Copulas中的负依赖概念与边际自由群

此外，由于随机变量的方差为0，当且仅当随机变量为常数且概率为1时，引理5得出结论（28）中的不等式为等式当且仅当-→你是-→W*-厘米最后，自从-→W*如果满足条件（27）（因此条件（16）），则始终存在-→W*-随机向量-→U∈ Fd，这反过来意味着（26）中的等式总是可以实现的。基于定理2，以下推论为定义4中的优化问题提供了完整的解决方案。推论3。对于给定的-→W∈ Rd+，以下不等式(-→w）≤ VardXi=1wiUi！≤dXi=1wi！。（29）当且仅当-→你是-→W*-CM和（29）的上界仅当-→你是共栖动物。证据（29）中的上界是一个经典结果，可以用共单调理论来解释-→U见Kaas等人（2002年）；Dhaene等人（2002a，b）了解详细信息。因此，显示下限就足够了2最大值{w，··，wd}-dXi=1wi+≤ VardXi=1wiUi！（30）当且仅当-→你是-→W*-厘米对于（29）中的下限，考虑两种情况，具体取决于-→W首先，考虑以下条件：-→W∈ Rd+2最大值{w，··，wd}-dXi=1wi≤ 0.自从我(-→在这种情况下，方差的非负性表示（29）的左不等式。此外，推论2暗示（29）中的等式成立的当且仅当-→你是-→W*-厘米最后，为了-→w满足2最大值{w，··，wd}-dXi=1wi>0，定理2.6总结了相同的结果。边际自由羊群行为在本节中，我们定义了依赖性的边际自由度量，它可以被解释为羊群行为的度量。我们首先回顾了各种群体行为指数，这些指数衡量了运动或共单调性的程度（Dhaene等人，2012年，2014a；Choi等人，2013年）。

虽然这些指数必须是无边际的（因为共动或共单调性的概念只是对copula的定义），但在第6.2小节中，我们观察到这些指数可能会被边际分布扭曲。或者，第6.3小节给出了不存在边际分布的依赖性度量的定义。6.1. 对依赖群体行为衡量标准的回顾是一个普遍的概念，经常用于金融和心理学等领域，用来描述群体中成员的非理性共同行动。最近的金融危机进一步突显了理解羊群行为的重要性。人们曾多次尝试通过羊群行为指数来衡量羊群行为。在本小节中，我们将简要回顾一些金融背景下已知的羊群行为指数。允许-→假设当前时间固定为0，则X为t时的单个股票价格。对于给定的-→十、 市场指数S定义为d个股票价格的加权和：S=dXi=1wiXi，其中权重WI可解释为市场上每只股票的总数。因为是一个共单调的随机向量-→Xc:=（Xc，··，Xcd）可以表示为-→Xc~ （F）-1（V），·F-1d（V）），在假设个别股票价格的边际分布不变的情况下，共同单调股票价格假设下的市场指数可定义为：=dXi=1wiF-1Xi（V）注意到，如备注3所示，当单个股票价格为协单调时，市场指数的方差最大，Dhaene等人（2012）的羊群行为指数定义为协单调假设下市场指数与指数方差的比率。以下定义定义了HIX的简化版本。使用选项价格定义的HIX的原始版本可在Dhaene等人中找到。

