实值仿射过程驱动的仿射LIBOR模型

每x∈ R函数u 7→ 在美国，cosh（ux）正在增加∈ R≥0和满意度（ux）≥ 1所以ifu≥ U≥ ··· ≥ 联合国≥ 0，等式（7）持有和远期利率Fk（t）=K穆克-1千吨- 1., 0≤ T≤ Tk-1.对于所有t均为非负。要获得初始市场数据，必须选择序列（uk），以便Muk=P（0，Tk）/P（0，t）。下面的引理给出了一个有效过程X的条件，在此条件下，给定的初始项结构可以被复制，并表明Ukare是唯一确定的。引理2:IfP（0，T）/P（0，T）<supu∈五：-U∈VEQT[cosh（uXT）| F]，则该模型可以拟合任何非负远期利率的期限结构。此外，还存在一个独特的递减序列u≥ ··· ≥ n，使得P（0，Tk）/P（0，T）=EQT[cosh（ukXT）| F]=Muk。如果远期利率严格为正，则序列严格为递减。证明：m（u）=EQT[cosh（uXT）|F]是一个连续函数，它严格地随u递增≥ 根据定理的假设，存在u>0，m（u）>P（0，T）/P（0，T）。一个实值过程为m（0）=1的有效LIBOR模型，证明了引理。备注：通过设置mut=E“dYl=1cosh，可以将这种方法推广到d维驾驶过程u（l）X（l）T英尺#，u=（u（1），u（d））≥ 0.在这种情况下，可以保证Mut≥ MWTFU≥ w、 这保证了远期利率的非负性。然而，以下章节中的期权定价公式并不能概括。正如在单调递减序列（uk）的伦敦银行同业拆借利率模型中一样，正向利率不仅是非负的，而且由严格正的时间相关常数（可以通过数值计算）限定。

如果这些界限接近于零，这不是一个大问题，但必须在校准过程中进行检查。在修改后的伦敦银行同业拆借利率模型中，根据比亚迪QTkd QT=P（0，T）P（0，Tk）MukTk=MukTkMuk，对Tk远期计量qtki的计量变化。（10） 这里的mukt是Xt的指数之和，而在有效LIBOR模型中，相应的项是一个指数。这意味着，与伦敦银行同业拆借利率模型相反，过程X在QTk下不是一个不均匀的过程，并且不可能计算QTk下正向债券价格对数的矩母函数。然而，我们还是有可能得到头盖和交换期权价格的分析公式。4.1. 期权定价Caplet和Swaption定价公式的推导基于Jamshidian【10】中采用的方法。首先处理头巾，然后进行交换。注意如果uk=uk-1相应的远期利率始终为零。为了排除这些病理学的例子，假设序列（uk）是严格递减的。在本节中，随机变量通常被视为驱动过程X值的函数。具体考虑函数Mut:R→ R、 x7→ Mut（x）：=eφT-t（u）+ψt-t（u）x+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） x. （11） 鞅Muin（9）的时间t值为Mut=Mut（Xt）。在本文的其余部分，我们将同时指出随机过程的功能和价值，其中正确的解释应该从上下文中明确。（k+1）thforward rate Fk+1（Tk）与strike k的caplet的支付为k+1Fk+1（Tk）- K+=P（Tk，Tk+1）-~K+=MukTkMuk+1Tk-~K！+，实际上，caplet价格与只有一个基本周期的互换期权价格一致。这两种衍生品的区别在于支付时间。具有实值过程的伦敦银行同业拆借利率模型，其中K=1+k+1K。

