一元非平稳时间序列的复合方法

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英文标题：
《Compounding approach for univariate time series with non-stationary
  variances》
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作者：
Rudi Sch\\\"afer, Sonja Barkhofen, Thomas Guhr, Hans-J\\\"urgen
  St\\\"ockmann, Ulrich Kuhl
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  A defining feature of non-stationary systems is the time dependence of their statistical parameters. Measured time series may exhibit Gaussian statistics on short time horizons, due to the central limit theorem. The sample statistics for long time horizons, however, averages over the time-dependent parameters. To model the long-term statistical behavior, we compound the local distribution with the distribution of its parameters. Here we consider two concrete, but diverse examples of such non-stationary systems, the turbulent air flow of a fan and a time series of foreign exchange rates. Our main focus is to empirically determine the appropriate parameter distribution for the compounding approach. To this end we have to estimate the parameter distribution for univariate time series in a highly non-stationary situation.
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中文摘要：
非平稳系统的一个决定性特征是其统计参数的时间依赖性。由于中心极限定理，测量的时间序列可能在短时间范围内呈现高斯统计。然而，长时间范围内的样本统计在时间相关参数上是平均值。为了模拟长期的统计行为，我们将局部分布与其参数分布相结合。在这里，我们考虑两个具体但不同的非平稳系统的例子，风扇的湍流和外汇汇率的时间序列。我们的主要重点是根据经验确定复合方法的适当参数分布。为此，我们必须在高度非平稳的情况下估计单变量时间序列的参数分布。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Compounding_approach_for_univariate_time_series_with_non-stationary_variances.pdf (1.73 MB)

2022-5-7 21:47:37 上传

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关键词：非平稳时间序列 时间序列 非平稳 distribution Econophysics

具有非平稳方差的单变量时间序列的复合方法Rudi Sch¨afer*德国杜伊斯堡-埃森大学法库特-法库特-法库特-法库特-法库特-杜伊斯堡-埃森大学德国汉斯-杰尔根-圣奥克曼-法赫贝里希物理学院菲利普斯大学马尔堡-德国乌尔里奇-库尔-马丁斯大学物理实验室，CNRS UMR 7336，法国尼斯Sophia Antipolis大学F-06108（日期：2018年11月5日）。非平稳系统的定义特征是其统计参数的时间依赖性。由于中心极限定理，测量的时间序列可能在短时间范围内呈现高斯统计。然而，长时间范围内的样本统计数据是时间相关参数的平均值。为了模拟长期的统计行为，我们将局部分布与其参数分布相结合。在这里，我们考虑两个具体但不同的非平稳系统的例子，一个风扇的湍流和一个外汇汇率的时间序列。我们的主要重点是根据经验确定复合方法的适当参数分布。为此，我们必须在高度非平稳的情况下估计单变量时间序列的参数分布。PACS编号：89.65。生长激素，05.40。Jc，05.90+复合，超统计学，方差估计，经济物理学。由于中心极限定理，许多现象可以用高斯统计描述。这也指导了我们对偏离预期值的风险的认识。因此，极端事件发生概率的增加总是引起人们的关注和强烈研究兴趣。

在观察到重尾分布的各种系统中，高斯统计仅适用于——分布的参数在时间或空间上都在变化。因此，为了描述整个系统的样本统计数据，我们必须平均（形状）参数的分布上的参数分布。这种结构在数学中被称为复合或混合物[1–3]，在物理学文献中被称为超统计[4]。参数分布函数的一个重要例子是Jakeman和Pusey[5]在1978年提到的第一时间的K分布。它是在*鲁迪。schaefer@uni-杜伊斯堡-埃森。德索尼亚。barkhofen@uni-帕德伯恩。德托马斯。guhr@uni-杜伊斯堡-埃森。德§stoeckmann@physik.uni-马尔堡。德乌尔里希。kuhl@unice.frcontext强调了强度分布及其对大范围长度尺度散射过程的意义。此外，该分布已知为简单出生-死亡迁移过程中种群的非平衡解，该过程已用于描述湍流介质中的涡旋演化。湍流的基本图景假设大涡是自发产生的，然后“产生”一代又一代的子涡，当最小的涡因粘性耗散而消失时，子涡终止Jakeman和Pusey使用K分布来拟合微波海洋回波的数据，结果证明这是非常非瑞利的。K分布也是非高斯复合马尔可夫过程的完整统计力学公式的特例，在[7]中发展。电磁散射扩散过程中的场和强K分布噪声[8,9]。

