实值仿射过程驱动的仿射LIBOR模型

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英文标题：
《Affine LIBOR models driven by real-valued affine processes》
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作者：
Stefan Waldenberger and Wolfgang M\\\"uller
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The class of affine LIBOR models is appealing since it satisfies three central requirements of interest rate modeling. It is arbitrage-free, interest rates are nonnegative and caplet and swaption prices can be calculated analytically. In order to guarantee nonnegative interest rates affine LIBOR models are driven by nonnegative affine processes, a restriction, which makes it hard to produce volatility smiles. We modify the affine LIBOR models in such a way that real-valued affine processes can be used without destroying the nonnegativity of interest rates. Numerical examples show that in this class of models pronounced volatility smiles are possible.
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中文摘要：
仿射伦敦银行同业拆借利率模型满足利率建模的三个核心要求，因此极具吸引力。它是无套利的，利率是非负的，caplet和swaption价格可以通过分析计算得出。为了保证非负利率，仿射LIBOR模型由非负仿射过程驱动，这是一个限制，使得很难产生波动。我们对仿射LIBOR模型进行了修改，使得在不破坏利率非负性的情况下，可以使用实值仿射过程。数值例子表明，在这类模型中，显著的波动微笑是可能的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Affine_LIBOR_models_driven_by_real-valued_affine_processes.pdf (440.48 KB)

2022-5-7 21:20:51 上传

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关键词：LIBOR lib Quantitative Requirements Nonnegative

由实值过程驱动的有效LIBOR模型Wolfgang M¨uller，Stefan Waldenberger关键词：LIBOR利率模型，远期价格模型，有效过程，波动率微笑摘要：有效LIBOR模型的类别很有吸引力，因为它满足了利率建模的三个核心要求。它是无套利的，利率是非负的，caplet和swaption价格可以通过分析计算得出。为了保证非负利率，Libor模型由非负利率过程驱动，这是一种限制，使得很难产生波动。我们修改了伦敦银行同业拆借利率模型，这样就可以在不破坏利率非负性的情况下使用实值伦敦银行同业拆借利率过程。数值例子表明，在这类模型中，显著的波动率微笑是可能的。1.简介市场模型，最著名的例子是伦敦银行同业拆借利率市场模型，在利率建模领域非常流行。如果这些模型产生非负利率，它们通常不会给出基本利率衍生品、上限和互换期权的半解析公式。一个例外是Keller Reselet等人[14]提出的一类有效LIBOR模型。使用非负的a ffine过程作为驱动过程a ffine LIBOR模型保证非负的远期利率，并得出资本和互换期权的半分析公式，因此可以校准利率市场数据。本文修改了Keller Ressel等人[14]的设置，以允许不一定是非负的有效过程。这种修改仍然会导致CAP和互换期权的半解析公式，并保证非负远期利率，但允许更广泛的驱动过程，因此在产生利率倾斜和微笑时更灵活。Fonseca等人[8]还提出了对伦敦银行同业拆借利率模型的修正。

驱动过程是一个在正半限定矩阵空间中具有值的过程。本文的方法的优点是，可以用更少的参数生成一类灵活的隐含波动率表面。本文的结构如下。在第2节中，我们回顾了各种工艺及其特性。第3节介绍了必要的符号和市场设置，并回顾了Libor模型。最后对实际实施提出了一些意见。第四部分是本文的主要部分。第一部分介绍了修改后的伦敦银行同业拆借利率模型，并推导了上限和互换期权的半分析定价公式。第二部分给出了一些可用的数值计算过程的例子。具有实值过程的伦敦银行同业拆借利率模型2。A ffine processlet X=（Xt）0≤T≤t值为D=Rm的齐次马尔可夫过程≥0×n在可测空间上实现(Ohm, A） 过滤（英尺）0≤T≤T、 关于哪个X被调整。当X=X时，用Px[·]和Ex[·]表示相应的概率和期望。如果X的特征函数具有formEx欧盟·Xt= exp（φt（u）+ψt（u）·x），u∈ i路，x路∈ D、 （1）式中φ：[0，T]×i-Rd→ C和ψ：[0，T]×ird→ cdi-Rd={u∈ Cd:Re（u）=0}和·表示Rd中的标量积。

