两个随机因素模型下美式期权的数值定价

相反，在SVCJ模型中，波动率也出现了跳跃。然后我们有[47]dStSt=αsdt+pYtdWt+dJt，（2.16）dYt=ξ（η- Yt）dt+θpYtdWt+dJt，（2.17），其中αs=r-Q-λκs表示κs=（1-νρj）-1exp（γ+δ/2）-1和ρjde定义了收益率和方差中的投资之间的相关性。二维跳跃过程（J，J）是强度为λ的R×R+值复合泊松过程[47]。假设跳跃大小在方差中的分布与平均值是指数关系。在方差过程中，以尺寸zv的跳跃为条件，J+1具有对数正态分布f（zs，zv），对数zs中的平均值为γ+ρjzv[47]。这给出了一个由[47]f（zs，zv）定义的二元概率密度函数=√2πzsΔνexp-zvν-（log zs）- γ - ρjzv）2δ！。让V（s，y，t）表示模型2.16和2所描述的标的资产上的美国衍生品的价格。17.如[47]所示，可以证明V（s，y，t）由偏积分方程控制电视（s，y，t）+LV（s，y，t）=0，0≤ s<B（y，t），（2.18）V（s，y，t）=s- E，s>B（y，t），（2.19）lims→B（y，t）V（s，y，t）s=1，（2.20）lims→B（y，t）V（s，y，t）y=0，（2.21），其中lv（s，y，t）=-F×V（s，y，t）+.（E×）V（s，y，t））- （r+λ）V（s，y，t）+λZR+ZR+V（szs，y+zv，t）f（zs，zv）dzvdzs，（2.22）E=ysρθsyρθsyθy,F=-（r）- Q- λκ）s- Y- ρθsξ（η）- y）-θ- ρθyT、 关系式（2.14）和（2.15）描述了模式l的最终条件和边界条件。方法在这项工作中，美式期权的价格是通过Richa rdson对Bermudan期权价格的外推来计算的。本质上，理查森外推将自由边界问题和线性完全性问题简化为一个更容易求解的固定边界问题。

因此，我们没有描述上述线性互补问题或分析方法，而是直接将注意力集中在由B ermudan期权价格满足的部分积分微分方程上，该方法比其他方法更快、更精确。为了简单说明，我们将注意力限制在Bates随机波动模型的期权上，但SVCJ模型下的期权情况可以完全类比处理。让我们考虑在区间[0，T]中，M+1等间距的时间水平T=0，T，T。。。，tM=T。LetVM（s，y，t）表示到期日为t，执行价为E的百慕大期权的价格。百慕大期权是一种期权，它不能在整个时间间隔[0，t]内行使，只能在t，t。，tM。这就是我们考虑的问题(tVM（s，y，t）+LVM（s，y，t）=0，VM（0，y，t）=0，lims→+∞VM（s，y，t）=s- E（3.1）在时间间隔（t，t），（t，t）。，（tM）-1.tM）。通过这样做，关系（2.13）在每个时间间隔（tk，tk+1），k=0，1，M-1.此外，关系（2.12）仅在时间t，t。，商标-1，通过设置vm（s，y，tk）=max（limt→t+kVM（s，y，t），（s）），k=0，1，M- 1.（3.2）注意，根据（3.2）计算的函数VM（·，·，tk）被用作时间间隔（tk）内问题（3.1）的最终条件-1，tk），k=1，2，M-1.相反，问题（3.1）的最终条件在时间间隔（tM）内成立-根据关系式（2.14），1，tM）被规定为：VM（s，y，tM）=（s）。（3.3）也就是说，对于k=M，问题（3.1）是递归求解的- 1米- 2.0，从条件（3.3）开始，每次-1.tM-2.

，t美国公司（3.2）被强制执行。随着行权日期M的增加，百慕大n期权价格VM（s，y，t）趋向于成为美国期权价格V（s，y，t）的合理近似值。在这项工作中，Richardson外推提高了VM（s，y，t）的精度，该外推在时间上是第二或第二精度。为了评估方案，本文采用了网格局部Petrov-Galerkin（MLPG）方法。该方法基于相交子域上的局部弱形式，利用散度定理和Heaviside检验函数在局部子域上提取局部弱形式。首先，我们讨论时间导数的时间步长方法。3.1. 时间离散化首先，我们对算子（2.7）进行时间离散化。对于这个提议，我们可以应用拉普拉斯变换器，使用时间步进近似。拉普拉斯变换的数值反演算法会导致精度降低。然后，我们采用时间步进法来克服该算子中的时间导数。设Vk（s，y）表示一个逼近VM（s，y，tk）的函数，k=0，1。。。，M- 1.注意，为了保持符号简单，已从Vk（s，y）中删除下标M。