在实验上，K分布出现在多程激光束通过大气湍流[10]、合成孔径雷达数据[11]、组织的超声散射[12,13]和介观系统[14]传播的辐照度波动的背景下。在我们的研究中，我们还会遇到其中一个系统的K分布。复合分布可以应用于非常不同的经验情况：它们可以描述许多时间序列的聚合统计，其中每个时间序列都服从平稳高斯统计，其参数仅在时间序列之间变化。在这种情况下，很容易估计参数分布。当我们考虑具有时变参数的单个长时间序列的统计时，情况更加困难。在这种非平稳情况下，人们通常会对参数分布的分析形式做出特别的假设，并且只有复合分布与经验结果进行比较。本文讨论了一元平稳时间序列参数分布的经验确定问题。具体来说，我们考虑了具有时变方差的高斯统计情况。在这项工作中，我们遇到了几个问题：如果每个时间点的方差都是完全随机的，正如合成的安萨茨所建议的那样，我们无法从经验数据中确定方差分布。参数分布的经验方法的前提是时间序列在短时间间隔内是准平稳的。换句话说，与信号中波动的时间尺度相比，方差只应缓慢变化。局部方差的估计噪声与方差分布本身竞争。因此，准平稳性所处的时间间隔不应太短。

此外，我们必须注意时间序列本身可能存在的自相关，因为它们可能会导致局部方差的估计偏差。我们的目的是在两个不同的数据集上测试复合方法的有效性。本文的组织结构如下：在第二节中，我们简要总结了复合方法，并介绍了K分布发挥作用的两个最新应用。在第三节中，我们将介绍我们将要分析的两个系统，一个关于空气湍流的桌面实验，以及美元和欧元汇率的经验时间序列。在第四节中，我们讨论了在单变量时间序列中估计非平稳方差的问题。我们的实证结果见第五节第二节。理论考虑我们考虑d个随机变量的分布p（x |α），按向量x排序。它也是一个参数α的函数，决定分布的形状或其他特征，例如高斯分布的方差。如果在给定的数据集中，参数α在一个区间内变化，我们可以尝试将x的分布构造为所有分布p（x |α）与α的线性叠加hpi（x）=ZAf（α）p（x |α）dα（1）∈ A.这里，f（α）是确定叠加中α的每个值的贡献的权函数。由于α本身通常是一个随机变量，我们假设函数f（α）是一个适当的分布。特别是，它是正半定义。由于每个p（x |α）和由此产生的hpi（x）必须相对于随机向量x进行归一化，等式（1）意味着归一化zaf（α）dα=1。（2） 参数α变化的物理原因可能非常不同。在非平衡热力学中，α可能是局部流动温度。虽然我们的系统不是热力学的，但我们也考虑到了非平稳性。

在最近的实验[15,16]中，我们研究了微波通过腔内无序散射体的传播。电场的分布是在固定频率下作为位置的函数进行测量的。然后，通过叠加n=150个模式，ψ（x，y，t）=NXi=1ψi（x，y）ei（2π拟合）生成时间相关的波场-i）。（3） 这里ψi（x，y）是频率fi处的波型，而φi是随机相位。对于固定位置，强度I，p（I | Iloc）=Ilocexp的分布在时间序列ψ（x，y，t）中始终存在雷氏分布(-I/Iloc）。（4） 这只是中心极限定理的一种表现。方差，即位置的平均Ilocdependson。大量数据使得提取参数Iloc的分布成为可能。在高斯近似下，结果是χν分布，见图1。自由度的数量ν与独立现场组件的数量有关，取值为ν=30。参考文献的作者。[15,16]然后使用公式HPI（I）中的复合安萨兹公式（1）=∞Zχν（Iloc）p（I | Iloc）dIloc，（5）积分可以完成并且yieldspi（I）=νΓννIν-Kν-1rνI！，（6） 其中Ku是u度的修正贝塞尔函数。这是引言中介绍的K分布。忽略具有极高振幅的局部区域，即所谓的“热点”，强度分布可以用K分布很好地解释，见图1。我们简要地勾勒出另一个源于金融的例子。详情见参考文献[17]。概念图。1：（上图）我们测量的780像素的时间平均强度分布。插图用半对数标度显示了相同的数据。solidcurve是一个χ分布，其自由度为ν=32。（底部）由等式产生的随时间变化的波型的强度分布。

(3). 实线（红色）由等式（6）给出。与前一个示例不同的是，复合式（1）显示为中间结果，而不是ansatz。我们考虑K个股票的选择，其价格为Sk（t），K=1，K属于同一市场。一个是对固定时间间隔内相对价格变化的分布感兴趣t、 也称为返回srk（t）=Sk（t+（t）-Sk（t）Sk（t）。（7） 由于两家公司在同一个市场上运营，因此股票之间存在相关性，必须在一个时间窗口内进行衡量，该时间窗口不大于t、 相应的协方差构成K×K矩阵∑t。公司之间的业务关系以及股票市场交易人的市场预期会随着时间的变化而变化。因此，市场是非平稳的，相关系数随时间变化。只有一个月或更短的时间，∑近似恒定。高斯NP（r |∑t）=pdet（2π∑t）exp很好地描述了在阿吉文时间t在K分量向量r中排序的返回SRK=rk（t）的多元分布-r+∑-1tr. （8） 在较长时间窗口T上的非平稳性可以通过观察波动协方差矩阵∑T的集合可以由随机矩阵的集合近似来建模。在参考文献[17]中，该系综假设为Wishart分布。Wishart系综YieldSpi（r∑，N）上分布（8）的系综平均值=∞ZχN（Z）pR锌∑dz，（9），其中，∑是整个时间窗口T上的样本平均协方差矩阵。由于∑是固定的，这个结果具有复合安萨兹（1）的形式。此外，它与微波散射的结果（5）非常吻合。χN分布中的自由度数N决定了随机协方差矩阵分布的方差。