通过齐性和马尔可夫性，条件特征函数满足欧盟·Xt | Fs= exp（φt）-s（u）+ψt-s（u）·Xs）。因此，对于非齐次马尔可夫过程（见Filipovic[7]），也可以定义一个有效过程，在这种情况下，上述等式为：欧盟·Xt | Fs= exp（φs，t（u）+ψs，t（u）·Xs），u∈ i路，x路∈ D、 用φs，t:i-Rd→ C和ψs，t:ird→ CD0≤ s≤ t、 如果X是随机连续的，且setV的内部为：=（u），则X称为分析过程（见Keller Ressel[11]）∈ Cd:sup0≤s≤TExheRe（u）·Xsi<∞ 十、∈ D） ，（2）包含0。在这种情况下，函数φ和ψ连续扩展到V，在内部进行分析，因此（1）适用于所有u∈ V.一类有效过程包括布朗运动和更一般的所有L’evy过程。由于L′evy过程具有平稳的独立增量，在这种情况下，ψt（u）=u和φt（u）=tκ（u），其中κ是L′evy过程的累积量生成函数。OrnsteinUhlenbeck过程是更重要的过程示例。第4.2节对其进行了讨论。Duffee等人[4]是一个有效流程的标准参考。它们给出了一个有效过程的特征，其中φ和ψ被指定为一个微分方程组的解。在所有丰富的函数过程理论中，本文中的方法仅使用其矩母函数的特殊形式（1）和以下性质。引理1：设X为一维解析过程，Re（u）<Re（w），u，w∈ V.然后Re（ψt（u））<ψt（Re（w）），即ψt|V∩Ris在不断增加。V可以被描述为（凸）集，其中X的扩展矩母函数定义为所有时间t≤ T和所有起始值x∈ E

根据Keller Ressel和Mayerhofer[12]中的引理4.2，setV实际上等于看似较小的setnu∈ Cd:十、∈ int（D）：ExheRe（u）·XTi<∞o、 这也意味着X是保守的，即Px（Xt∈ D） =1十、∈ D和0≤ T≤ T这一特征适用于所有随机连续过程的事实首先在inKeller-Ressel等人[13]中展示，随后在Keller-Ressel等人[15]和Cuchiero and Teichman[3]中展示了具有更一般状态空间的过程。具有实值过程限制的有效LIBOR模型：Keller-Ressel等人[14]中已经包含了D=R+的情况。在D=R的情况下，这个问题来自于凯勒·雷塞尔等人[13]中的命题3.3，对于某些常数β，ψt（u）=eβtu。备注：如果D=R+，已知ψ和φ都是单调递增的（KellerRessel等人[14]）。当D=R时，这对于ψ是正确的，但对于φ则不是，因为确定性a ffineprocess Xt=x- t秀。3.利率市场模型Classic market Models考虑了期限结构0<T<··<TN<TN+1=：T和由到期日为T的零息债券组成的市场，TN+1。它们的价格过程（P（t，Tk））为0≤T≤Tkare假设为过滤概率空间上的非负半鞅(Ohm, A、 （英尺）0≤T≤T、 P），几乎可以肯定满足P（Tk，Tk）=1。如果存在一个等价的概率测度qt，使得规范化债券价格过程P（·，Tk）/P（·，T）是鞅，则市场是无套利的。在这种情况下，我们可以定义数值P（t，Tk）的等价鞅测度qtk，而不是P（t，t）byd QTkd QT=P（Tk，t）P（0，t）P（0，Tk）。（3） 特别是在qtk指标下，远期债券价格过程P（·，Tk-1） /P（·，Tk）和远期利率过程Fk（·），Fk（t）=KP（t，Tk）-1） P（t，Tk）- 1., k=Tk- Tk-1，（4）是鞅。