根据（3.3），我们设置VM（s，y）=（s）。让我们考虑以下隐式-显式（IMEX）时间步方案：LVk（s，y）=-F×Vk（s，y）+.（E×）Vk（s，y））- （r+λ）Vk（s，y）+λZR+Vk+1（sx，y）f（x）dx，（3.4），我们还使用电视（s、y、t）Vk+1（s，y）- Vk（s，y）t+O(t） （3.5）利用关系式（3.4）和（3.5），我们定义了以下运算符Lvk（s，y）Vk+1（s，y）- Vk（s，y）t+LVk（s，y）=tVk+1（南、西）- F×Vk（s，y）+.（E×）Vk（s，y））- （r+λ）+t） Vk（s，y）+λZR+Vk+1（sx，y）f（x）dx，因此，美式期权问题被改写如下：（eLVk（s，y）=0，Vk（0，y）=0，lims→+∞Vk（s，y）=s- E（3.6）并且，关系式（3.2）和（3.3）重写如下：Vk（s，y）=max（limt→t+k+1Vk（s，y），（s）），k=M- 1米- 2.1,0（3.7）VM（s，y）=（s）。注1：注意，在关系式（3.4）中，积分部分是非局部积分，而其他作为微分算子的部分都是局部积分。毫无疑问，由于积分部分是非局部算子，因此可以使用θ-加权离散格式得到adense线性方程组。因此，为了获得一个稀疏的线性方程组，最好使用一个IMEX格式，该格式以avo-IDIGdense矩阵著称。到目前为止，据所知，文献中使用MEX方案对期权定价的已发表作品包括[47]。因此，在这项工作中，我们使用的IMEX方案在时间上仅为一阶精度。然后，通过Richardson外推法改进了仅一阶精度的近似值。特别是，我们通过使用M和2M时间步计算的两个解的外推来获得二阶精度。

在下文中，为了方便起见，我们将把注意力限制在理查森外推程序的第一阶段，其中使用了Mtime步骤，并且将理解这样一个事实，即所考虑的部分积分微分问题也可以用2M时间步骤解决。3.2. 空间变量转换众所周知，从数学角度来看，贝茨-托卡斯特波动率模型通常被定义为一个部分积分微分方程，该方程定义在无界空间域R+×R+。但由于它需要较大的内存存储，我们用有限域取代了这个域Ohm = [0，Smax]×资产价格和波动率的[0，ymax]，其中Smax和ymax被选择为足够大，以避免出现不可接受的大截断错误或。然而，在[52]中，我们发现资产价格的上限是执行价的三到四倍，所以我们可以设置Smax=4E。本文考虑的期权支付函数是非光滑函数，特别是其导数在履约价格下是不连续的。因此，为了减少精确度损失，试验函数的点集中在靠近s=E的空间区域。相反，沿着y方向，我们希望有一个更适合y=y的网格，其中方差过程的可能实现更可能发生[3]。因此，我们采用以下变量变化：x（s）=sinh-1（ξs（s）- E） ）+信安-1（ξsE）sinh-1（ξs（Smax）- E） ）+信安-1（ξsE），（3.8）z（y）=sinh-1（ξy（y）-y） ）+信安-1（ξyy）sinh-1（ξy（ymax）- y） ）+信安-1（ξyy），（3.9）or（x）=ξssinhx sinh-1（ξs（Smax）- E） )- (1 - x） 信义-1（ξsE）！+E、 （3.10）y（z）=ξysinhz sinh-1（ξy（ymax）- y） )- (1 - z） 信义-1（ξyy）！+y、 其中ξ和ξ是合适的常数参数。