局部平均强度Ilocis的作用现在由一个有效参数z发挥，该参数完全解释了插入平均值。同样，K分布如下，hpi（r∑，N）=N/2+1Γ（N/2）pdet（2π∑/N）×K（K）-N） /2√Nr+∑-1r√Nr+∑-1r（K）-N） /2，（10）其中双线性形式r+∑-1r代替等式（6）中的强度I。在这两个例子中，过度波动量的平均值产生了描述绝大多数大型事件的重尾分布。三、 数据采集。湍流气流通过测量湍流气流产生的噪声获得第一组数据。为了产生湍流，我们使用了转子频率为18的标准风扇。44赫兹。我们限制自己使用标准音频技术处理高达20 kHz的频率和48 kHz的标准采样率，以诱人的价格提供可靠的质量。用于录音的麦克风是森海塞尔的E614，频率响应为40Hz-20kHz，方向性好，直径为20mm。它保证了宽带频率分辨率和点式测量位置。具有匹配属性的外部声卡如图所示。2：用于产生和测量湍流气流的设置。湍流气流由左侧的风扇产生，并由其前面的麦克风记录。在实验的初步阶段，笔记本电脑的声卡被用于数据采集。需要充分利用麦克风的质量，并尽量减少电脑固有噪音的影响。图2显示了一张照片或使用的设置。在风扇前面放置了一个麦克风，持续运转，产生高度湍流气流。麦克风记录湍流激发的声波的时间信号。有关分析时间序列的详细信息将在第IV.B节中讨论。

外汇汇率外汇市场具有全天连续交易的特点。这与股票市场形成对比，在股票市场中，不同证券交易所的交易时间因时区而异，不同市场部分重叠，在每个交易日的开始和结束时都有非常特殊的交易行为。因此，外汇汇率特别适合研究长时间序列。我们考虑2001年1月至2013年5月期间欧元和美元的小时汇率时间序列。经验数据来源于www.fxhistoricaldata。通用域名格式。我们用S（t）表示汇率的时间序列。根据这些，我们计算收益的时间序列，即汇率在时间间隔上的相对变化t、 r（t）=S（t+（t）- S（t）S（t）。（11） 因为我们使用每小时的数据，所以t是一小时。然而，正如我们稍后将看到的，一个交易日的回报区间，t=1d，可用于方差估计。请注意，外汇汇率通常由乘法过程建模，如几何布朗运动，参见[18]。因此，我们考虑的是汇率的相对变化，而不是汇率本身。虽然后者类似于——至少在局部类似于——对数正态分布，但回报率近似为高斯分布，取决于局部方差。四、 单变量时间序列中的非平稳方差我们考虑具有时变方差的单变量时间序列问题。更具体地说，我们考虑了方差在变化的时间序列，但显示出缓慢衰减的自相关函数。这一点至关重要，因为否则就不可能对局部方差做出有意义的估计。

具有此功能的时间序列显示大波动的延长期被中等或小波动的时段打断。图3显示了我们在本文中研究的两个数据集。在图3的上图中，我们展示了呼吸机测量的声音信号。在下图中，绘制了外汇数据的每日收益时间序列。在这两种情况下，我们观察到相同的定性行为，这在金融文献中与波动率聚类是众所周知的。单变量时间序列的复合ansatz在短时间范围内假设为正态分布，其中局部方差几乎是平稳的。然而，我们希望从经验上确定局部方差的分布，因为它是合成安萨兹的一个关键部分。如果方差在没有明显的时滞相关性的情况下发生变化，这是不可行的。然而，我们需要建立正确的时间范围来估计局部方差。参考文献[19]介绍了一种使用自相关方差对时间序列进行局部归一化的方法。为此，从数据中减去本地平均值，然后将结果除以本地标准偏差。本着这种精神，我们确定了这种局部归一化产生异常分布值的时间范围，并分析了相应的局部方差。我们需要考虑的另一个方面是，相关事件的方差估计可能存在偏差。在图4中，我们展示了测量声音信号的自相关函数（ACF），以及声音返回绝对值的自相关函数。这两个图都暗示了方差估计可能存在的问题。由于采样频率高，声音信号高度相关。