<···<xn∧<1，则可以将W（u）=ddXi=1n∧Xk=11{Xk≤ ui}1- xkpk！-1.（5.5）5.2.2连续F∧取∧asF∧（λ）=（1）的cdf- γ) + γ1.- (1 - λ)β, β > 1, 0 ≤ 对于任何copula C，γ<1给出了权重sw（u）=β的以下闭合形式- 1β - 1 + γ - γβd-1Pdi=1（1- ui）β-1.（5.6）注意，我们不需要对copula对角线进行任何限制，与第4.2.2节不同的是，保险145.3最优方案分配中copula模型的重要抽样方法为了获得较小的方差，我们应该选择∧，以便w（u）-1与ψ（u）近似成正比。根据定理5.6，我们可以把这个关系写成kd-1dXi=1Zui1- λdF∧（λ）≈ ψ（u），（5.7）对于某些未知常数K∈ R+。

根据拒绝抽样方法，我们将把校准限制在对角线上，以获得一个易于处理的优化方案，我们使用假设ψ（u）≈ Ψmax{u，…，ud}1. 因此（5.7）降低了toKZt1- λdF∧（λ）≈ ψ（t1），t∈ [0, 1]. （5.8）在下文中，我们提出了校准F∧的方法，以满足近似关系（5.8）。我们用第5.2.1节和第5.2.2.5.3.1节中概述的F∧的两种选择来说明这种校准，在离散情况下，我们得到KN∧Xk=11{Xk≤ t} pk1- xk≈ ψ（t1），t∈ [0,1]。（5.9）我们建议通过强制（5.9）中的等式来确定pk，该等式仅适用于t=x，…，xn∧，这导致三角形系统kkxl=11- xlpl=ψ（xk1），k=1，n∧。在拒绝抽样方法中选择xk，我们可以使用以下算法求解pk：算法5.8.1。选择n∧∈ N2.定义xk=1- （1/2）k-1，k=1，n∧；3.定义ep=ψ（0，…，0）和epk=（ψ（xk1）- ψ（xk）-11)) (1 - xk），对于k=2，n∧；4.定义pk=epk/（Plepl）。5.3.2连续F∧在连续情况下，不幸的是，优化不能像离散情况下那样容易和明确地完成。在这种情况下，K上的优化∈ R、 γ∈ （0,1）和β>1被执行为“1+γ”1.- β(1 - t） β-1.β - 1#≈ ψ（t1），t∈ [0, 1]. （5.10）罕见事件分析中copula模型的重要抽样方法由于重要抽样技术旨在用于与罕见事件相关的函数ψ为大集合的情况，我们可能希望在罕见事件设置中研究算法的效率。我们将把ψ（s）（u）看作一个只在小概率集上取非零值的函数。设p（s）=Eψ（s）（U）是兴趣的可能性。罕见的事件背景假设LIM→1p（s）=0。

对于每个s，我们将选择一个新的混合分布F（s）∧，因此改变建议分布F（s）的校准及其采样成本，我们将表示T（s）。在直接抽样算法中，见第5节，该抽样成本在s中是有限且恒定的，其阶数为E[（1- Λ)-1] ，参见第4节“拒绝采样算法”中的定理4.3。设bu（s）n=n-1Pni=1ψ（s）（Vi）w（s）（Vi）为重要抽样估计。在罕见的事件设置中，我们理想的目标是有界相对误差，如s→ 参见Asmussen and Glynn（2007）中的第六章，islim sups→1varhbu（s）nip(s)T（s）<∞. （6.1）用其上限n替换varhbu（s）NiB-1Eψ（s）（V）w（s）（V）, 我们的目标是找到一种能够满足需求的算法→1n-1Eψ（s）（V）w（s）（V）p(s)T（s）<∞. （6.2）首先注意，最优性条件（4.4）保证ψ（s）（V）w（s）（V）/p(s)∝ 1.我们现在假设F（s）∧的校准条件温和，这将是获得效率标准（6.2）所需的条件。条件B.对于所有s>0，构造∧的离散分布，使得存在sk∈ {1，…，n∧}，其中xk=s，pk>0。我们首先研究了第4节中的拒绝抽样情况，将我们自己局限于∧的离散分布设置。虽然文献中典型的罕见事件集考虑了边缘的总和，但我们将考虑最大值，这使我们能够保持在{maxiui>s}的罕见事件框架内 {Piui>s}，u∈ [0,1]d.定理6.1。假设ψ（s）（u）=1{maxiui>s}，并且建议分布fv和相应的权重函数w（u）如第4节所示。此外，假设F∧是一个离散分布，原子数n∧为P[∧=xk]=pk，k=1，n∧，0=x<···<xn∧<1，按照算法4.6进行校准，条件B保持不变。表示k*u=max{1≤ K≤n∧：xk≤ maxiui}，u∈ [0,1）d。

那就吃吧→1Eψ（s）（V）w（s）（V）p(s)< ∞.保险证明中copula模型的一种重要抽样方法。在条件B下，我们有xk*U≥ 事件{maxiui>s}上的s。因此，Z[0,1]dψ（s）（v）w（s）（v）dFV（v）=Z[0,1]dψ（s）（u）w（s）（u）dC（u）=Z[0,1]dψ（s）（u）n∧Xk=1epk！n∧Xk=11{Xk≤ maxiui}epk1- C（xk1）！-1dC（u）=Z[0,1]dψ（s）（u）n∧Xk=1ψ（s）（xk1）（C（xk1）- C（xk-11))!ψ（s）（xk）*u1）-1dC（u）=Z[0,1]dψ（s）（u）（C（xn∧1）- C（s1））dC（u）≤ (1 - C（s1））Z[0,1]dψ（s）（u）dC（u）=（p（s）），（6.3）证明了该定理。请注意，定理6.1保证了（6.1）中的有界相对误差→1吨（s）<∞. 对于拒绝算法来说，这是不成立的。事实上，自从E[（1- Λ)-1] =Pn∧k=1pk/（1）-xk），我们根据定理4.3得出→1T（s）=∞ 在条件B下，在直接抽样的情况下，我们可以证明定理6.1的相应版本，对任何i=1，…，取ψ（s）（u）=1{ui>s}，d和k*u=max{1≤ K≤ n∧：xk≤ ui}，u∈ [0,1）d.由于该算法的计算成本T（s）常数为s，因此在罕见事件设置中，应优先使用该算法，而不是拒绝采样算法，尽管它可能需要更多的实施效果。建议分布Fv的校准是基于以下假设进行的：≈ψ（maxiui1）。在定理6.1中，我们已经能够证明当ψ（u）=1{maxiui>s}对于一些s∈ （0，1），即当假设成立且相等时，则e[ψ（V）w（V）]≤ E[ψ（U）]。ByJensen不等式我们得到了E[ψ（V）w（V）]≤ E[ψ（U）]，因此var（bun）≤ var（un），因此估算值的方差较小。尽管假设ψ（u）≈ ψ（maxiui1）是保险数学中的典型应用，它通常不具有相等性，因此不容易合并到一个分析框架中，以证明某种方差折减因子。