Copulas中的负依赖概念与边际自由群

备注1指出-→w-CM连接词可以解释为广义严格的d-CM，并进一步表明-→w-CM连接词是d-CM连接词的子集。定义2。一个d元随机向量-→X是-→w-CM ifPdXi=1wiFi（Xi）=Pdi=1wi！=1.等价地，我们说H是-→w-CM如果-→X是-→w-CM。此外，当-→X是-→w-CM，我们定义-→w为的ashape向量-→十、-→w-CM可以看作是反单调性向多元维度的多元扩展。首先，假设-→十、∈ F（F，F）是反单调的。然后，自从-→X是一个连续的随机向量，定理1。iii得出结论F（X）+F（X）d=Fo F-1（U）+Fo F-1(1 - U） 这反过来意味着-→X是-→任何w=w>0时的w-CM。另一方面，假设-→X是-→w-CM，w=w>0。然后通过定义2，我们得到了概率为1的F（X）+F（X）=1，这反过来又得出结论：-→X是反单调的。所以我们可以得出结论-→十、∈ F（F，F）是反单调的当且仅当-→X是-→w-CM，w=w。从定义2中可以看出，-→w-CM只是copula的一个性质，下面的引理对此进行了总结。这个证明类似于Lee和Ahn（2014b）中引理1的证明。然而，下面引理中的结果更有用，因为它表明形状向量对边缘分布是不变的。引理1。让X和X*是分布函数sh=C（F，··，Fd）和H的随机向量*= C（F）*, ··· , F*d） 其中，边际分布函数F，···，Fd可能不同于边际分布函数F*, ··· , F*d、 那么X是-→w-CM当且仅当X*是-→w-CM。证据因为两个随机向量（F（X），··，Fd（Xd））和（F*（十）*), ··· , F*d（X）*d） 把copula C作为同样的分布函数，我们有dXj=1wFi（Xi）=Pdi=1wi= 1、（3）当且仅当ifPdXj=1wF*i（X）*i） =Pdi=1wi= 1.

（4） 因此我们得出结论，X是-→w-CM当且仅当X*是-→w-CM。在以下定义中，我们提供了-→w-CM。注意，对于-→Wcm，研究这个词的copula版本就足够了-→w-CM，因为-→w-CM只是copula的一个性质。因此，在本文中，我们将使用以下定义作为-→w-CM。定义3。一个d元随机向量-→你是-→w-CM ifPdXi=1wiUi=Pdi=1wi！=1.（5）等价地，我们说C是-→w-CM如果-→你是-→w-CM。在这里-→w被称为的形状向量-→十、备注1。注意-→w-CM是d-CM，参数函数为i（y）=ciFi（y）∈ {1，··，d}和y∈ R、 式中ci:=2 widPj=1wj。此外，由于-→w-CM与严格d-CM一致当w=····=wd时，严格d-CM连接集是-→w-CM连接词。在附录中。为了方便起见，我们在附录的定义6和定义7中总结了d-C和严格d-C的定义。下面的推论解释了-→w-CM连接词可以看作是具有最小不一致序的集合。自从-→w-CM是d-CM的特例，如备注1所示，Lee和Ahn（2014b）直接证明了以下推论。然而，为了论文的完整性，我们在附录中给出了证明。推论1。当然-→W∈ Rd+，设C为-→w-CM：即C定义为asC：=C∈ FdC是-→w-CM.那么C在集合协调序中是最小的。正如brie fly在第1节中提到的，因为d没有可用的最小连接词≥ 3.很明显，极小连接函数将在各种最小化问题中发挥关键作用。从这个意义上说，推论1解决了-→w-CM连接词：一组-→w-CM连接函数实现了最小值，即没有任何连接函数严格小于-→w-CM copula而非-→w-CM连接词。

