古诺博弈中联盟的竞争与效率

，πN）。在本节中，我们将概述我们考虑的基准柜福利；特别是，我们将重点放在集中系统操作员实现的最大值上。首先，给定价格函数p，我们以通常的方式将总消费者剩余定义为：U（y）=Zyp（z）dz。（4） 系统运营商的目标是最大化总消费rsurplus，但会根据预期的总短缺产生成本，假设它可以控制所有生产商的产量。请注意，这项工作和现有文献之间的一个关键区别是如何计算成本：系统运营商有效地优化了，就像它是所有企业的“大联盟”，效用由总消费者剩余确定。该模型的灵感来自电力市场中的独立系统运营商（ISO）；参见，例如[27]。我不知道！- ENXi=1xi-NXi=1Xi+（5a）根据xi≥ 0,  i、 （5b）系统运营商面临总短缺的原因，EPNi=1xi-PNi=1Xi+, PNi=1Eh（xi），而不是单个短缺的总和- Xi）+i，是指通常情况下，根据不同的来源来平衡可能的质量不足。在电力市场的激励示例中，假设一个系统运营商控制了所有风电场。因此，只要实现的风电总量PiXi大于承诺的风电总量PiXi之和，可再生能源就不会产生额外成本。以下引理规范化了聚合对系统运营商的好处。引理1。假设Xi满足假设2。ThenENXi=1xi-NXi=1Xi+≤NXi=1Eh（xi- Xi）+i.（6）这个引理的证明是Jensen不等式a的直接应用，见附录B。注意，（5）中的目标函数仅取决于pni=1xi。通过改变变量，我们可以将（5）改写为：最大化U（y）- EY-NXi=1Xi+（7a）根据y≥ 0

（7b）根据假设1，U是可微凹的，所以（7）的最优解是唯一的正解top（y）- 窥探≥NXi=1Xi！=因此，我们有以下推论。推论1。当且仅当：Xixi=y′max，（9）其中y′max是（8）的唯一解时，向量x是有效的（即，解决优化问题（5））。福斯特，麦克斯≤ymax。因此，在均衡状态下，如果企业总产量为y′max，则均衡状态为社会最优。利用p递减的事实，可以直接证明，在任何均衡条件下，企业的产量都小于y′max。我们省略了这个标准参数。B.效率比在本节中，我们定义了两个密切相关的效率比。第一个是基于纳什均衡和系统操作员的最佳结果之间的差距的通常概念。这类似于“无ZF状态的代价”（例如[28]），但随着基准是系统运营商的回报的变化。第二个效率比定义为纳什均衡下的总产出与安迪最大定义1之间的差距。考虑古诺博弈（π，…，πN）。设（x，…，xN）为该博弈的纳什均衡，lety′maxn为（8）的解。与福利相关的效率比rW为：rW=UPNi=1xi-PNi=1E[（xi）- Xi）+]U（y′max）- Ey′max-普尼西+. （10） 与产出相关的效率比rO为：rO=PNi=1xiy′max。（11）这两个效率比都值得关注。福利比率衡量纳什均衡的效率，数量比率直接比较纳什均衡下的总产出和更大的社会产出。

例如，在电力市场中，独立系统运营商（ISO）通常有兴趣确保可再生能源（如风能）的最大容量注入市场。因此，在纳什均衡条件下，总产出与最大可能产出之比rO比福利之比rW更能直接引起我的兴趣。这篇文章的其余部分调查了卢旺达的行为——公司数量和联盟数量的增长。特别是，我们描述了两种效率比的渐近标度关系。C、 确定性古诺博弈在讨论第三节和第四节的主要结果之前，我们考虑古诺博弈的确定性版本，即没有生产不确定性的版本。对这个确定性游戏的理解为我们的结果提供了c语境；此外，我们的证明使用了确定性设置作为构建块。在确定性环境中，我们忽略了游戏的第二阶段。因此，企业i的收益为：πi（xi，x-i） =pNXl=1xl！xi（12） 与（1）相比，注意短缺的成本是有限的。在本文的其余部分中，我们使用超边界变量来表示确定性博弈中的数量。考虑由（π，…，πN）定义的博弈。通过与命题1相同的理由，该博弈存在唯一的纳什均衡，由（x，…，xN）表示。ymax的社会福利（y）最大化。该游戏的效率比定义为：rW=U普尼西U（ymax）（13）andrO=PNi=1xiymax。（14） 广域漫游的行为是众所周知的；参见，例如[12]。如提案2所述，rWapproa c hes 1和GAME在许多公司的限制下变得有效。正如我们在第三节中所展示的，如果存在生产不确定性，这就不再是事实。命题2（文献[12]中的推论18]）。画→∞rW→ 1和limN→∞rO→ 1.D。

