古诺博弈中联盟的竞争与效率

如果企业的需求存在不确定性，自然会产生一个问题：在古诺寡头垄断的情况下，合作是否会提高古诺寡头垄断的效率？我们通过证明在特定的需求侧模型下，通过古诺寡头垄断和古诺寡头垄断之间的等价关系，可以直接应用前面章节的所有结果来回答这个问题。在介绍技术细节之前，让我们先来看看以下Parking商业区的激励示例。例2。世界上许多城市的市中心和商业区的车辆流量都在增加。目前，大多数城市为企业分配固定数量的停车场。对于第一家公司，支持分配一定数量的停车位。访问该企业的车辆数量（企业需求）是一个由Xi表示的随机变量。如果车辆成功找到停车位，该公司将获得一定的效用。如果用户试图访问一家公司时，停车场不可用，那么它就没有效用。因此，公司i的效用与min（xi，xi）成比例。停车位的增加与通往市中心的交通有关。交通量的增加可能会增加拥堵，因此停车场受到城市的严格控制。我们用价格函数^p（Pxi）对该成本进行建模，而我公司的成本为xi^p（Pxi）。基于上述动机，我们确定了企业i到beTi（xi，x）的预期收益-i） =E[min（xi，xi）]- xi^pNXl=1xl！。（25）每家公司都是预期的，我选择xi>0来最大化给定x的TIF-i、 该博弈的纳什均衡定义为与（2）相同。作为假设1的类比，我们对价格假设5作如下假设。

我们假设：1）^p严格递增，0<^p（0）<1；2） ^p（y）是c onv ex，在y上可微≥ ^p′（0+）>0时为0；3） ^p（y）→ ∞ 就像我一样→ ∞.^p（0）<1的假设是为了避免琐碎的解决方案，因为如果^p（0）>1，没有企业会选择正面报价。请注意，效用函数和价格函数E[min（xi，xi）]和^p已被适当地缩放，以具有相同的un its。不包括私人停车场。这是直接证明游戏（T，…，TN）存在纳什均衡，如第3条所示。提议3。假设^p满足假设5，而xi满足假设2。然后，对于由（T，…，TN）定义的博弈，re存在唯一的纳什均衡。这一命题的证明见附录g.A.社会福利和效率鉴于价格函数^p，我们将总成本定义为：C（y）=Zy^p（z）dz。（26）与寡头垄断的情况类似，控制所有企业的系统运营商总是会聚合引理2所示的供需。引理2。假设x，一组实数一个dX，一组真实的随机变量，每个都满足假设2。然后“minNXi=1xi，NXi=1xi！”#≥NXi=1E[min（xi，xi）]。（27）附录2中给出了这个引理的证明。因此，从系统操作员的角度来看，最优分配的特点是解决以下问题：最大化E“minNXi=1xi，NXi=1xi#- CNXi=1xi！（28a）根据xi≥ 0,  i、 （28b）在（28）中的目标函数只取决于分配的和，所以我们可以把它写成maximize E“miny，NXi=1Xi#- C（y）（29a）受y约束≥ 0.（29b）让^ymaxe解为（29）。与定义1一样，我们定义了两个效率比，一个基于福利，一个基于数量。定义2。以古诺博弈（T，…，TN）为例。设（x，…，xN）为该博弈的纳什均衡。

与福利相关的效率比rW为：rW=PNi=1E[min（xi，xi）]- CPNi=1xi最小照度^ymax，PNi=1Xi我- C（^ymax）。（30）与工程量相关的效率比rO为：rO=PNi=1xi^ymax。（31）如第三节和第四节所述，我们对卢旺达的行为感兴趣。下一节表明，本节中研究的game（T，…，TN）与第II节和第IV节中研究的博弈（π，…，πN）之间存在精确等价性。因此，定理1和定理2中的主要结果直接延续。B.寡头垄断和寡头垄断之间的等价性：在古诺博弈中，寡头垄断和寡头垄断之间通常存在一定程度的对称性，但关键在于确保两个模型之间的有效分配和纳什均衡保持不变。以下定理是本节的主要结果。定理3。假设假设2和5成立。定义新价格p为：p（y）=1- ^p（y）。（32）定义一个特殊的效用函数U（y）=Ryp（z）dz。然后1）假设1由p.2）满足，适用于任何变量x≥ 0，下面的内容是：E“minXixi，XiXi#- CXixi！=UXixi！- E西溪-西溪+, （33）以及：Ti（xi；x）-i） =E[min（xi，xi）]- xi^pXlxl！=xipXlxl！- E[（xi）- Xi）+]=π（Xi；x-i） 。（34）3）向量x是（5）中的系统算子问题，当且仅当它解决了（28）中的系统算子问题。4）向量x是（T，…，TN）定义的博弈的纳什均衡，当且仅当它是（π，…，πN）定义的博弈的纳什均衡。在附录I中，我们提供了上述四项索赔的证据。六、 电力系统风电整合案例研究本节将本文的结果应用于电力市场。该材料基于[24]。我们关注的是美国的PJMF控制区（该区域覆盖了美国大西洋中部各州的大部分地区）。