因此，这个概念-→w-CM可用于各种最小化/最大化问题，如下文第5节所述。来讨论-→在w-CM连接词中，有必要检查-→w-Cm连接函数将在下一节中显示。4.实现加权反单调性的条件取决于给定的边际分布，（5）可能并不总是实现。例如，对于（w，w）=（2，1），没有（U，U）∈ FCA可以达到（5）中的条件。在本节中，我们提供了重量的等效条件-→W∈ Rd+的存在-→w-CM连接词。请注意，在王和王（2014）最近的一篇工作论文中也可以找到类似的结果，该论文解释了一种代数构造方法-→w-CM连接词。我们首先定义权重集，其中-→w-CM连接词存在。符号1。将三维权重集定义为w:=（（w，w，w）∈ R+Xi=1wi≥ 2 max{w，w，w}）。注意，这个集合和三角形（包括退化三角形）中的线长度集合是等价的。引理2。无论如何-→W∈ W、 存在-→w-CM连接词。证据为方便起见，定义为：=w+w- w2w，z:=w+w- w2wand z:=w+w- w2w，对于一些（w，w，w）∈ R+。（6） 并表示-→U∈ Φ(-→w）如果uw+uw+uw=w+w+w。现在，让我们考虑以下三点-→p:=（1，z，0），-→p:=（0，1，z）和-→p:=（z，0，1），观察点是否满足-→圆周率∈ Φ(-→w）对我来说∈ {1, 2, 3}. 因此，连线上的任何一点-→计划-→pjis再次出现在中国(-→女：i.e.t-→pi+（1）- （t）-→pj∈ Φ(-→w）（7）对于任何0≤ T≤ 1和我，j∈ {1, 2, 3}. 此外，根据假设-→W∈ W、 下面的不等式可以推导出来≤ 子≤ 1对我来说∈ {1,2,3}，这反过来-→pi+（1）- （t）-→pj∈ [0,1]（8）对于任何0≤ T≤ 1和我，j∈ {1, 2, 3}.

注意，（8）的轨迹在[0,1]中是三角形的，顶点位于上面-→P-→潘德-→p、 现在，对于给定的顶点三角形-→P-→潘德-→p、 我们给出了每一条边的正权重m1,2,m2,3,m3,1 pp，ppa和ppsuch，权重均匀分布在每一条边上。这里我们假设权重之和为m1,2+m2,3+m3,1=1，因此三角形边缘上的权重定义了一个随机向量-→X=（X，X，X）。定义H为随机向量的累积分布函数-→我们的目标是证明存在权重（m1,2，m2,3，m3,1）∈ R+使H成为连接词。为了证明H是一个copula，就足以证明H是2-递增的，并且H区域的边缘是均匀的[0,1]分布（Nelsen，2006）。由于H由分布在三角形边缘上的非负权重m，m，m定义，很明显，H是2-增加的。现在，它仍然表明H的边缘是一个均匀的[0，1]分布。由于权重m、m、mare在每条边上的分布是均匀的，所以检查三角形每个顶点上的均匀性就足够了，这相当于showP（X≤ z） =z，P（X）≤ z） =zand P（X）≤ z） =z.（9）（9）中的每个方程分别与z=m·0+mz+m·1，z=m·1+m·0+mz，z=mz+m·1+m·0，（10）等价。

（10）ism=（1）的解- z） （1）- z） （1）- z）- (1 - z） （1）- z） +（1）- z） （1）- z） （1）- z） （1）- z） +1，m=（1）- z） （1）- z） （1）- z）- (1 - z） （1）- z） +（1）- z） （1）- z） （1）- z） （1）- z） +1，m=（1）- z） （1）- z） （1）- z）- (1 - z） （1）- z） +（1）- z） （1）- z） （1）- z） （1）- z） +1。（11） 而m1,2+m2,3+m3,16=1表示一般（z，z，z）∈ [0,1]，一个乏味但简单的计算表明，在（6）中定义（z，z，z），（m1,2，m2,3，m3,1）在（11）中定义时，始终满足1,2+m2,3+m3,1=1。最后，（7）得出-→X是-→w-CM。虽然（z，z，z）是[0，1]中的一些向量，但值得一提的是，定义（6）对于保证（9）的解（m1,2，m2,3，m3,1）满足1,2+m2,3+m3,1=1至关重要。换句话说，（m1,2，m2,3，m3,1），满足（9）的条件可能不满足1,2+m2,3+m3,1=1且任意给定（z，z，z）∈ [0，1]不满足条件（6）。例如，对于任意给定的（z，z，z）=（0.5，0.3，0.2），在（11）中定义的（9）的解（m1,2，m2,3，m3,1）为m1,2+m2,3+m3,1>1。下面的引理是引理2到多元维度d的一个扩展≥ 引理3。当然-→W∈ Rd+，如果存在{w，··，wd}的不相交子集A，B和C，使得Xwi∈Awi，Xwi∈Bwi，Xwi∈Cwi∈ 魔杖A∪ B∪C={w，··，wd}，（12）则存在一个随机向量-→其边缘一致[0,1]，且满足dxi=1wiUi=Pdi=1wi。（13） 证据。允许-→U可以是边缘一致的随机向量[0,1]。此外，乐视网：=Xi∈AUi，V:=Xi∈和V:=Xi∈崔。现在，如果我们将Ui设置在同一个子集中作为共单调的，那么证明是微不足道的，即如果i，j∈ A、 我，j∈ B还是我，j∈ C.下面的引理提供了（12）的等价条件，这更直观，也更容易验证。引理4。

