实值仿射过程驱动的仿射LIBOR模型

引理3的证明：对于函数f（x），用fe（x）=（f（x）+f表示其奇偶部分(-x） ），fo（x）=（f（x）- f(-x） ）。注意，如果f是单调递增的，那么fo也是如此。然后（11）可以写为mut（x）=eφT-t（u）+ψt-t（u）x+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） x= eφeT-t（u）+ψeT-t（u）xcosh（φoT）-t（u）+ψoT-t（u）x）和muit（x）Mut（x）=e（φeT-t（用户界面）-φeT-t（u））+（ψeT-t（用户界面）-ψeT-t（u））xcosh（φoT-t（ui）+ψoT-t（ui）x）cosh（φoT-t（u）+ψoT-t（u）x）。（29）如果ui=u，则（29）是常数，对单调性或最大值没有影响。因此，从现在起，假设所有i的函数u>ui。方程（12）的函数g可以写为g（x）=nXi=1ciaeeaixcosh（Bi+bix）cosh（B+bx），其中对于i=0，nAi=（φeT）-t（用户界面）- φeT-t（u）），Bi=φoT-t（ui），ai=（ψeT）-t（用户界面）- ψeT-t（u）），bi=ψoT-t（用户界面）。因为ψ是单调递增的（见引理1），所以ψois也是单调递增的。当ψo（0）=0时，bi≥ 0表示所有i。此外，请注意ai<b- biis等价于ψT-t（ui）<ψt-t（u）和-ai<b- Bi等价于ψT-t(-u） <ψT-t(-用户界面）。自CEU>ui≥ ψ的单调性产生|ai |<b- 毕。（30）一个基本的计算公式是：sg（x）=cosh（B+bx）nXi=1cieaixfi（x），其中fi（x）=aicosh（Bi+bix）cosh（B+bx）+bisinh（Bi+bix）cosh（B+bx）- bcosh（Bi+bix）sinh（B+bx）。具有实值过程的有效LIBOR模型fiisfi（x）=bicosh（B+bx）的导数aisinh（Bi+bix）+（Bi- b） cosh（Bi+bix）+bcosh（Bi+bix）aisinh（B+bx）+（bi）- b） cosh（b+bx）.（31）使用（30）（31）中每行括号内的术语严格小于|ai |（sgn（ai）sinh（Bj+bjx）- cosh（Bj+bjx））≤ 0，（j=i，0）。最后一个不等式成立，因为cosh（x）±sinh（x）≥ （31）中括号外的术语均为正值。因此f≥ 0，且函数单调递减。用（30）简单计算表明→-∞fi（x）=∞ 还有limx→∞fi（x）=-∞.

由于所有i的ci>0，因此pni=1ciaeixfi（x）也是如此。因此，g有一个最大值，并且从左到右递减。g（x）≥ 0，然后再次使用（30）limx→∞g（x）=limx→-∞g（x）=0。引理4:f的证明是紧支撑连续的。因此，扩展的fourier变换^f（z）=RRf（x）e-izxdx适用于所有z∈ C是分析型的。对于z 6=0，z 6=-ivk，由^f（z）=zκe给予-Izzf（x）dx=izZκe-izxf（x）dx=izxkvk- 伊兹e（vk）-iz）κ- e（vk）-iz）κ.自^f（u- iR）=O（u-2） 对于固定R，它是绝对可积的。通过傅里叶逆变换f（x）=2πZIm（z）=-Reizx^f（z）dz=2πz∞重新e（iu+R）x^f（u）- （红外）du，其中最后一个方程来自f是实值且对称性^f（z）=^f的事实(-z） 。真诚的|e（iz+R）Xt | | Fs|^f（z）| dz=MXt | Xs（R）R |^f（z）| dz是有界的，如果R∈ 五、∩ R、 条件期望和积分可以互换。参考文献[1]菲舍尔·布莱克。商品合同的定价。《金融经济学杂志》，3（1-2）：167-1791976年。[2] 达米亚诺·布里戈和法比奥·马库里奥。利率模型——理论与实践：利率、通货膨胀和信贷（斯普林格金融）。斯普林格，第二版，2006年。[3] Christa Cuchiero和Josef Teichman。一般状态空间上单进程的路径性质和正则性。在S’eminaire de Probabilit’es XLV中，数学课堂讲稿，第201-244页。斯普林格国际出版社，2013年。[4] 达雷尔·杜菲、达米尔·菲利波维奇和沃尔特·沙切梅耶。一套财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13:984-1053，2003年。具有实值过程的有效LIBOR模型[5]Ernst Eberlein和Fehmi–Ozkan。列维伦敦银行同业拆借利率模型。《金融与随机》，9（3）：327-3482005。[6] 恩斯特·埃伯林和塞巴斯蒂安·雷布尔。由一般L’evy过程驱动的期限结构模型。数学金融，9（1），1999年。[7] 达米尔·菲利波维奇。时间非均匀过程。

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