两个随机因素模型下美式期权的数值定价

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英文标题：
《Numerical pricing of American options under two stochastic factor models
  with jumps using a meshless local Petrov-Galerkin method》
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作者：
Jamal Amani Rad and Kourosh Parand
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The most recent update of financial option models is American options under stochastic volatility models with jumps in returns (SVJ) and stochastic volatility models with jumps in returns and volatility (SVCJ). To evaluate these options, mesh-based methods are applied in a number of papers but it is well-known that these methods depend strongly on the mesh properties which is the major disadvantage of them. Therefore, we propose the use of the meshless methods to solve the aforementioned options models, especially in this work we select and analyze one scheme of them, named local radial point interpolation (LRPI) based on Wendland\'s compactly supported radial basis functions (WCS-RBFs) with C6, C4 and C2 smoothness degrees. The LRPI method which is a special type of meshless local Petrov-Galerkin method (MLPG), offers several advantages over the mesh-based methods, nevertheless it has never been applied to option pricing, at least to the very best of our knowledge. These schemes are the truly meshless methods, because, a traditional non-overlapping continuous mesh is not required, neither for the construction of the shape functions, nor for the integration of the local sub-domains. In this work, the American option which is a free boundary problem, is reduced to a problem with fixed boundary using a Richardson extrapolation technique. Then the implicit-explicit (IMEX) time stepping scheme is employed for the time derivative which allows us to smooth the discontinuities of the options\' payoffs. Stability analysis of the method is analyzed and performed. In fact, according to an analysis carried out in the present paper, the proposed method is unconditionally stable. Numerical experiments are presented showing that the proposed approaches are extremely accurate and fast.
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中文摘要：
金融期权模型的最新更新是收益率跳跃的随机波动率模型下的美式期权（SVJ）和收益率和波动率跳跃的随机波动率模型（SVCJ）。为了评估这些选项，许多论文都采用了基于网格的方法，但众所周知，这些方法强烈依赖于网格特性，这是它们的主要缺点。因此，我们建议使用无网格方法来解决上述期权模型，特别是在本工作中，我们选择并分析了其中一种方案，即基于Wendland紧支撑径向基函数（WCS RBF）的局部径向点插值（LRPI），该径向基函数具有C6、C4和C2平滑度。LRPI方法是无网格局部Petrov-Galerkin方法（MLPG）的一种特殊类型，与基于网格的方法相比，LRPI方法具有许多优点，但至少据我们所知，它从未应用于期权定价。这些格式是真正的无网格方法，因为无论是形状函数的构造，还是局部子域的集成，都不需要传统的非重叠连续网格。在这项工作中，美式期权是一个自由边界问题，利用理查森外推技术将其简化为一个具有固定边界的问题。然后，时间导数采用隐式-显式（IMEX）时间步格式，使我们能够平滑期权收益的不连续性。对该方法进行了稳定性分析。事实上，根据本文进行的分析，所提出的方法是无条件稳定的。数值实验表明，所提出的方法是非常准确和快速的。
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分类信息：

一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：美式期权 Applications disadvantage Mathematical Construction

边界元法仍然使用元素来实现插值和积分[7,8,9,10]。这些困难可以通过无网格方法（MLM）来克服，在过去十年中，这种方法引起了广泛的兴趣。传销也被称为无网格方法。这些方法的主要优点是通过形状函数的线性组合来逼近未知的边界，而无需重新设置域的网格。在这种方法中，我们使用一组分散在问题域内的节点以及域边界上的节点集来表示（无t离散化）问题域及其边界[11]。这些s散射节点集被称为场节点，它们不形成网格，这意味着它不需要关于节点之间关系的任何先验信息来插值或逼近场变量s的未知函数【12】。在过去的几十年里，无网格方法得到了显著的发展，一些工作致力于它们的分类。可根据不同标准进行分类，例如配方程序、形状函数或域表示[13]。公式化程序主要基于弱表示（参见[14,15,16,17,18]）和基于协同技术的强表示（参见[19,20,21,2]），尽管这两种方法的组合是可能的[23]。配点法是真正的无网格方法，因为配点技术直接基于一组没有任何背景网格的节点进行数值积分。配点法的一个局限是数值实现的准确性和稳定性较差。然而，该方法基于点配置，对配置点的选择非常敏感，参见[24,25]。