联盟在本节中，我们定义了古诺在企业联盟中的共同竞争。考虑到N家公司，让我们，SKbe是{1，…，N}的一个分区。设（x，…，xN）为每个企业的生产水平向量。Groupski的总生产承诺表示为x（Sk）：x（Sk）=Xi∈Skxi。同样，设X（Sk）=Pi∈SkXidenote组SK的聚合（随机）实现容量。该集团的收益定义为：πk（x（Sk））=pXkx（Sk）！x（Sk）- E[（x（Sk）- X（Sk））+]。（15） 请注意，对于系统运营商而言，联盟的好处在于能够使用一个成员的超额产量来弥补另一个成员的不足。因此，联盟产生的惩罚是其总实现产能和总生产承诺之间的不足。请注意，我们不考虑每家公司的内部利益分享合同；相反，我们关注的是公司的利润最大化。考虑到，Sk，我们可以通过pa-yoff函数（π，…，πk）定义联盟之间的古诺博弈。在这个游戏中，集体滑雪的动作是总产量承诺x（Sk）；与pro-fit一样，我们并不关注这一承诺在各个企业之间的分配。联盟玩的游戏是N家公司玩的原版游戏的“缩放”版本。关键的区别在于，惩罚不是企业的专利。通过引理1的类似结果，E[（x（Sk）- X（Sk））+]≤xi∈SkE[（xi）- Xi）+]。（16） 正如我们在接下来的章节中所描述的，正是这种风险的降低使联盟变得有用。三、 独立公司在本节中，我们考虑了当企业间的生产不确定性为i.i.d.时，两阶段博弈的效率。由于我们对大的N域感兴趣，我们需要指定随机变量（X，…，XN）是如何标度asN inc的。回想一下，Ximes对已实现的产能进行了建模。

由于我们将pric e函数保持为常数，因此我们应该合理地证明，每个企业将在限制内产生极小的产量。如果我们不相应地调整capa城市的生产能力，那么在大N限制下，每家公司实际上将不会面临生产不确定性。在形式上，我们根据以下假设调整每家企业的产能规模。假设3。设X是E[|X |]<∞. 设E[X]=u，我们假设u>ymax；设Var（X）=σ。假设有N家公司。随机变量X，X根据X/N的分布绘制i.i.d.在上述假设下，预期总容量固定在u，并在N家公司中平均分配。有界三阶矩的技术假设避免了带有很重尾的随机变量，这在很大程度上是为了便于分析。假设u>ymaxstreamlist是公共物品，但不是必要的。我们注意到，假设3 c可以通过保持每家企业的生产能力不变，而不是随着生产商数量的增加，按N·p的比例调整价格来等效计算。在假设3下，所有企业在事前都是相同的：它们拥有相同的利润，面临相同的生产不确定性。在本节中，我们考虑了联盟竞争，其中企业被平均分为K组；由于我们对大N场景感兴趣，我们假设，在不损失通用性的情况下，是K的倍数。K的两个极值是K=1和K=N：前者对应于大联盟，而后者对应于单个企业之间的竞争。下一个orem是本节的主要结果，它将效率比与群体规模K联系起来。定理1。假设有N个公司和X，假设3。让我们。