近年来，PJM的风力发电量急剧增加。在其他影响中，与该文件最相关的一个影响是，随着风渗透的增加，能源价格将大幅下降。图e 4（转载自[30]）显示，在风力穿透率仅为10%的情况下，一天的电价可能下降50%。PJM和美国大多数其他地区的电力市场采用两级结构。第一阶段约在实际供电时间前24小时开始，即发电商竞争满足预测需求的前一天阶段。第二阶段被称为实时阶段，因为它调整供应和需求，以满足电力交付时可能出现的任何不平衡。因为大多数传统的g发生器。4：2012年PJM日ahea d价格和风力发电的散点图。图由[30]重新生成。水平轴是风的穿透力，垂直轴是PJM区域的平均清算价格。随着风力穿透量从0%增加到10%，sy stem的平均价格下降了一半以上。（例如，煤炭、核能、水力发电等）至少需要几个小时才能改变生产水平，大部分市场在前一天的阶段就已经清空。在本文中，我们对风力发电商感兴趣，并将常规发电商视为非战略实体。根据PJM市场报告（[31]），常规发电机似乎已经在当前市场上出价了真实成本，因此在风力发电商进入市场时不会改变其出价（出价较低没有经济意义，出价较高会降低其重新结算的幅度）。

然而，研究可再生能源和常规发电机之间的结合是未来研究的一个重要领域。我们认为风力发电商s是在日前市场竞争的公司。每家公司都面临着不确定的供应，因为其产量取决于未来的风力条件；此外，每家公司都会影响价格，如图4所示。因此，本文开发的古诺博弈可以用来模拟他们的行为。为了进行实证研究，我们使用美国东部国家可再生能源实验室（NREL）提供的风力数据[32]。风的预报值和预报误差都包含在数据集中。我们将预测值解释为随机供应的平均值，将误差解释为供应的变化。PJM控制区内有302个风电场。图5显示了总预测的标准化标准偏差与总预测中风电场数量的函数关系。可以观察到这些预测之间存在很强的相关性。应用第一节和第五节中的分析，图6显示了风电场的最佳性能。注：社会最优解决方案被认为是最大限度地将风注入市场的解决方案。感兴趣的读者可以在[24]中找到更详细的分析。0 50 100 150 200 250 300 3500.20.30.40.50.60.7生产商数量标准偏差（p.u.）图5：标准偏差作为聚集中生产商数量的函数。纵轴通过聚集的总capa城市进行标准化。图6：根据NREL数据集中风力发电场的组数，进入日前市场的风力发电投标总额。最大值出现在30个团体，而最小值出现在单个团体（大联盟）。七、

结论在本文中，我们研究了生产不确定的Courn-ot博弈中企业和联盟的战略行为。我们通过描述一个基本的权衡来研究古诺竞争的效率：一方面，市场力量增加，运价规模增加；另一方面，随着联盟规模的增长，生产不确定性的成本也会降低。我们向他们展示了一个“最佳点”，即存在足够大的群体来实现大联盟的不确定性降低，但足够小的群体没有显著的市场影响力。这些结果对电力市场等生产不确定性行业的监管机构具有重要意义。具体而言，我们的研究结果表明，在一定范围内，例如电子钱包制造商之间的联盟可能会增加整体福利。我们已经在[24]中的电力市场中验证了这些结果，在[24]中，我们实证研究了（一定数量的）风力发电机联盟的自身利益。最后，我们指出了两个重要的开放方向。首先，如前所述，在许多可再生能源市场（包括电力市场），产量短缺的惩罚不是外生的。相反，一家企业可能面临一个“现货”或二级市场，它可以向其中出售过剩产能，或者从中购买额外产能以弥补缺口。模拟这两个阶段的市场游戏仍然是一个重要的挑战。第二，我们所有的结果都是渐近的，尽管我们确实用最优联盟规模描述了收敛到效率的速度。由于企业数量众多（可能存在异质性），监管机构面临着计算最优联盟作为基准的潜在挑战。开发解决这个问题的方法仍然是一个悬而未决的问题。附录A建议1预防措施。

