保险中copula模型的一种重要抽样方法

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《An importance sampling approach for copula models in insurance》
---
作者：
Philipp Arbenz, Mathieu Cambou and Marius Hofert
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  An importance sampling approach for sampling copula models is introduced. We propose two algorithms that improve Monte Carlo estimators when the functional of interest depends mainly on the behaviour of the underlying random vector when at least one of the components is large. Such problems often arise from dependence models in finance and insurance. The importance sampling framework we propose is general and can be easily implemented for all classes of copula models from which sampling is feasible. We show how the proposal distribution of the two algorithms can be optimized to reduce the sampling error. In a case study inspired by a typical multivariate insurance application, we obtain variance reduction factors between 10 and 30 in comparison to standard Monte Carlo estimators.
---
中文摘要：
介绍了copula模型抽样的一种重要抽样方法。当感兴趣的函数主要取决于基本随机向量的行为时，当至少一个分量较大时，我们提出了两种改进蒙特卡罗估计的算法。这类问题通常源于金融和保险业中的依赖模型。我们提出的重要性抽样框架是通用的，可以很容易地应用于所有类别的copula模型，从中抽样是可行的。我们展示了如何优化这两种算法的建议分布，以减少采样误差。在一个典型的多变量保险应用启发下的案例研究中，与标准蒙特卡罗估计相比，我们得到了10到30之间的方差缩减因子。
---
分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
--

---
PDF下载：
--> An_importance_sampling_approach_for_copula_models_in_insurance.pdf (1.55 MB)

2022-5-7 19:58:42 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Copula opula 抽样方法 Applications Multivariate

相应的函数为ψ（u）=maxnPdj=1F-1Xj（uj）-T、 0o；关于两个帕累托边缘的ψ等高线图，参见图1的左侧总体S=Pdj=1Xj的风险度量，如风险价值、VaRα或预期短缺、ESα、α∈ （0，1），一般不能写成E型期望[ψ（X）]。然而，它们是聚合分布函数FS（x）=P[S]的泛函≤ x] =E[ψ（x）（U）]，其中ψ（x）（x）∈ R） 指示函数ψ（x）（u）=1F-1X（u）+··+F-1Xd（ud）≤ 十、.保险3u1u20中copula模型的一种重要抽样方法。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.21512051010020050010005000图1：左：超额函数的等高线ψ（u，u）=max{F-1X（u）+F-1X（u）- 10，0}，其中利润率是帕累托分布，FX（x）=1-（1+x/4）-2和FX（x）=1-（1+x/8）-2.灰色区域表示ψ为零的位置。右：乘积函数ψ（u，u）=F的等高线-1X（u）F-1X（u），其中X~ LN（2，1）和X~ LN（1,1.5）。因此，我们可以将rα（S）=infnx写入∈ R:E[ψ（x）（U）]≥ αo，ESα（S）=1- αZαVaRu（S）du，它只依赖于E[ψ（x）（U）]≥ α保持不变。这是由S的尾行为决定的，当至少一个音调分量接近1时，它强烈地受到copula C属性的影响。请注意，资本分配方法，如预期缺口的Euler原则，表现类似，见Tasche（2008）和McNeil等人（2005），第260页计算两个正重尾随机变量xandx的协方差（或相关性）需要计算E[XX]。隐含的泛函是ψ（u，u）=F-1X（u）F-1X（u）。对数正态（LN）裕度的ψ等高线图如图1右侧所示。与前面的例子相比，这个ψ不仅取决于（X，X）的尾部行为。

然而，当至少一个参数接近1时，E[ψ（U）]主要取决于copula行为，因为在这种情况下，ψ变大。请注意，在这个框架中，我们遵循（McNeil等人，2005年，备注2.1）的约定，即外部参照是指损失和-在精算背景下，这一点更为常见。人们也可以很好地处理损益随机变量-通过将感兴趣的区域更改为X的分量较小的区域。3重要性抽样重要性抽样背后的理念是从不同于目标分布C的提案分布Fv中抽样。提案分布将更多样本集中在该区域，从而对E[ψ（U）]做出更大贡献。通过适当的加权方法，可以得到方差较低的无偏估计量。假设所考虑的函数ψ在上述类别中：如果至少有一个参数接近1，则ψ是大的。在这种情况下，估计器unin（2.1）的一个缺点是，保险中copula模型的重要抽样方法通常，对于许多样本Ui，没有一个分量接近1。因此，大多数样本位于低兴趣区域。因此，即使n很大，uncan的估计误差也会很大。设V=（V，…，Vd）：Ohm → [0,1]d注意一个随机向量的分布函数FV。我们可以重写积分E[ψ（U）]asE[ψ（U）]=Z[0,1]dψ（U）dC（U）=Z[0,1]dψ（U）dC（U）dFV（U）dFV（U）=Eψ（V）dC（V）dFV（V）, （3.1）式中，dC/DFV表示C相对于FV的氡-Nikodym导数。Radon–Nikodym导数存在的充要条件是copula C相对于FV是绝对连续的。我们将在本节后面提供有关此问题的更多详细信息。如果C和fV与Lebesgue测量的密度C和fV绝对连续，则氡-尼科德姆导数C/dFVis只是密度C/fV的比值。身份证。