，SK）是K个集团，每个集团都有N/K家公司。让（x（S），x（SK）是游戏的解（π，…，πK）。效率等级为：rW=UPKk=1x（Sk）-PKk=1Eh（x（Sk）- X（Sk））+iU（y′max）- Ey′max-普尼西+= 1.- OK- O千牛（17） andrO=PKk=1x（Sk）y′max=1- OK- O千牛. （18） 我们在这里重点讨论结果；定理1的附录ix C中给出了定理1的最后两个术语。（17）和（18）C中的最后两个术语可以分别解释为市场力量和生产不确定性的影响。在（17）中，由市场功率引起的效率为1/K，并随着Kg的增加而降低。另一方面，生产不确定性导致的效率以K/N来衡量，随着N/K（每个联盟中成员的数量）的增加而降低。同样，在（18）中，1/K代表市场力量导致的效率低下，K/N代表不确定性导致的效率低下。从（17）和（18）中可以看出，只要K和N/K都是无约束增长的，那么rWand rOapproa c h 1。下面的推论给出了使接近1的速率最大化的最佳假设大小。推论2。最大化（17）中的右手sid的最佳联盟结构是将公司分成Ohm（N1/3）组，每个大小Ohm（N2/3）。使（18）最大化的最佳联盟结构是将公司分成Ohm(√N） 组，每个大小Ohm(√N） 。这一推论直接来自于对“罪恶之神”一词的平衡。值得注意的是，卢旺达被不同的联盟组织所控制。然而，bothrates认为，除了个体企业和大联盟这两个极端之外，拥有联盟规模的中间机制更有效。定理1中的结果可以推广到更一般的短球惩罚，如下推论所示。推论3。

设f是一个有界导数的凸增函数，满足f（x）=0≤ 0.对于ra群S，让其总性能由以下公式给出：πS（xS）=pNXi=1xi！Xk∈Sxk！- E[f（xS）- XS）]。（19） 在与Theo rem 1相同的条件下，效率比Still量表asrW=1- OK- O千牛安卓=1- OK- O千牛.附录e ndix D.备注2给出了这一推论的证明。定理1和推论3中的标度率为下界。有迹象表明这些利率很紧。例如，设p（x）=1- x、 在这种情况下，可以准确计算市场力量导致的净效率，并按rW=Ohm（1/K）安卓=Ohm（1/K）。假设Xibe是一个连续的随机变量，它满足切比雪夫不等式（见[29]）。然后两人都和罗斯卡尔一样Ohm（K/N）。（有关详细信息，请参见ORE m 1的证明。）值得注意的是，理论1和推论3中的标度率代表了企业的渐近行为。标度率项的常数由生产不确定性的特定分布和价格函数决定。我们用下面的例子来说明效率比在fine N的行为。例1。设p（y）=1-y、 设X正态分布为N（1.1,1）。请注意，ymax=1<1.1。让锡伯拉尼。i、 d.根据X/N的分布。图2绘制了两组大小的效率比：√N和N2/3。理论1和推论2表明，规模为N2/3的群体对于福利效率和规模为√对于速率效率而言，N不是最佳值。尽管图2b中有一个切换点，但图2a和2b也涵盖了这些说法。0 1 2 3 4生产商数量×100.950.960.970.980.99√NN2/3（a）福利效率比的比例。0 1 2 3 4生产商数量×100.950.960.970.980.99√NN2/3（b）数量效率比的比例。无花果