另一方面，弱形式用于通过数值积分过程导出一组代数方程组，使用可在问题域中全局或局部构造的正交域集，例如无单元伽辽金法（EFG）[26]、再生核粒子法（RKPM）[27]和分区统一法（PUM）[28]。上述方法均基于全局弱形式，仅在场或边界变量的插值中是无网格的，并且必须使用背景单元在问题域上进行积分。由于需要背景单元进行集成，这些方法并不是真正的无网格方法。为了简化全局积分背景单元，Atluri及其同事开发了基于局部弱形式和径向基函数（RBF）近似的无网格局部PetrovGalerkin方法（MLPG）。这种方法也称为局部ra拨号点插值（LRPI）方法。MLPG方法是一种真正的无网格方法，因为无论是形状函数的构造，还是局部子域的积分，都不需要传统的非重叠连续网格。试验和测试功能空间可以不同，也可以相同。处理不同的边值问题有很大的灵活性。Atluri和他的合著者已经解决了很多问题[23,30]。在这种类型的MLPG方法中，Heaviside阶跃函数被用作测试函数。特别是LRPI无网格方法将问题的维数减少了一个，具有delta函数性质的形状函数，并明确且自由地表达了形状函数的导数。因此，它可以轻松地施加基本边界和初始（或最终）条件。

对于一些关于无mes本地方法的作品，可以提到Sladek brothers[31,32,33,34,35]的作品。该方法现已成功地推广到工程中的许多问题。关于这些问题的示例，请参见[11,36]和其中的其他参考文献。对无网格方法感兴趣的读者请参见[14,15,16]。过去几年，金融市场的增长是一个不断扩大的经济领域。在全球范围内，股票市场上交易的金融资产的价值已达到天文数字。期权等金融衍生品的交易在世界各地都是一项持续不断的业务。对于交易者来说，确保每次的价格都是正确的是非常重要的。期权是一种金融合同，赋予买方以事先约定的价格购买（看涨期权）或出售（看跌期权）标的资产（如股票）的权利。称为履约或行权价格，或在某一时间之前称为到期日。其中大部分期权可分为两类：只能在一个给定到期日或到期日（t=t）行使的欧式期权和可以在到期日（t=t）之前的任何时间执行的美式期权≤ T）。美国选项提供了使用该选项的自由，而且通常比欧洲选项的价格要贵一点。期权的估值会导致数学模型ls，这通常是很难解决的问题。著名的Black-Scho-les公式给出了不支付股息的股票的欧洲看涨期权和看跌期权的明确定价公式，se e[37]。1973年[38]菲舍尔·布莱克（Fischer Black）和米罗·n·斯科尔斯（Myro n Scholeshas）的著作出版，是期权定价革命的起点。

他们的ide a是基于资产价格遵循几何罗恩运动的假设开发一个模型。对于欧式期权，Black-Scholes方程会产生一个扩散方程的边值问题。美式期权定价由抛物线偏微分变分不等式（PDVI）控制。这就产生了一个自由边界问题，参见[39,40]。最近，通过非常实证的研究，很明显，在标的资产价格的标准Black-Scholes模型中，假设标的资产价格具有恒定波动性和漂移的行为，如正常的履约差异，与具有不同履约价格和成熟度的期权的实际市场价格不一致，如波动微笑或倾斜和重尾[41,42]。在过去的十年中，许多工作已经完成了对经典Black Scholes模型的修改，以满足金融市场中的这些现象，如随机波动（SV）模型、跳跃模型（如Merton和Kou分别在两个不同的著作[43]和[44]中提出的Merton和Kou模型），他们将随机波动率和收益率跳跃结合起来，即Bates[45]引入的带跳跃（SVJ）的随机波动率模型，以及Duffie等人引入的带跳跃（SVJ）的随机波动率模型[46]。在本研究中，我们主要关注SVJ和SVCJ模型。本文选取默顿模型作为模型的一部分。