对于给定的重量-→W∈ Rd+，我们有以下不等式max{w，··，wd}≤dXi=1wi- 极大{w，··，wd}（14）当且仅当满足（12）的{w，··，wd}存在不相交的子集A，B和C。证据首先要注意（12）意味着（14）是微不足道的。因此，仍需说明（14）意味着（12）。在不失去普遍性的情况下，让我们≥ ··· ≥ wd。对于任意整数d≥ 3.全新*:=xi∈佐维和w*:=xi∈Zewizo:={wii 6=1，i≤ d是奇数}，ZE:={wi我≤ d是偶数}。然后它是向前延伸的，以表明w+w*≥ W*和w+w*≥ W*（15） 因此，如果我们假设-→我们可以得出以下结论：*, W*) ∈ W、 其中inturn表示（12）与A={W}，B={wi我∈ ZO}和C={wi我∈ 泽}。到目前为止，在引理3和引理4中，我们已经提供了存在的充分条件-→w-CMcopula。然后自然的问题是检查它们是否也是必要条件。下面的推论表明，（14）中的条件也是存在的必要条件-→w-CMcopulas。推论2。对于给定的重量-→W∈ Rd+，存在随机向量-→w-CM随机向量-→当且仅当-→w满意度最高{w，··，wd}≤dXi=1wi- 麦克斯{w，··，wd}。（16） 证据。这足以证明这一点-→w-CM意味着（16）。首先，考虑一个重量（w，wd）∈ Rd+使得一个权重，比如w，大于所有其他权重的总和sw>dXi=2wi。（17） 然后，很明显，不存在任何随机向量-→U其边缘一致[0,1]且满足（5）：这可以通过以下方差比较轻松验证；Var（wU）>VardXi=2wiUi！。因此，我们可以得出结论，不存在-→条件（17）下的w-CM copula，从而得出结论。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0x-轴的-axisz-轴●●●（1,0.25,0）（0,1,2/3）（0.6,0,1）图1:w-CM Copula与（w，w，w）=（5,4,3）备注2。

无论如何-→W∈ Rd+令人满意（16），选择-→w-CM copula并不是唯一的。例如，在引理2的证明中，我们展示了如何构造-→w-CM copula C表示d=3。另一方面，证明引理2的构造方法和z的下列选择*, Z*, Z*∈ [0,1]定义的asz*:=w+w- w2w，z*:=w+w- w2wand z*:=w+w- w2w和三分-→P*,-→P*,-→P*∈ [0,1]定义为-→P*:= （1,0,z），-→P*:= （z，1，0）和-→P*:= （0，z，1），将导出-→w-CM连接词C*当c6=C时*.在二元情况下，推论2得出结论（U，U）是-→w-CM意味着w=w与反单调性的概念一致，正如我们在第3节中已经提到的。下面的示例显示了构造-→w-CM copula使用逻辑证明了Lemma 2。例1。设（w，w，w）=（5，4，3）。因为5=w≤ w+w=4+3，我们知道-→W∈ 魔杖，推论2，存在一个-→w-CM随机向量-→U∈ F.使用（2）中使用的技术，我们可以-→w-CM随机向量-→U的质量为m，且在各边上均匀分布--→pp，--→帕潘--→分别为pp。在这里-→p=1,, 0,-→p=0, 1,和-→p=, 0, 1andm=，m=和m=（18）因此，例如，我们有c（1，0.25，1/3）=1/3* m=。最后，图1显示了随机向量的支持-→U.5。方差最小化问题的应用在给定边际分布的聚合和中寻找方差的最大值和最小值是经典的优化问题vardxi=1Xi！，对于给定的Xi~ Fi，i=1，··，d.（19）首先，使用共单调随机向量可以直接求出（19）的最大值。对于d=2的最小化问题，对于反单调随机变量，答案是平凡的。