由于该支付必须在Tk+1时支付卡普莱的价格和相应的层数isCpl（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，Tk+1）EQTk+1“mukTmuk+1Tk-~K+Ft#，Flt（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，Tk+1）EQTk+1”~K-MukTkMuk+1Tk+英尺#。由于价格过程是鞅，看跌/看涨平价成立，caplet的价格跟随fl oorlets，反之亦然。由于付息有界的情况下，傅里叶分析更容易对浮点数进行分析，因此推导了浮点数的公式。由于ln（MukTk/Muk+1Tk）的矩母函数未知，傅里叶方法不直接适用。然而，函数x7→ MukTk（x）/Muk+1Tk（x）有一个唯一的极小值，并且从这个极小值开始单调递增。使用这个方法可以去除正的部分，并使用傅里叶反演来计算上述期望。上述单调性是非常幸运的，它源于序列（uk）的单调性和函数ψ之间的密切相互作用，以及余弦双曲线的性质。下面引理的证明中列出了细节，可以在附录中找到。引理3：对于i=1，让你≥ 用户界面≥ 0，其中至少有一个i u>ui。设ci>0为正常数。定义函数g:R→ R byg（x）：=nXi=1ciMuit（x）Mut（x）。（12） 那么g在某个点ξ有一个唯一的最大值∈ R和and在ξ的左右两侧严格单调递减为0。对于FLOORLET估值，当uk>uk+1时，这个引理不直接适用，这是错误的不平等。然而，只有一个和，并且引理可以应用于逆EMUK+1Tk（x）/MukTk（x）。因此，MukTk（x）/Muk+1Tk（x）在某个点ξ处有一个唯一的最小值，并且从左到右都在增加。因此，可以写入K-MukTk（x）Muk+1Tk（x）+=~K-MukTk（x）Muk+1Tk（x）！I{κ<x<κ}，（13）其中κ和κ是满足κ的两个唯一确定的常数≤ ξ ≤ κ.

如果κ=ξ=κ，则收益为零，对应于MukTk/Muk+1Tk>~K。如果远期利率从下方以K为界，则会发生这种情况，这只发生在非常低的利率K。在汇率中插入（13）后，会出现一个变化，即flt（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，Tk+1）EQTk+1”~K-MukTkMuk+1Tk！I{κ<XTk<κ}Ft#=P（t，t）EQTh■KMuk+1Tk- 穆克I{κ<XTk<κ}Fti。（14） 具有实值过程的有效LIBOR模型KMuk+1Tk- MukTkis是随机变量XTk的指数和。（14）中的期望值是在测量QT下计算的，其中条件力矩生成函数mxt | Xs（z）：=EQTezXt|Fs= EQTezXt|Xs= exp（φt）-s（z）+ψt-s（z）Xs）以z而闻名∈ V.因此（14）中的期望值可以通过傅里叶反演计算。引理4给出了上述形式项的傅立叶反演公式，附录中给出了证明。引理4：假设函数f:R→ R的表达式为f（x）=XkCkevkxI{κ<x<κ}，limx↓κf（x）=limx↑κf（x）=0，其中求和是在一个有限的指数集和Ck和vkare实常数上。然后是R∈ 五、∩R傅里叶反演公式[f（Xt）|Fs]=πZ∞重新MXt | Xs（iu+R）^f（u）- （红外）duholds，其中^f是由^f（z）=izzkvk给出的解析Fouier变换- 伊兹e（vk）-iz）κ- e（vk）-iz）κ, z 6=0，z 6=-伊夫克。（15） 要计算（14）中的弗勒莱价格，请将引理4应用于fKk+1（XTk）和fKk+1（x）：=~KMuk+1Tk（x）- MukTk（x）I{κ<x<κ}。（16） 其傅里叶变换为^fKk+1（z）=iz(1 + k+1K）hTkκ，κ(-伊兹，英国+1）- hTkκ，κ(-伊茨（英国）（17） 其中htκ，κ（z，u）：=eφT-t（u）ψt-t（u）2（z+ψt）-t（u））e（z+ψT）-t（u））κ- e（z+ψT）-t（u））κ+ eφT-t(-u） ψT-t(-u） 2（z+ψT）-t(-u） )e（z+ψT）-t(-u） ）κ- e（z+ψT）-t(-u） ）κ.（18） 交换期权的情况也类似。考虑作为期限结构一部分的掉期。