样本{Vi:i=1，…，n}对于V，我们可以确定重要性抽样估计器bun=nnXi=1ψ（Vi）w（Vi），（3.2），其中w（Vi）=dC（Vi）/dFV（Vi）是样本权重。然后，我们的目标是找到FV，使得bu的方差小于nu的方差。为了确定建议分布FV，我们建议采用一种混合方法，即采用多变量cdf C[λ]：[0,1]d的加权平均值→ [0,1]在λ的不同值上。设F∧表示随机变量∧的分布函数：Ohm 7.→ [0,1）。然后我们定义了C[λ]的混合物在分布F∧：FV（u）=ZC[λ]（u）dF∧（λ），u上的分布∈ [0,1]d.应将分布C[λ]理解为copula C的扭曲版本，其将样本集中在采样空间的特定区域。然后，这些区域将通过λ的值进行参数化。更准确地说，我们将构造C[λ]，使其仅将质量置于区域[0，1]d\\[0，λ]d中。在续集中，我们将提出C[λ]的两个可能定义，这将定义两个重要的采样算法，即第4节中的拒绝采样算法和第5节中的直接采样算法。我们将看到这种混合方法是自然的，以允许C相对于FV是绝对连续的。特别是，如果满足以下条件，则任何copula C都可以保证绝对连续性。条件A.随机变量∧满足P[∧=0]>0。为了获得明确的权重函数w（V）和无偏估计量bun，必须满足条件a。这种情况不需要对C进行特别的假设。虽然它看起来有限制性，但我们将看到它也需要有一个一致的估计量bun。

为此，我们要求满足以下条件。建议分布FVas a C[λ]混合物的构造直接产生采样方法，因为人们可以通过第一次绘制∧来绘制FVas的实现~ F∧然后是V~ C[λ]。因此，可以使用以下算法来计算bun：算法3.1。修理∈ N.对于i=1，n、 做：1。画∧i~ F∧；2.画Vi~ C[i]；3.计算w（Vi）；保险中copula模型的一种重要抽样方法-1Pni=1ψ（Vi）w（Vi）。下面的引理建立了估计量bun的一致性和渐近正态性。引理3.2。假设var[ψ（U）]<∞ 而w（·）≤ 对于某些常数B<∞. 然后1。bun几乎肯定会使P收敛到u；2.σ=var[ψ（V）w（V）]<∞ 和n1/2（bun- u）在分布上收敛到N（0，σ）。证据1.由于E[ψ（V）w（V）]=E[ψ（U）]，一致性直接来自强拉金数定律。2.注意ψ（V）w（V）= Eψ（U）w（U）≤ Eψ（U）B<∞,如果第一个平等是通过改变衡量标准来确定的，请参见（3.1）。我们可以通过中心极限定理立即降低bun的渐近正态性，例如，参见第2节。4在Durrett（2010）中，第110页。我们随后将证明，在F∧的一些温和假设下，权函数确实会在[0,1]上有界。4.一种拒绝采样算法对于该算法，我们提出C[λ]来表示U的分布，条件是其至少一个分量超过λ：C[λ]（U）=P[U]≤ UUd≤ ud | max{U，…，ud}>λ]=P[U≤ UUd≤ ud | U/∈ [0，λ]d]=C（u）- C（min{u，λ}，…，min{ud，λ}）1- C（λ1），其中λ1=λ（1，…，1）=（λ，…，λ）∈ [0,1）d.注意，只有当C（λ1）=0时，C[λ]才是copula，但我们的算法不需要C[λ]是copula。通过在（0，1）上加上∧的质量，我们可以在至少有一个分量较大的copula区域上加上更多的权重。