这是本文其余部分使用的基本市场设置。在经典的LIBOR市场模型中，远期利率过程在各自的鞅测度QTk下被建模为连续指数鞅。从那时起，利率为正。使用无漂移几何布朗运动作为驱动过程，caplet价格由Black公式（Black[1]）给出，而swaption价格无法解析计算。或者，我们可以从建模远期债券价格过程P（·，Tk）开始-1） /P（·，Tk）而不是远期利率过程。再次使用指数鞅，比如无漂移布朗运动，就可以解析地计算出期权和互换期权的价格（见Eberlein和¨Ozkan[5]）。这种方法的缺点是，远期利率将为负，概率为正。Keller Ressel等人[14]提出了有效的伦敦银行同业拆借利率模型，其中远期利率为非负，而互换期权和caplet价格仍然可以半解析计算，即进行数值积分。上述方法针对单个度量对单个远期利率过程（分别为远期债券价格过程）进行建模。可以通过设置P（T，Tk）：=P（T，T）P（Tk，T）T>Tk来将债券价格过程扩展到[0，T]，因此P（·Tk）/P（·T）是[0，T]上的鞅当且仅当它是[0，Tk]上的鞅。从经济角度来看，这可以解释为立即将零息债券的收益投资于运行时间最长的零息债券。具有实值过程的有效LIBOR模型，它们是鞅。相反，凯勒·雷塞尔等人。

[14] 对价格过程P（·，Tk）/P（·，T）进行建模，它们都是相同概率测度QT下的鞅。注：请注意，本文中提到的所有模型并没有完全说明整个术语结构，而只是其中的一部分。为了给不包含在特定结构中的衍生产品定价，有必要指定某种插值方案。任意插值可能会导致套利，但人们总是可以选择一种插值方法，这样模型就不会出现套利（Werpachowski[17]）。伦敦银行同业拆借利率模型本节概述了Keller Reselet等[14]中介绍的伦敦银行同业拆借利率模型。关于过滤概率空间(Ohm, A、 （英尺）0≤T≤T、 QT）考虑一个非负的分析过程X，其起始值X固定∈ 研发部≥0.对于期限结构0<T<··<TN<TN+1=：T定义k=1，N和0≤ T≤ TkP（t，Tk）P（t，t）：=EQTeuk·XT | Ft= eφT-t（uk）+ψt-t（英国）·Xt，英国≥ 0，英国∈ 五、 （5）式中，EQ[·]表示关于概率测量EQ的期望。这些价格过程是鞅，由此产生的模型是无套利的。写p（t，Tk）-1） P（t，Tk）=P（t，Tk-1） P（t，t）（4）中的P（t，Tk）P（t，t）（6）表明，非负的远期利率相当于（5）满足P（t，t）P（t，t）的标准化债券价格≥ .. ≥P（t，TN）P（t，t）≥ 1.（7）从x开始≥ （7）中的标准化债券价格的单调性满足，只要u≥ . . . 联合国≥ 0.应确定参数ukin（5），以使标准化债券价格P（0，Tk）/P（0，T）=exp（φT（uk）+ψT（uk）·x的起始值符合根据实际市场数据推断的初始期限结构。