也就是说，考虑1≤ α < β ≤ N和相应的利率互换，远期互换利率α，β（t）=P（t，tα）- P（t，tβ）Pβk=α+1kP（t，Tk），k=Tk- Tk-1.具有实值过程的有效伦敦银行同业拆借利率模型在上述掉期中，行使K的看跌期权的支付为βXk=α+1P（Tα，Tk）k（k）- Sα，β（Tα））+=P（Tα，Tβ）+KβXk=α+1kP（Tα，Tk）- 1!+=MuβTαMuαTα+βXk=α+1KkMukTαMuαTα- 1!+.因为函数MuβTα（x）/MuαTα（x）+Pβk=α+1KkMukTα（x）/MuαTα（x）是引理3的形式，它有唯一的最大值ξ，可以找到常数κ≤ ξ ≤ κ，使得在改变测量值后，一个卖出期权的值是卖出期权（t，tα，tβ，K）=P（t，t）EQThfKα，β（XTα）Fti，其中fkα，β（x）=MuβTα（x）- MuαTα（x）+βXk=α+1KkMukTα（x）！I{κ<x<κ}。（19） 这也是引理4中的形式，在这个例子中是^fKα，β（z）=izhTακ，κ(-iz，uβ）- hTακ，κ(-iz，uα）+KβXk=α+1khTακ，κ(-伊茨（英国）,（20） 其中，htκ，κ（z，u）在（18）中定义。定价公式总结在以下定理中。定理5：让R∈ 五、∩R.在修改后的伦敦银行同业拆借利率模型中，远期利率看跌期权和看跌期权的价格为flt（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，t）πZ∞重新MXTk|Xt（R+iu）^fKk+1（u）- （红外）du，（21）PutSwaption（t，tα，tβ，K）=P（t，t）πZ∞重新MXTα| Xt（R+iu）^fKα，β（u- （红外）du，（22）分别在（17）和（20）中给出了R的傅里叶变换^fKk+1^fKα和β/∈分别为{0，uk，uk+1}R/∈ {0，uα，…，uβ}。与弗罗莱的情况一样，如果κ=κ，则远期掉期利率总是大于走向。注意，Sα，β（t）也可以写成Sα，β（t）=Pβk=α+1wk（t）Fk（t），wk>0（参见例如Brigo和Mercurio[2]）。因此，如果远期利率低于正常数，那么远期掉期利率也是如此。

这个界限最多是相应远期利率界限的平均值，因此具有相同的数量级，对于一个有意义的模型来说，这个数量级足够小。具有实值过程的伦敦银行同业拆借利率模型为了分别计算^fKα，β，必须找到函数gkk（x）：=K的根κ，κ-MukTk（x）Muk+1Tk（x），（23）gKα，β（x）：=MuβTα（x）MuαTα（x）+βXk=α+1KkMukTα（x）MuαTα（x）- 1.（24）通过引理3，这相当于找到一个函数的根，该函数只有一个最优值，并且在远离该最优值时是单调的。用数值方法确定这种性能良好的一维函数的根并不成问题。在确定了边界后，数值积分可简化为一个函数的一维积分，该函数至少下降1/x（取决于有效过程的矩母函数），因此数值积分也是可行的。请注意，除了上限、下限和互换期权外，数字期权或资产或无期权等期权也可以以类似方式计算。4.2. 示例本节第一部分介绍布朗运动的基准情况，其中所有内容也可以用封闭形式计算。然后讨论了Ornstein-Uhlenbeck过程。本节最后给出了可能的挥发性表面示例。布朗运动选择Xt=Bt，一个从0开始的标准布朗运动。条件矩母函数isMBT | Bt（u）=EeuBT |英尺= 经验uBt+u（T）- （t）.因此，这是一个φt（u）=ut和ψt（u）=u的有效过程。考虑（14）中给出的t=0的一个浮点数的时间0。自从穆特(-x） =Mut（x）发现在这种情况下，κ=κ和κ=-κ、 其中，如果gKk+1（0）<0，则κ为（23）的唯一正根，否则为κ=0。