例如，如果F∧是离散的，而P[λ=0]=P[λ=0.9]=0.5，那么50%的V样本仅限于[0,1]d\\[0,0.9]d，而其他50%的样本将位于[0,1]d。请注意，[0,1]d\\[0,0.9]d上的质量将高于50%。另一方面，在P[λ=0]=1 yieldsFV=C.4.1抽样方案分布的情况下，我们现在将描述如何从Fv中提取样本。由于FVis是通过混合分布定义的，因此通过绘制第一个∧来绘制FVis的实现~ F∧然后是V~ C[λ]，见算法3.1。不幸的是，对于众所周知的copula类，条件分布C[λ]在分析上是不可处理的。我们只知道一类冲击copula，即Marshall–Olkincopula，可以直接从条件分布C[λ]中采样。附录A中提供了详细信息和相应的算法。然而，对于任意copula C，从C[λ]进行采样始终可以通过rejectionalgorithm实现，该算法实现简单，但由于拒绝步骤的存在，可能会很耗时。因此，使用下面的拒绝算法，可以从fv中提取任何copula C的样本。唯一的条件是，从F∧和C中提取实现是可行的。没有必要了解C的进一步性质，例如其密度。其基本思想是首先从f∧中画出一个实现∧，然后从C迭代地画出实现，直到得到大于∧的最大分量。保险6算法4.1中copula模型的一种重要抽样方法。得出FV的一个实现：1。画∧~ F∧；2.反复画V~ C直到max{V，…，Vd}>∧；3.返回V.算法4.1的一个缺点是，由于步骤2中的接受条件，通常会丢弃许多C样本。

在实践中，有两个重要原因可以证明这种方法比标准蒙特卡罗方法更合理。首先，如果需要计算边际分位数函数，或者如果ψ没有闭合形式，那么计算ψ在数值上可能比从copula采样更昂贵。第二，在计算机内存中存储大量U样本可能比生成U样本的成本更高。例如，这种情况可能出现在估算分配资本时，这需要存储整个多元样本。特别是在高维问题中，内存约束可能非常令人望而却步。为便于说明，请考虑以下示例：对于在有大量尾随保证金的情况下计算风险资本和风险贡献，10\'000\'000的样本通常不足以产生足够小的估计误差。然而，在1000维的双精度浮点数设置中，该样本需要大约80G的内存，这比目前计算机的平均RAM容量还要多。算法4.1可能需要从U中得到几个实现，以生成一个V的实现。下面的引理给出了获得V的实现的预期U数的表达式。引理4.2。让nv表示模拟fv的一个实现所需的从C抽取的次数。预期的牵引次数isE[NV]=Z1- C（λ1）dF∧（λ）。证据从U中抽取的概率~ C满足max{U，…，Ud}>λ是P[max{U，…，Ud}>λ]=1- C（λ1）。因此，从C[λ]模拟固定λ所需的绘图数量是随参数1几何分布的- C（λ1），并具有期望值1/[1- C（λ1）]。为了模拟V，从F∧中得出∧。因此，E[NV]通过平均1/[1]给出- C（λ1）]overF∧。使用Fr’echet–H¨offing界限（见McNeil等人的定理5.7）。

（2005）），我们可以给出E[NV]的以下界，它只依赖于F∧和维数d，与copulaC无关。定理4.3。我们有1.- Λ≤ E[NV]≤ E1.- Λ.证据由于上Fr′echet–H¨offding界，我们有C（λ1）≤ 最小{λ，…，λ}=λ。因此，E[NV]=Z1- C（λ1）dF∧（λ）≤Z1- λdF∧（λ）=E1.- Λ.类似地，由于较低的Fr\'echet–H–o影响范围：E[NV]≥Z1- 最大{0，dλ- d+1}dF∧（λ）=Zmax1，d（1- λ)dF∧（λ）≥判定元件1.- Λ. 根据定理4.3，从V中得出一个实现所需的从C中得出的次数，当且仅当E[（1- Λ)-1] < ∞. 直觉上，这意味着∧不应该有质量集中在1附近，以便能够使用算法4.1。我们将在下一节中看到，copula c和F∧的特定选择将允许我们找到E[NV]的解析表达式。保险中copula模型的一种重要抽样方法74.2样本权重的计算本节概述了如何计算算法3.1中使用的权重w（Vi）。我们首先推导出一个有用的表示。定理4.4。Radon–Nikodym导数w（u）=dC（u）/dFV（u）可以写成w（u）=Zmax{u，…，ud}1- C（λ1）dF∧（λ）！-1.证据。根据莱布尼茨积分规则，我们得到了dFV（u）=RdC[λ]（u）dF∧（λ）。从C[λ]的定义，我们可以推导出微分C[λ]（u）=（0，u）∈ [0，λ]d，dC（u）1-C（λ1），否则。利用这两个恒等式，我们得到了dfv（u）=dC（u）Z1{λ≤ max{u，…，ud}1- C（λ1）dF∧（λ），得到期望的结果。我们方法的有效性来自于术语dC（u）没有出现在w（u）中这一事实。例如，如果C相对于Lebesgue测度是绝对连续的，则不必计算Cdoes的密度来计算w（u）。