我们首先观察到，每个企业的战略空间可以限制在一个紧凑的集合中，而不会失去普遍性。对于任何向量x-其他公司认为，如果Pr（Xi<ymax）>0，那么选择0总比选择大于ymax的数量好。如果pr（Xi<ymax）=0，pk6=ixk>0，那么选择0总比选择大于ymax的产量好。如果Pr（Xi<ymax）=0，pk6=ixk=0，则i公司的最佳策略是最大化xip（Xi）。根据假设1，xip（xi）的唯一最大化子严格大于0，严格小于ymax。因此，我们可能会将企业的战略空间限制为[0，ymax]。由于p满足假设1，p（Pixi）xi是凹的。假设2，E[（xi- Xi）+]存在和-E[（xi）- Xi）+]在Xi是集中的。通过凹函数的可加性，所有xi的πiisconcave≥ 0.策略空间（[0，ymax]，[0，ymax]）由（π，…，πN）定义的博弈现在是一个严格凹的博弈：每个支付π在x上是连续且严格凹的，而i的策略空间是一个非空紧集。ByRosen的存在定理（见[33]），这个游戏有一个唯一的纳什均衡。此外，假设pxi>ymax。那么，xi至少有一个是积极的。但如果能减少xi的话，我公司的情况会更好。因此，平衡时的e，Pxi≤ ymax。附录B引理1的屋顶。这个引理来自詹森不等式。让我们，Wnn是随机变量。设g（·）=（·）+。因为g是凸的，所以我们有[g（NXiNWi）]≤NNXiE[g（Wi）]。（35）由于g是恒生的，所以将（35）的两边乘以NgivesE[g（NXiWi）]≤NXiE[g（Wi）]。识别WI与xi- Xi完成了证明。附录C定理1的附录。

我们首先假设（18）成立，并用它来证明（17）。然后我们证明（18）是真的。首先我们观察到所有群都是对称的，因此每个群都有相同的期望代价：KXk=1Eh（x（Sk）- X（Sk））+i=KEh（X（Sk）- X（Sk））+i=Eh（Kx（Sk）- KX（Sk））+i.为了方便起见，设xK=KX（Sk）和xK=KX（Sk）。注意E[XK]=u。设^XK=XK- u是零均值版本。类似地，我们可以写epnixi=u+^X，其中^X是零均值。利用这些旋转，效率比rWisrW=U（xK）- ExK- u -^XK+U（y′max）- Ey′max- u -^X+. （36）以下命题有助于界定rW。提议4。设V和W是具有对称密度的独立连续随机变量。此外，假设E[V]=E[W]=0。设a为正实数。ThenEh（V+W）- a） +i≥ 呃（W）- a） +i.（37）道具的证明。4在后面给出。应用它，我们有xK- u -^XK+≤ ExK- u -^X-^XK+,（38）当X独立于^XK时，现在对^X和^XK进行实验。因此，对于较低的rW，有必要使用下限U=U（y′max）- Ey′max- u -^X+- U（xK）- ExK- u -^X-^XK+. （39）将^X的一个独立副本插入期望中，允许我们使用泰勒展开式分析（39）。设δ=y′max- xK，U（xK）=U（y′max- δ）≈ U（y′max）- δU′（y′max）+δU′（y′max），（40），其中我们忽略了泰勒展开中的高阶项。设g（y）=EY- u -^X+.