通过（14）FLOORLET价格Flt（0，Tk，Tk+1，K）isP（0，T）EQT~Keuk+1（T）-Tk）cosh（英国+1BTk）- 欧克（T）-Tk）科什（ukBTk）我{BTk|≤ κ}.从0E[cosh（zBt）I{| Bt|开始的布朗运动的对称性≤ κ} ]=EezBtI{| Bt |≤ κ}= EE-zBtI{| Bt |≤ κ}= 埃茨Φκ√T- Z√T- Φ-κ√T- Z√T,具有实值过程的有效LIBOR模型，其中Φ表示标准正态分布随机变量的累积分布函数。HenceFlt（0，Tk，Tk+1，K）=KP（0，T）euk+1TΦκ√Tk- 英国+1pTk- Φ-κ√Tk- 英国+1pTk-P（0，T）eukTΦκ√Tk- ukpTk- Φ-κ√Tk- ukpTk.当B被一个布朗运动所取代时，存在着稍微复杂一些的公式，布朗运动具有恒定的漂移和波动性，起始值不同于0。交换选项也可以以同样的方式处理。如果gKα、β（0）>0，则κ为（24）的唯一正根，反之则为κ=0。假设（0，Tα，Tβ，K）=P（0，T）euβTΦκ√Tα- uβpTα- Φ-κ√Tα- uβpTα- P（0，T）euαTΦκ√Tα- uαpTα- Φ-κ√Tα- uαpTα+ P（0，T）βXk=α+1K基特Φκ√Tα- ukpTα- Φ-κ√Tα- ukpTα.Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程由L’evy过程L生成的OU过程X被定义为（见Sato[16]，第17节）dXt=-λXtdt+dLt，X=X.（25），然后Yt:=eλtXt=X+RteλsLsds。使用Eberlein和Raible[6]的关键公式，可以得出如下结论：尤克斯= 进出口E-λtuYti=expE-λtux+Ztκ（e-λsu）ds,其中，κ（u）=ln（E[L]）是L′evy过程L的累积量母函数。而这个过程是一个ψt（u）=E的函数-λtu和φt（u）=Ztκ（e）-λsu）ds=λZe-λtκ（vu）vdv。（26）根据杜菲等人[4]中的推论2.10，每个状态空间为R的过程实际上都是一个输出过程。因此，在实线定义的有效流程中，OU流程是需要考虑的正确类别。为了应用，应该可以用解析法计算（26）中的积分。

下面给出了两个可能的例子。备注：如果L是一个鞅，那么（25）中的过程是均值归零，但是通过使用Zt=θ+Xt可以很容易地将均值移到θ。那么dZt=λ（θ- Zt）dt+dLtandE尤兹特= 经验（φt（u）+θu（1）- E-λt））+ψt（u）Z.具有实值过程Z的LIBOR模型也是一个具有ψθt（u）=ψt（u）和φθt（u）=φt（u）+θu（1）的LIBOR模型- E-λt）。注意，该过程随后由L’evy过程Lt=Lt+θλt生成，即原始L’evy过程加上θλ的额外漂移。第一个例子是由布朗运动σB生成的经典OU过程，其中κ（u）=σu。这个过程用dxt=-λXtdt+σdBt，X=X，（26）中的积分是φt（u）=λZe-λtκ（vu）vdv=σu4λ（1）- E-2λt）。（27）布朗运动描述了L’evy过程的连续部分。，对于第二个例子，我们考虑一个纯跳跃过程，即双Γ-OU过程。Γ-OU过程由跳跃强度为λβ（λ与（25）相同）的复合泊松过程和期望值为α的指数分布跳跃生成。这个过程的极限分布是Γ分布，它给这个过程起了名字。当生成复合泊松过程严格增加时，生成的Γ-OU过程是一个从属过程，并且保持在0以上。为了找到具有R值的OU过程，考虑两个独立化合物Γ-OU过程L+，L的差异-参数为α+，β+，α-, β-设置λ+=λβ+，λ-= λβ-. 那么L=L+- L-是一个复合泊松过程，其中具有预期跳跃大小α+的正跳跃到达速率λ+，而具有预期跳跃大小α的负跳跃到达速率λ+-到达率λ-.指数跳跃复合泊松过程的累积量母函数λβuα-u、 定义为u<α。