在默顿模型中，资产收益遵循标准维纳过程，该过程由具有非马尔分布跳跃的复合泊松过程驱动[42]。我们刚刚提到，所提到的模型当然也会导致短期或长期到期范围的波动或倾斜[3]。上述美式期权定价的SVJ和SVJ模型由一个随机积分微分变分不等式控制，该变分不等式可以表示为一个自由边界问题。特别是，这些模型包含微分项和非局部积分项。因此，不可能有解析解。因此，要解决这些问题，我们需要一种强大的计算方法。为此，已经提出了几种数值方法来为SVJ和SVCJ模型下的期权定价（参见[3,47,48,49]），但据我们所知，弱形式无网格方法从未用于该模型的期权定价。本文的目的是将基于Wendland紧支撑径向基函数（WCS-RB-Fs）的LRPI扩展为C，C和C光滑[50]，以评估SVJ和SVCJ模型下的美式n期权。我们再次强调，据我们所知，mes-hle方法的局部弱形式尚未用于数学金融。因此，将这种数值技术也扩展到期权估值似乎很有趣，这在本文中已经完成。此外，本文将有限空间域R+×R+截断为[0，Smax]×[0，ymax]inSVJ和SVCJ模型，使用足够大的Smax和ymax值，以避免无法接受的大运行误差。本文所考虑的期权报酬是非光滑函数，特别是在执行价下，期权的报酬是不连续的。

因此，为了尽可能减少准确性损失，试验函数的点集中在接近执行价格的空间区域。因此，我们采用了Clarke和Parrott[51]提出的变量变化。就时间离散化而言，我们使用隐式-显式（IMEX）时间步进格式，它是无条件稳定的，允许我们消除期权支付的不连续性。注意，在SVJ和SVJ模型中，积分部分是非局部积分，而其他部分是微分算子，都是局部的。毫无疑问，由于积分部分是非局部算子，因此可以使用θ加权离散格式得到稠密线性方程组。因此，为了得到一个稀疏的线性方程组，最好使用IMEX格式，该格式以避免密度矩阵而闻名。到目前为止，据所知，文献中使用theIMEX方案对期权定价的已发表作品包括[3,47]。这种方法仅具有一阶精度，但通过执行理查森外推程序（时间步长减半）可获得二阶时间离散。本文用矩阵法对该方法进行了稳定性分析。最后，为了解决美式期权中出现的自由边界问题，期权是通过Richardson对期权价格的外推来计算的。本质上，Richardson外推将自由边界问题和线性互补问题简化为固定边界问题，而固定边界问题的求解要简单得多。数值实验表明，从计算的角度来看，该方法是有效的。

特别是，在SVJ或VCJ模型中，欧式和美式期权的价格都可以用10阶误差（最大范数和均方根相对差值）进行计算-3在十分之一秒内。此外，百慕大近似法被证明是处理早期机遇练习的最有效算法。我们注意到，本手稿的主要贡献在于表明，就我们所知，MLPG从未应用于数学金融中的问题，可以准确、快速地得出欧洲和美国期权价格的近似值。总的来说，本文的重点是为SVJ和SVJ模型下的期权定价提供一种精确、计算快速、稳定、收敛且简单的方法。我们应该注意到，这项工作的关键思想是找到一种结合使用以下数值到ols的新技术：变量的空间变化、Black-Scholes算子的时间离散化、Richardson外推程序、LRPI离散化、Wendland紧支撑径向基函数、空间变量变换、，用百慕大期权的价格和部分旋转的LU因子分解法近似美式期权的价格。严格地说，这些单独考虑的工具并不是新的，而是继承了一个事实，即在期权定价中从未提出过将所有这些技术结合在一起的方法，因此提出的技术是新的、准确的和非常快速的。本文的组织结构如下：第2节详细介绍了美国期权的SVJ和SVCJ模型。第3节介绍了MLPG方法，本节展示了这种数值技术在所考虑的期权定价问题中的应用。