使用这些参数，我们可以控制s=E和y=y附近s和y方向上节点分布的数量，见图1.0 50 100 150 200 250 30000.10.20.30.40.50.60.70.80.91资产价格波动率0 50 100 150 200 250 30000.10.20.30.60.70.80.91资产价格0 50 100 150 200 30000.10.30.50.60.80.91波动率图1：ξs=1，ξy=10，Nx，Nz=16，32 64、，分别地（请注意，NX和NZ是在3.34中介绍的。）请注意，（3.8）和（3.9）之间的关系将[0，Smax]×[0，ymax]映射到[0，1]×[0，1]。我们定义（3.11）U（x，z，t）=V（s（x），y（z），t），eLUk（x，z）=tUk+1（x，z）- （eF）* P） ×英国（x，z）+P×[ * （[eE]* PT]T×英国（x，z））]- （r+λ）+t） Uk（x，z）+λZUk+1（br，z）f（r（br）s（x））s（x）r′（br）dbr+λz∞Smax（r- E） f（rs（x））s（x）dr，（3.12）其中* 意味着组件式乘法和alsoeE=y（z）s（x）ρθs（x）y（z）ρθs（x）y（z）θy（z）, （3.13）eF=-（r）- Q-λκ）s（x）- y（z）s（x）- ρθs（x）ξ（η）- y（z））-θ- ρθy（z）T、 P=s′（x）y′（z）！T、 r（br）=ξssinhbr sinh-1（ξs（Smax）- E） )- (1 - br）信安-1（ξsE）！+E、 利用变量（3.8）的变化，将关系（3.6）改写如下：（eLUk（x，z）=0，Uk（0，z）=0，Uk（1，z）=Smax）- E(3.14)Ohm十、Ohm十、OhmxLocal Support domain xxx图2：支持问题域中不同点的子域。此外，关系式（3.7）改写如下：Uk（x，z）=max（limt→t+k+1Uk（x，z），e（x）），k=0，1，M- 1，（3.15）UM（x，z）=e（x），其中e（x）=max（s（x）- E、 0）。(3.16)3.3. 局部弱形式在本节中，我们使用局部弱形式，而不是全局弱形式。Atluri等人[13]在无网格局部Petrov-Galerkin方法中首次提出了局部弱形式无网格方法。MLPG方法在局部子域上构造弱形式，例如Ohms、 这是全局域中每个节点的一个小区域Ohm = [0, 1] × [0, 1].

局部子域相互重叠，覆盖整个全局域Ohm. 这个局部子域可以是任何简单的几何体，如图2所示。为了简单起见，我们假设局部子域是圆形的。因此，x的近似方程（3.14）的局部弱形式∈ Ohmis，其中x=（x，z）可以写成<eLUk，u>= 式（3.17）中的0，（3.17），u这是天步吗（x） =（1 x∈ Ohm作为每个本地域中的测试函数。此外，我们还定义了内部产品<.>关于内域和{，.}在边界上>=ZOhm伊塞卢克（x）u（x） dOhm , （3.18）{eLUk，美国} =ZOhm伊塞卢克（x）u（x） dΓ，哪个Ohmisis与点i相关的局部域，即它是一个以半径rQ的x为中心的圆环。允许Ohmisdenote子域的边界Ohm是情商。

（3.18）与替代关系（3.12）构成以下关系* P） ×英国，美国> - < P×[ * （[eE]* PT]T×英国（x，z））]，美国> +（r+λ）+t） <英国，美国>=t<Uk+1，u> +λ<W，u> +λ<π，u> 其中w（z）=ZUk+1（br，z）f（r（br）s（x））s（x）r′（br）dbr，π=z∞Smax（r- E） f（rs（x））s（x）dr.是<P×的替代品[*（[eE]*PT]T×英国（x，z））]，美国> 与关系（3.19）相关的可以被提及为<P×[ * （[eE]* PT]T×英国（x，z））]，美国>=< [P]* [ * （P×eE）+eE]]英国，美国>+ < [诊断（eE）* P* P] ×.英国，美国> +ρθ<s（x）y（z）s′（x）y′（z）十、祖克，u>,在哪里=y（z）s（x）00θy（z）, （3.20）eE=ρθs（x）y（z）T.英国=徐克祖克！T.这里用来简化系统（3.19）的是散度定理，如下所示* P） ×英国，美国>= - < [.（eF）* P） ]英国，美国> +{[（eF）* P） 。ν] 英国，美国},< [P]* [ * （P×eE）+eE]]英国，美国>= - < .[P]* [ * （P×eE）+eE]]英国，美国>+ {[P]* [ * （P×eE）+eE]]。νUk，u},< [Diag（eE）* P*P] ×.英国，美国>=< .（Diag（eE）* P* P） 英国，美国> -{[[ * [Diag（eE）* P*P] ]。ν] 英国，美国}+ {[[Diag（eE）* P* P]* 英国]。ν、 u},<s（x）y（z）s′（x）y′（z）十、祖克，u>=< （s（x）s′（x））’（y（z）y′（z））’英国> -{（s（x）s′（x））（y（z）y′（z））\'Ukν，u}+ {s（x）y（z）s′（x）y′（z）xUkν，u}, （3.21）式中，ν是问题域边界上的单位外法向量。在（3.19）中替换关系（3.21），我们得到- < [.（eF）* P） ]英国，美国> + < .[P]* [ * （P×eE）+eE]]英国，美国>- < .（Diag（eE）* P* P） 英国，美国> - < （s（x）s′（x））’（y（z）y′（z））’英国>+（r+λ）+t） <英国，美国> +{[（eF）* P） 。ν] 英国，美国} - {[P]* [ * （P×eE）+eE]]。νUk，u}+{[[ * [Diag（eE）* P* P] ]。ν] 英国，美国} - {[[Diag（eE）* P* P]* 英国]。ν、 u}+{（s（x）s′（x））（y（z）y′（z））\'Ukν，u} - {s（x）y（z）s′（x）y′（z）xUkν，u}=t<Uk+1，u> +λ<W，u> +λ<π，u> （3.22）重要的是要注意，关于（3.22）存在未知函数，我们应该近似这些函数。