与大多数其他重要的采样算法相比，这是一个优势，因为这些算法需要存在C的密度。为了简化符号，让ew（t）：[0，1]→ [0, ∞) 定义为新（t）=Zt1- C（λ1）dF∧（λ）-1，使得w（u）=ew（max{u，…，ud}）。引理4.5。在条件A下，ew从上方以P[∧=0]为界-1on[0,1]。证据因为C（λ1），λ∈ [0,1]，copula C的对角线部分和分布函数f∧都是递增函数，权重函数ew（t）在[0,1]上递减，因此它的上界为ew（0）=P[∧=0]-1< ∞. 因此，条件a不仅能保证权重的存在，而且能保证它们是有界的。根据引理3.2，这是重要抽样估计的一致性和合意正态性所必需的。对于一般的C和F∧，权重函数ew的计算可能会很困难。一般来说，可以使用数值积分格式。为了避免这些问题，我们提出了两个案例，其中电子战的评估是直接的。第4.2.1节说明了F∧离散的情况。在第4.2.2节中，我们假设copula C位于满足对角线上多项式条件的一大类copula中。对于这一类，有一个特定的F∧选择，这将导致ew的分析表达。4.2.1离散F∧本节表明，在离散F∧的情况下，计算ew（t）很快，并且很容易实现。为此，假设F∧是离散的，原子数为n∧：P[∧=xk]=pk，k=1，n∧，n∧Xk=1pk=1，p>0，0=x<···<xn∧<1。保险中copula模型的一种重要抽样方法8请注意，条件A是满足的。在这种情况下，ew可以写成阶跃函数ew（t）=n∧Xk=11{Xk≤ t} 一,- C（xk1）pk！-1.

（4.1）为了评估ew（t），有必要计算（或近似计算）k=1，n∧。对于整个样本，这些值只能计算一次。这种离散F∧的方法可以用于任何copula C。对于E[NV]，我们得到显式表达式E[NV]=n∧Xk=1pk[1]- C（xk1）].4.2.2连续F∧对于连续F∧，通常只能通过数值计算权函数ew。在下文中，我们假设C和F∧都是一种特殊的多项式形式，这导致了一个明确的结果。假设C在其对角线上表现为单项式：C（u1）=uα，0≤ U≤ 1.由于Fr’echet–H–offing界限，α必须满足1≤ α ≤ d、 这类连接词相当大。下面的列表显示了一些流行的copula族满足这个条件Marshall–附录A示例A.2中提出的Olkin连接函数。相应的指数为α=Pmj=1mini:j∈二级（sj/esi）Sibuya copulas，如Hoffert和Vrins（2013）所定义，其违约率过程是一个非齐次泊松过程具有Pickands依赖函数a的极值连接函数。相应的指数α=dA（1/d，…，1/d）；关于极值连接函数的定义，请参见McNeil等人（2005）的第7节。注意，例如，这个类包含著名的Gumbel copula。除了copula C，我们还对F∧[0,1]做了一些特殊的假设→ [0, 1].假设f∧（λ）=（1）- γ) + γ1.- (1 - λα)β, β > 1, 0 ≤ γ ≤ 1.参数α由copula对角线的指数给出，因此不能自由选择。此外，F∧有一个重量为1的原子- γ等于零。这种分布类似于库马拉斯瓦米（1980）的分布。在这种情况下，权重函数可以很容易地计算为w（t）=1.- γ+γβZtαλα-1(1 - λα)β-2dλ-1=β - 1β - 1 + γ (1 - β(1 - tα）β-1). （4.2）作为E[NV]=1/ew（1）（c.f。