获得E的泰勒展开xK- u -^X-^XK+在y′max附近，我们通过在^X和^X:E上连续条件化来使用条件期望xK- u -^X-^XK+= E^XhE^XKhg（y′max- δ -^XK）|Xii≈ E^X“E^XK”g（y′max）- （δ+^XK）g′（y′max）+（δ+^XK）g′（y′max）#（a）=g（y′max）- δg′（y′max）+δg′（y′max）+E[^XK]g′（y′max），（41）其中高阶项再次被忽略，并且（a）由E[^XK]=0以及^x和^XK之间的独立性得出。将（40）和（41）替换为（39）得到：U≈ U（y′max）- g（y′max）-U（y′max）- δU′（y′max）+δU′（y′max）+（g（y′max）- δg′（y′max）+δg′（y′max）+E[^XK]g′（y′max））=δ（U′（y′max）- g′（y′max））+δ（g′（y′max）- U′（y′max））+E[^XK]g′（y′max）（a）=δ（g′（y′max）- U′（y′max））+E[^XK]g′（y′max），（42），其中（a）来自第一阶最优性条件和y′max使U（y）最大化的事实- g（y）。现在我们推导出（42）中常数的更显式公式f:g′（y′max）=ddyE[（y）]- u -^X）+]|y′max=ddyE[1（y- u -^X）+]=ddyPr（^X≤ Y- u）=^f（y）- u），其中^f是^X的pdf；U′（y′max）=p′（ymax）。根据假设2，^f存在；根据假设1，p′（y′max）为负。因此g′（y′max）和-U′（y′max）是正常数。偏差δ可由fr om（18）计算得出。通过（18），δ标度为O（K）+O（KN），δ标度为asOK+ ON+ O千牛.由于^XKis是零均值，E[^XK]=Var（XK）=VarKN/KXi=1Xi= KNKσ=KNσ=O千牛.结合以上论点，我们得到了（y′max）- g（y′max）- （U（xK）- E[（y- u -^X-^XK）+]=OK+ ON+ O千牛+ O千牛= OK+ O千牛.靠道具。4，E[（y-u -^X-^XK）+]≥ E[（y-u -^XK）+]我们的效率比量表为RW=1- OK- O千牛. （43）我们现在证明（18）。证明策略分两步进行。首先，我们考虑了一个有K个博弈人的决策博弈，并定义了博弈的纳什均衡（π，…，πK）和决策博弈的纳什均衡之间的差。n我们限定了后者和ymax之间的差异。让我们。

，SK）是（1，…，N）的相等大小的分区，每个大小为N/K的联盟。定义了一个由（π，…，πK）定义的决定论博弈，其中πK=pKXm=1x（Sm）！x（Sk）。（44）让（x），x（SK））是这个博弈的纳什均衡。根据对称性，x（Sk）具有相同的值。我们用xK表示这个值；它满足：p（KxK）+p′（KxK）xK=0。（45）让（x），x（SK））是博弈的纳什均衡（π，…，πK）。同样，这种平衡是对称的。用byxK表示每个联盟的共同生产水平。同样，用XK表示X（Sk）。自E[（xK-XK）+]在XK中增加，我们有XK≤ xK。因此我们可以重写xKas xK- , 对一些人来说 ≥ 0解：p（K（xK- )) + p′（K（xK）- ))（xK）- )- Pr（XK≤ xK- ) = 0.（46）从（46）中减去（45），我们有[p（KxK- K) - p（KxK）]+[p′（KxK- K)（xK）- )- p′（KxK）xK]- Pr（XK≤ xK- ) = 0.因为p是凹的并且是递减的，所以p′（KxK）<p′（KxK）-K) < 0.同样由于xKis为正，第二组括号中的术语p′（KxK-K)（xK）-)-p′（KxK）xKis大于或等于零。也自 是肯定的，Pr（XK≤xK- ) ≤ Pr（Xk≤ xK）。因此：p（KxK- K) - p（KxK）- Pr（XK≤ xK）≤ 0 . （47）因为p是凹的，并且是递减的，所以p（KxK- K) - p（KxK）≥ K(-p′（0））。（48）结合（47）和（48），我们得到了K上的一个界, orPkx（Sk）-Pkx（Sk），问 ≤Pr（XK≤xK）-p′（0）≤Pr（XK≤ ymax/K）-p′（0）。（49）假设u>ymax；应用Cheb-yshev不等式得到Pr（XK≤ ymax/K=O（K/N）。因此K =O（K/N）。现在我们把kxk和ymax之间的差距缩小了。设δ=ymax- KxK。代入（45）得到：p（ymax- δ） +p′（ymax）- δ）ymax- δK= 0.（50）因为p是递减的，δ是正的，所以p（ymax- δ） +p′（ymax）- δ）ymaxK≤ 0.（51）Rearrangin g yieldsp（ymax）- δ) ≤ -p′（ymax）- δ）ymaxK(*)≤ -p′（ymax）ymaxK, （52）在哪里(*) 根据p′是负的和递减的（p是递减的和凹的）事实。因为p是凹的并且是递减的，p（ymax）=0，p（ymax- δ) ≥ δp（0）ymax。