为此，将局部积分方程（3.22）转化为一个代数方程系统，在用于空间近似的节点处具有实未知质量，如下一节所述。3.4. 空间近似与使用传统的非重叠、连续网格来制定插值计划不同，MPG方法使用局部插值或近似来表示在一些随机位置的节点上未知变量的值（或实际值）的试验或测试函数。为此，我们将找到一系列当地的企业整合计划。径向点插值法就是其中之一。本文采用了LRPI方案。本节回顾了LRPI的基本思想。考虑一个子域OhmxofOhm = [0,1]×[0,1]在点x附近，用于定义x附近试验函数的theLRPI近似值。根据局部点插值[12]，任意（给定）点x的点插值近似值Uk（x）∈ Ohm 通过n个节点sx，x，…，处的插值进行近似。，xn（百分位）位于x的一个对流社区，即。Ohmx、 选择这些节点的域（其形状可能取决于点x）通常称为局部支持域。根据用于插值Uk（x）的函数，可以获得各种不同的局部点插值方法。在本文中，我们将注意力集中在所谓的局部径向点插值法（LRPI）上，该方法采用多项式和径向基函数的组合。近似函数Uk（x）在Ohmx、 在多个随机定位的节点{xi}上，i=1，2。。。，n、 ea ch x的Uk（x）的径向点插值近似Uk（x）∈ Ohmx、 可以用euk（x）=nXi=1Ri（x）aki+mXj=1Pj（x）bkj（3.23）定义，其中P，P。

，Pmdenote按升序排列的前m个单项式和R，R。，以x为中心的n个径向函数。，分别是xn。而且ak，ak。，akn，bk，bk。，B必须确定n+m真实系数。对于径向基函数R，R。，考虑到这一点，有几种选择是可能的（例如，见[53]）。在这项工作中，我们决定将Wendland的紧支撑径向基函数（WCS RBF）与C、C和C光滑度[50]结合使用，因为它们不涉及任何自由形状参数（这不容易选择，请参见[54、55、56、57、58]）。具有C、C和C平滑度的WCS RBF分别如下所示：Ri（s）=（1- ri）+（1+4ri），i=1，2，n，Ri（s）=（1- ri）+（3+18ri+35ri），i=1,2，n，Ri（s）=（1- ri）+（1+8ri+25ri+32ri），i=1，2，n，其中ri=kx- xik/riwis是到节点xito x的距离，而riwis是径向函数Ri（x）的支撑大小。在这项研究中，为了简单起见，我们为所有i设置riw=RW-ri）l+是（1）-ri）lfor 0≤ ri<1，否则为零。注意单项式P，P。，P并非总是采用（如果bki=0，i=1，2，…，m，则获得近似值）。在目前的工作中，使用常数和线性单项式来增强RBF（即，我们设置m=4）。通过要求函数eukinterpolate U在x，x。，xn，我们得到一组n个方程，在n+m个未知系数中。，akn，bk，bk。，bkm:nXi=1Ri（xp）aki+mXj=1Pj（xp）bkj=bUk（xp），p=1,2，n、 （3.24）其中Bukar为活动节点。此外，为了唯一确定eEuk，我们还施加：nXi=1Pj（xi）aki=0，j=1，2，m、 （3.25）也就是说，我们有以下线性方程组：akbk=巴克,其中buk=hbUkbUk。bUkniT=hbUk（x）bUk（x）。bUk（xn）iT，（3.26）G=R PPT,R=R（x）R（x）。Rn（x）R（x）R（x）。