关于一般尺寸d≥ 3.在一些边际分布的情况下（19）的极小化问题得到了解决（Gaffkeand R¨uschendorf，1981；R¨uschendorf and Uckelmann，2002；Wang and Wang，2011；Puccetti and Wang，2014）。然而，对于d来说，（19）的最小化通常并不容易≥ 3.下面的评论很容易从Dhaene等人（2014b）的定理2.7中推导出来，说明方差最小化问题与一致性排序有关，这可能会为（19）的最小化提供一些提示。备注3。设F，··，Fdbe分布函数具有有限方差。如果-→十、*,-→十、∈ Fd（F，··，Fd）与C* C、 thenVardXi=1X*我≤ VardXi=1Xi！。从这句话中可以清楚地看出，（19）的极小化和极大化与极小和极大copula有关。而（19）的最大化与共单调copula有关，这是由于d的最小copula的存在≥ （19）的极小化与最小连接集有关。当然，选择合适的最小连接函数集取决于边际分布。在（19）中的许多其他边际分布选择中，本文考虑了如下定义所示的均匀边际分布，这可能是（19）的最简单版本。以下假设有助于简化本节中几个定理的表示法。假设1。假设w=max{w，··，wd}。定义4。

当然-→W∈ Rd+，定义-(-→w）：=inf（VardXi=1eUi！eUiis均匀[0，wi]随机变量，i=1，·d）（20）和m+(-→w）：=sup（VardXi=1eUi！eUiis均匀[0，wi]随机变量，i=1，·d）。式中，i=1，··，d的均匀[0，wi]随机变量。等价地，m-(-→w）和m+(-→w）可以写为asm-(-→w）=inf（VardXi=1wiUi！-→U∈ Fd）andm+(-→w）=sup（VardXi=1wiUi！-→U∈ Fd）。上界+(-→w）=dXi=1wi！当且仅当-→U是共单调的（Kaas等人，2002年；Dhaene等人，2002a，b）。关于下边界，当2 max{w，··，wd}≤dXi=1wi，（21）推论2得出结论-(-→w）=0。然而对于-→w不满足（21），最小化并不简单。对于-→W∈ Rd+不满足（21），下面的定理2给出了m的显式表达式-(-→w）。更重要的是，我们还证明了-(-→w）通过以下方式实现：-→W*-CM连词-→W*∈ Rd+可能与-→W最后，推论3为m提供了完整的解决方案-(-→w）和m+(-→w）对于任何给定的-→W∈ Rd+。在我们检验主要结果之前，可以方便地给出以下引理和符号。引理5。允许-→W∈ Rd+满足假设1和2 w=dXi=1wi。（22）然后下列不等式保持scov“U，dXi=1wiUi#≥ 0，（23）当且仅当-→你是-→w-CM。证据我们首先证明了不等式（23）ascov“U，dXi=1wiUi#=dXi=1cov[U，wiUi]=wVar（U）+dXi=2wicorr[U，Ui]pVar（U）pVar（Ui）≥ wVar（U）-dXi=2wipVar（U）pVar（Ui）=“w-dXi=2wi#Var（U）=0，其中，任何两个随机变量的相关性大于-1，最后一个等式来自条件（22）。此外，由于-→如果满足条件（16），推论2得出结论（23）中的不等式当且仅当-→你是-→w-CM。符号2。

当然-→W∈ Rd+，定义-→W*:= （w）*, ··· , W*d） asw*我：=wi；如果2 wi≤dPj=1wjdPj=1wi- wi；如果i=1，··，d的值为2wi>dPj=1wj（24）。那么，可以很容易地确定-→W*∈ Rd+。还有，letl(-→w）：=2最大值{w，··，wd}-dXi=1wi+.因为总是有-→w-CM随机向量-→U∈ Fdfor-→W∈ 满足条件（16）的Rd+，我们得出结论：-(-→在这种情况下，w=0。下面的命题给出了m的紧界-(-→w）什么时候-→w不满足条件（16）。证明的主要思想是缩小最大权重，使新权重满足条件（16），从而导致常数求和或零方差。引理5表明，只有最大权重的剩余部分贡献了（20）中规定的方差下限。定理2。让权重向量-→W∈ Rd+满足假设1和2 w>dXi=1wi。（25）然后下列不等式成立：(-→w）≤ VardXi=1wiUi！，（26）当且仅当-→你是-→W*-厘米此外，对于任何-→W∈ 满足条件（25），存在随机向量-→U∈ 它实现了（26）中的平等。证据首先，观察w- W*> 0表示给定的-→w满足条件（25）。此外，我们还有2W*= 2dXi=1wi- w=dXi=1wi- w+dXi=2wi=dXi=1w*i、 （27）自w- W*> 0，我们有vardxi=1wiUi！=Var（（w）- W*)U） +Varw*U+dXi=2wiUi！+cov”（w- W*)U、 w*U+dXi=2wiUi#=Var（（w- W*)U） +Varw*U+dXi=2w*iUi！+（w）- W*)cov“U，w*U+dXi=2w*iUi#≥ Var（（w）- W*)U） =（w）- W*),（28）其中最后一个不等式来自（27）和引理5。