对于大多数有效流程，每个期限结构都可以采用，对于当前非负远期利率，可以使用递减顺序u≥ ··· ≥ 联合国≥ 0（见Keller-Ressel等人[14]）。注：由于X是非负的，第k次标准化债券价格不仅大于等于1，而且从下方以时间相关常数exp（φT）为界-t（英国）），它比1大得多。因此，在伦敦银行同业拆借利率模型中，远期利率从下到下被严格的正时变常数所限定。伦敦银行同业拆借利率模型导致远期利率非负。此外，这一规定很有吸引力，因为度量变化的密度过程也是指数固定的，与第2节相反，从现在起，概率度量对马尔可夫过程X起始值的任何依赖都将被抑制。具有实值过程的LIBOR模型在Xt中有效，即将（5）插入（3）给定的QTkd QT=P（0，T）P（0，Tk）eφT-Tk（uk）+ψT-Tk（英国）·XTk。此外，由于（6）的原因，标准化债券价格和远期债券价格都是指数形式。因此，QTkis下标准化债券价格对数的矩母函数也是指数形式，通过一维傅里叶反演可以计算债券价格。如果驱动过程的维数为1，则也可以通过一维傅里叶反演计算互换期权价格（见Keller-Ressel等人[14]）。因此，这种方法既满足非负利率，又满足标准利率市场工具的分析可操作性。如果维度大于1，互换期权的确切价格只能通过更高的维度积分来计算，维度是基础互换的长度。或者Grbac等人。

[9] 提供交换选项的近似公式。伦敦银行同业拆借利率模型的实际应用尽管从理论角度来看，该框架很优雅，但实际实施面临着几个难点，本文将对此进行讨论。首先，利率和隐含波动率的校准不能分开。初始期限结构可以使用uk进行拟合，但uk参数也对隐含波动率有很大影响。这可以从远期债券价格（Tk）中看出-1，Tk=expφT-t（英国）-1) - φT-t（uk）+（ψt）-t（英国）-1) - ψT-t（英国））·XTk-1., （8） 这是一个随机变量，负责一个小帽的支付。驱动过程通过两个不同的渠道影响该随机变量的分布。首先是驱动过程本身的参数，其次是uk参数（取决于X和初始利率期限结构）。因此，对于收益率曲线的变化，需要不同的参数来重现相同的隐含波动率面。如果X是一个L′evy过程，则如第2节所述，ψt（u）=u，因此（8）的分布取决于差值uk+1-这反过来又与初始产量曲线的陡度有关。因此，caplet隐含波动率对初始收益率曲线的陡度特别敏感。第二，该模型的利率和波动率取决于最终期限T。在使用相同的过程X时改变视界T将导致不同的结果，并且没有通用的方法来重新调整X的参数以消除这种影响。这与直觉大相径庭，因为扩展模型的范围不应改变已包含在较短范围内的数量的结果。第三，在完全可分析的一维情况下，可能的波动面类型相当有限。

例如，我们只能产生波动性偏差。这与大多数有效流程类似，但最明显的是L’evy流程。Keller Ressel等人[14]的微笑示例，图9.2，使用Ornstein-Uhlenbeck过程，对于小于0.4的打击，似乎在数值上是不正确的。在提到的初始收益率曲线中，潜在利率总是大于执行利率，这对应于零隐含波动率，破坏了显示的微笑。具有实值过程的有效LIBOR模型这可以通过使用高维非负过程来解决。然而，在多维的伦敦银行同业拆借利率模型中，期权不能再通过Fourier方法有效地计算。另一方面，允许任意过程破坏了远期利率的非负性，这是伦敦银行同业拆借利率模型的核心属性。我们提出了一种修正，即在不限制非负过程的情况下保持远期利率的非负性。4.基于过滤概率空间的修正伦敦银行同业拆借利率模型(Ohm, A、 （英尺）0≤T≤T、 QT）考虑一个具有固定起始值X的一维分析过程X，即（2）中定义的集合V内部包含0。为了你∈ V与-U∈ V考虑鞅Mu，Mut:=EQT[cosh（uXT）| Ft]=eφT-t（u）+ψt-t（u）Xt+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） Xt. （9） 由双曲余弦的对称性Mu=M-u、 因此，人们可能会限制你使用非负性。对于给定的基调结构0<T<·TN≤ TN+1=T和第3节的市场设置确定了k=1的标准化债券价格，N和t≤ TkasP（t，Tk）P（t，t）：=Mukt，英国∈ {v∈ V:V≥ 0, -五、∈ 五} 。由于mukt是一个QT鞅，该模型是无套利的。