因此对你来说∈ (-α-, α+）组合过程的矩母函数euL= EheuL+iEhe-uL-i=expλ(β++ β-)u+（β+α）-- β-α+u（α）+- u） （α）-+ u）.将其插入（26）简单的计算中，结果ou过程的函数φ由φt（u）=β++β给出-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ E-λtu）（α+- u） （α）-+ u）+β+- β-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ u） （α）+- u） （α）-+ E-λtu）.（28）通过考虑由L’evy过程生成的OU过程，也可以将这两种方法结合起来，L’evy过程是两个复合泊松过程加上布朗运动的不同，所有这些过程都是独立的。然后，将两个函数（27）和（28）相加，得到φ，对于这个过程，V={u∈ C:-α-< Re（u）<α+}。通过前面的注释，也可以将这个过程移动θ。下面的数值例子中使用了这样的OU过程。具有实值过程的有效LIBOR模型0。020.030.040.050.060.071.52.02.53.03.54.04.55.00.100.150.200.250.30罢工图1：参数λ=0.02，α+=12，α的OU过程产生的CAPlet的隐含波动率偏差-= 10, β+= 50, β-= σ=0.3，θ=0.5，x=0.7，T=10。波动性表面通过上一节的OU过程，可以产生波动性微笑和波动性偏差。为了便于说明，我们考虑利率为3.5%的期限结构。期限结构和远期利率均以半年为基础。然后计算5年期内成熟度为0.02至0.07的小囊的隐含波动率。图1显示了一个扭曲的波动率表面，而图2显示了一个非常明显的微笑，这两个微笑都是由刚刚引入的OU过程产生的。如前几章所述，这类模型中的远期利率将从下方限定。

这些例子中的界限是半年后到期的远期利率为1%，5年后到期的远期利率基本上为0%。因此，它们在合理的范围内。为了完整性起见，图3显示了到期日和基础掉期利率在2至7年之间的掉期期权的现金隐含波动率示例。结论经典利率市场模型不能同时考虑caplet和swoptions的半解析定价公式，也不能保证非负利率。一个例外是Keller-Restel等人[14]提出的有效伦敦银行同业拆借利率模型。本文修改了他们的方法，也考虑了不一定是非负的驱动过程。Caplet和swaption估值可以通过一维数值积分实现。这允许快速计算这些类型的利率衍生品的隐含波动率。借助实值波动过程的额外灵活性，这种模型能够生成倾斜的隐含波动性曲面以及带有明显微笑的隐含波动性曲面。具有实值过程的有效LIBOR模型0。020.030.040.050.060.071.52.02.53.03.54.04.55.00.100.150.200.250.30罢工图2：参数为λ=0.02，α+=50，α的OU过程产生的小股隐含波动率微笑-= 5, β+= 50, β-= 10，σ=0，θ=0，x=1和T=10.234567823456780.100.150.200.250.300.350.40Swaption ExpireySwap Length图3：参数λ=0.02，α+=12，α的OU过程产生的Swaption隐含挥发物-= 10, β+= 50, β-= σ=0.3，θ=0.5，x=0.7，T=10。具有实值过程的伦敦银行同业拆借利率模型A。