保险中copula模型的一种重要抽样方法

然而，我们在第7节的数值案例研究中说明，对于几个典型的保险问题，我们得到了实质性的方差减少。7案例研究在本节中，我们将说明与保险应用相关的泛函ψ的重要性抽样算法的性能。我们将在同一示例中使用第4节和第5节中定义的两种重要抽样算法。我们使用三个随机向量，分别为d=2、d=5和d=25。我们的案例研究将假设X=（X，…，Xd）的边际分布为对数正态分布，参数化为Xj~ LN（10）-0.1j，1+0.2j），j=1，d、 每个利润率的yieldsequal期望值，即e【Xj】=36 315.5和标准偏差e【Xj】√e1+0.2j- 1.我们将考虑两个连接词的例子，即Clayton和Gumbel。Kendall的tau值，例如，见Nelsen（2006）中的第5.1.1节，每对边距之间的值为1/3，由此得出Clayton参数为1，Gumbel参数为1.5。请注意，我们的重要性抽样方法并不依赖于对copula的特定假设。因此，算法的一般行为不会随依赖性的强度而发生显著变化。本案例研究已使用R包copula实现。我们研究了以下五个X函数的估计。所有这些函数都是根据总损失S=Pdj=1Xj制定的，这是受精算实践中经常出现的风险聚合问题启发得出的：oE[max{S- T、 0}]，这是具有免赔额T的止损保险的公平保费。

对于T，我们使用T=10d，约为S预期值的3倍；保险中copula模型的一种重要抽样方法17oVaR0。995（S）和ES0。99（S），分别是确定偿付能力资本低于偿付能力II和瑞士偿付能力测试的风险度量（见FOPI（2006）和CEIOPS（2010））E[X | S>F-1S（0.99）]和E[Xd | S>F-1S（0.99）]，代表根据欧拉原理分配给第一个和最后一个保证金的资本，见Tasche（2008）。为了便于校准和模拟，我们使用F∧的离散框架。由于我们希望使用相同的样本来估计所有目标函数，因此我们只对每个问题维度进行一次F∧校准。回想第2节，VaRα和ESα不能写成E型[ψ（X）]的预期。因此，我们使用停止损失目标函数eψ（u）=max{Pdj=1F来校准F∧-1j（uj）-T、 0}。仅当Pdj=1F时，该值为非零-1j（uj）高于免赔额T，因此使用此功能进行校准将有利于我们的应用感兴趣区域内高浓度的畸变样品。注意，F∧的校准取决于copula和重要抽样算法的选择，见第4.3.1节和第5.3.1节。离散点的数量设置为n∧=10。如表1所示，最高点x=1- (1/2)≈ 0.998，远远超出了考虑中的最高VaR水平。为了满足条件A，我们手动将XT的重量设置为p=0.1，并按比例减少其他重量。pkk=1的权重。

，n∧由使用Gumbel copula和拒绝采样方法进行的校准产生，如表1所示，尺寸d=2、5和25。k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xk0。000 0.500 0.750 0.875 0.937 0.968 0.984 0.992 0.996 0.998d=2 pk0。100 0.000 0.000 0.000 0.115 0.325 0.206 0.128 0.787 0.048d=5 pk0。100 0.000 0.000 0.000 0.129 0.302 0.202 0.131 0.084 0.053d=25 pk0。100 0.000 0.000 0.000 0.022 0.252 0.216 0.174 0.135 0.102表1：使用Gumbel copula校准的概率权重pk。图2中绘制了权重函数ew（·）=w（·1）和5000个V样本的散点图，其中参考copula为Gumbel，并使用了拒绝采样方法。考虑到本案例研究的设置，很容易检查引理3.2是否满足要求。由于FV的构造，与copula样本相比，更多样本位于上边界或右边界附近。由于目标函数使用S分布函数的估计，我们将样本权重归一化为和1。这进一步减少了Geweke（2005）第4.2.2节或Liu（2008）第2.5.2节中提出的估算误差。为了评估重要性抽样带来的改进，我们对d∈ {2, 5, 25}. 我们使用n=10000的样本量来计算两种算法中每一种算法的重要性抽样器bu，以及所有目标函数的标准蒙特卡罗估计值u。总共500次重复被用来获得这些估计器的经验分布，从而估计它们的方差。虽然样本大小对样本方差的值有影响，但在算法效率的研究中，它不应扮演重要角色。表2、3给出了使用拒绝算法的Gumbel和Clayton情况的结果，表4、5给出了使用直接算法的Gumbel和Clayton情况的结果。

尽管估计值可能因用于采样的算法而异，但由于我们的实证研究显示了不可忽略的差异，我们仅给出了从普通蒙特卡罗模拟中获得的参考值。这些表格中的主要结果以方差缩减因子的形式出现，它表示普通蒙特卡罗估计量的样本方差除以我们的重要抽样估计量的样本方差。表2、3、4和5表明，重要性抽样算法大大降低了所有目标函数的估计误差。这并不奇怪，因为F∧被校准为这个函数，所以最大的减少是停止损耗。通过对其他函数进行特定校准，可以实现更大的缩减。