第4节介绍并讨论了获得的数值结果，最后，第5节得出了一些结论。2.期权定价模型2。1.SVJ或Bates SV模型为了简单起见，从现在起，我们将注意力限制在看涨期权类型上，但看涨期权的情况可以完全类比处理。首先，我们感兴趣的是贝茨随机波动率模型的美式看涨期权的定价，它是由二维几何布朗运动加上具有时变波动率的复合负跳组成的指数L’evy过程。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，也是一个连续的L’evy过程，具有L’evy测度。贝茨模型是一种无套利市场模型，在该模型中，设定价格随时间t变化∈ [0，T]并且T到期时间比g viven bySt=SeXt，其中是时间为零时的资产价格。然后，资产价格及其波动率的风险中性动态由以下随机微分方程[3,48,49]dStSt=αdt+pYtdWt+dJt，dYt=ξ（η）描述- Yt）dt+θpYtdWt，其中（Wt，Wt）是具有相关因子ρ的两个布朗运动∈ [-1, 1], ξ, η, θ ∈ R+分别是Yt的均值回归率、长期均值和不稳定波动率，Jt=PNtj=1Rjis是一个复合泊松过程，其中NTi是一个强度为λ的泊松过程，Rj集是一系列密度为ν（dx）/λ的独立同分布（i.i.d.）随机变量。也就是α=r-Q-λκ是漂移率，其中r是无风险利率，q是股息，κ是预期的相对规模。在这里，我们可以将L′evy度量ν（dx）重写为λf（x）dx，其中f（x）是一个权函数。通过选择该权重函数，有限活动跳跃扩散模型是默顿[43]f（x）提出的对数正态模型=√2πxδexp(-（日志x）- γ） 2δ），（2.1）注意f（x）≥ 0和Zr+f（x）dx=1。

（2.2）我们现在考虑标的资产价格为E且成熟度为t的美式看涨期权的定价。On可以表示V（s，y，t），表示s，y∈ [0, +∞) 和t∈ [0，T），满足自由边界问题的下列系统电视（s，y，t）+LV（s，y，t）=0，0≤ s<B（y，t），（2.3）V（s，y，t）=s- E，s>B（y，t），（2.4）lims→B（y，t）V（s，y，t）s=1，（2.5）lims→B（y，t）V（s，y，t）y=0，（2.6），其中lv（s，y，t）=-F×V（s，y，t）+.（E×）V（s，y，t））- （r+λ）V（s，y，t）+λZR+V（sx，y，t）f（x）dx，（2.7）E=ysρθsyρθsyθy,F=-（r）- Q-λκ）s- Y- ρθsξ（η）- y）-θ- ρθy我们应该再次注意到，κ是预期的相对跳跃大小，其计算公式为κ=RR+（z）- 1） f（z）dz。我们有κ=exp（γ+δ/2）- 默顿模型为1。到期时V的价值由V（s，y，T）=（s），（2.8）给出，其中是所谓期权的支付：（s）=最大（s- E、 0），（2.9），这在s=E时显然是不可区分的。美式看涨期权在边界上的价值行为由V（0，y，t）=0，lims给出→+∞V（s，y，t）=s- E（2.10）在关系式（2.3）-（2.6）中，B（y，t）表示所谓的运动边界，该边界未知，由（2.3）-（2.10）隐含定义。上述自由边界偏微分问题没有精确的闭式解，因此需要一些数值近似。问题（2.3）-（2.10）可以重新表述为线性互补问题：电视（s，y，t）+LV（s，y，t）≥ 0，（2.11）V（s，y，t）- （s）≥ 0 , (2.12)电视（s，y，t）+LV（s，y，t）· （V（s，y，t）- （s））=0（2.13），表示s，y∈ (0, +∞) 和t∈ [0，T]，最终条件：V（s，y，T）=（s），（2.14）和边界条件：V（0，y，T）=0，lims→+∞V（s，y，t）=s- E(2.15)2.2. SVCJ模型在贝茨模型中，泊松跳跃仅添加到资产价格St的风险中性动态中。