2：规模为N2/3和√N（适用于N1/3和√N分别为s组）。当群体规模为N2/3时，福利率、rW、接近1比当群体规模为√N.当群的大小为g时，量的比rO渐近地更快地接近E 1√当组的大小为N2/3时，为N次。四、 相关公司在本节中，我们考虑了两个模型，其中公司具有相关的生产不确定性。（17）和（18）中的O（K/N）项是大数定律的结果。下面的推论使用了相关随机变量的大数定律。推论4。设X b e为满足假设2的随机变量。设E[X]=u>ymax。假设没有公司。假设随机变量X，Xneachh具有与X/N相同的边际分布。设（S，…，SK）为K组，每组有N/K个公司。让（x（S），x（SK））是游戏的解（π，…，πK）。IfNXj=1 | E[cor（Xi，Xj）]|≤cN i（20）对于一些不依赖于N的c，则效率比在（17）和（18）中进行分级。相关Xi满足上述条件的一个例子是cov（Xi，Xj）≤ Aρi-j |，对于某些定义A和ρ<1。这种类型的模型捕捉到了霍特林式的地理结构，在这种结构中，指数相似的企业更有可能面临相同的生产约束。这与电力市场尤其相关，在电力市场中，风力涡轮机相互靠近。附录E.B中给出了推论4的证据。强相关公司更严格地说，我们认为生产能力弱相关的公司，即公司之间的相关性随着公司数量的增长而衰减。

在本节中，我们考虑了生产能力强相关的情况，其中所有企业之间的相关性仍为正。当企业具有相关能力时，通常很难获得与OREM 1类似的结果，因为有限的微生物分布不一定集中；任何这样的结果都将取决于Xi的特定联合分布。对于本节，我们假设随机变量之间的相关性来自一个相加模型，如以下假设所述。假设4。设X是一个零随机变量，具有对称密度和满足性∞.随机变量^X，^X根据与X/N相同的分布绘制i.i.d。设Z为连续随机变量，其均值为u，方差为有限，密度在其均值周围对称。随机变量Z和^X，^XNare独立。随机变量Xi由以下公式得出：Xi=^Xi+zn对于所有i.（21）由于Xi的相关性很强，PiXino不再集中在其mea n周围。因此，即使对于联合控制所有企业产出的系统运营商，系统中也存在一些剩余确定性。然而，分享所有企业的生产，然后分摊总短缺的成本，对该系统仍然是有益的。使用消费4中使用的符号，系统操作员的问题是axy≥0U（y）- E[（y- Z-NXi=1^Xi）+]。（22）和前面一样，设y′max是（22）和y′max的唯一解≤ymax。定理2说明福利和数量之间的效率比具有与定理1相同的大N渐近行为。定理2。让^X，^x和Z是满足假设4的随机变量。设（S，…，SK）是（1，…，N）的一个分区，每个分区的大小为N/K。让（x（S），x（Sk））是两阶段博弈（π，…，πK）的解。假设u>y′max。

效率比量表为：rW=UPKk=1x（Sk）-PKk=1Eh（x（Sk）- X（Sk））+iU（y′max）- Ey′max-普尼西+= 1.- O（K）- O（KN）（23）andrO=Pkx（Sk）y′max=1- OK- O千牛. （24）定理2的证明步骤与定理1的证明步骤类似，可在附录f.C.中找到。模拟结果在此我们绘制了相关公司的效率比，并将其与独立公司进行比较。与例1类似，letp（y）=1-y、 设^X正态分布为N（1.1,0.71），设zbe正态分布为sn（0,0.71）；注意，在这个定义下，^X+Z的方差为1。让我们一起来。i、 d.根据与^X/N相同的分布。图3显示了不同规模群体的效率比√N在半对数图上。作为基线，我们还绘制了效率比，其中随机变量以正态分布n（1.1,1）i.i.d.绘制。0 5 10 150.40.60.81log（生产商数量）效率比相关。I.D.图3：相关企业和I.I.D.企业的效率比，作为企业数量日志的一部分。集团规模√N表示其他情况。我们发现，在c相关的情况下，效率比i.i.d.情况增长得更快。从图3中，我们可以看出，如果企业相互关联，效率比接近1的速度要快得多。这并不意外，因为生产不确定性主要由普通随机变量Z控制，而且个体随机性更容易平均。V.古诺寡头垄断有一个自然的古诺寡头垄断博弈，与前面章节讨论的古诺寡头垄断博弈相关。企业不能被认为是共同产品的消费者，而不是共同产品的供应商。