(2012).嗨-→W-→十、:=Var[S]Var[Sc]。虽然HIX是一种方便的测量方法，可以有效地测量羊群行为，但HIX可能对边际分布很敏感（Choi等人，2013年）。HIX（RHIX）的修订版定义为RHIX-→W-→十、=Pi6=jwiwjcov（Xi，Xj）Pi6=jwiwjcovXci，Xcj.已知可以降低边际分布效应（Choi等人，2013年；Lee和Ahn，2014a）。Dhaene等人（2014a）从略微不同的角度提出了相同的测量方法。重要的是，HIX（因此RHIX）的原始定义可以使用个别期权价格和市场指数的期权价格来计算（Dhaene等人，2012年；Linders和Schoutens，2014年），这些指标可以作为当前期权价格暗示的未来羊群行为程度的预测指标。这就是为什么HIX和RHIX是有利的羊群行为指数的主要原因，尽管HIX和RHIX之间可能存在一些偏好。当然，HIX和RHIX也可以从高频股市数据中估算出来（Lee和Ahn，2014a）。RHIXDespite的边缘依赖性引发了一些争议，如果完美的羊群行为对应于共单调运动（Dhaeneet al.，2012），那么羊群行为应该是一种完全依赖于copula的现象。从这个意义上说，RHIX可能比HIX更有利，因为已知RHIX可以降低边际分布效应（Choi等人，2013）。然而，正如RHIX的定义所预期的那样（它是基于协方差定义的），RHIX无法彻底消除边际效应。通过一个简单的例子，本节解释了RHIX计算中的这种边际效应可以任意大。出于解释目的，我们考虑以下使用二元对数正态分布的玩具模型，该分布通常用于描述股票价格。玩具模型。

只考虑两种资产-→X=（X，X）遵循带漂移向量的二元对数正态分布-→u和共变矩阵∑，定义为∑=σρσσρσσσ.注意-→u、σ和σ是与边际分布有关的参数，ρ是（高斯）copula的唯一参数；例如，参见Nelsen（2006）和Cherubini等人（2004）了解更多细节。在玩具模型下，简单计算表明Rhix（w，X）=exp（ρσ）- 1exp（σ）- 1.（31）关于对数正态模型下HIX和RHIX的更详细计算，我们参考Choi等人（2013）。从（31）开始，以下等式表明，当普通波动系数σ=σ增加时，无论copula系数ρ如何，玩具模型下的RHIX收敛到0。limσ=σ→∞RHIX-→W-→十、= 对于任何ρ<1的情况，均为0。（32）如（32）所述，知道RHIX的简并度后，收敛速度对于RHIX的实际使用可能很重要。下面的例子显示了（32）中RHIX在各种情况下的收敛速度。例2。图2。（a） 和（b）分别在（0,0.5）和（0,5）的不同标度时间间隔上显示了玩具模型中RHIX的变化，这取决于不同的公共波动率σ：=σ=σ。如图2所示。（a） ，RHIX在股市合理的周波动率附近看起来稳定，假设周波动率为0.03。RHIX年波动率（=0.03·√52≈ 0.22）看起来很稳定。然而，图2。

（b） 结果表明，随着σ的增加，RHIX缓慢但肯定地减小并收敛到0。2003年3月至5月，标准普尔500指数和IBM的周波动率分别为0.0309和0.0365。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0σRHIX（a）RHIX用于区间上的各种ρ（0,0.5）0 1 2 3 4 50.0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0σRHIX，ρ=0.90 RHIX，ρ=0.50 RHIX，ρ=0.40 RHIX，ρ=0.10（b）RHIX用于区间上的各种ρ（0,5）图2：具有波动性的RHIX。6.3. 新的羊群行为指数：依赖性的边际自由度量在以下定义中，我们提出了一个新的羊群行为指数，该指数不受边际分布的影响，因此仅根据copula定义。定义5。对于给定的随机向量-→斯皮尔曼的rho型羊群行为指数（六）定义为asSIX-→W-→十、:=Pi<jwiwjρ（Xi，Xj）Pi<jwiwjρXci，Xcj,=Pi<jwiwjρ（Xi，Xj）Pi<jwiwj，其中斯皮尔曼的ρρ定义为ρ（Xi，Xj）=3P（十一）- 十、*i） （Xj）- 十、**j） >0- P（十一）- 十、*i） （Xj）- 十、**j） <0用（X）表示*i、 X*j） 和（X）**i、 X**j） 是（Xi，Xj）的独立副本。有时我们用六个(-→w，H）托德诺特六号-→W-→十、. 请注意，六个与Schmid和Schmidt（2007）中定义的成对Spearman的rho一致，其权重为w=·wd。由于二元斯皮尔曼ρ不依赖于边际分布，显然六元不依赖于边际分布。因此，对于连续边缘，我们有六个(-→w，H=6(-→w，C）。由于用斯皮尔曼rho项替换RHIX中的协方差项可以得到6，因此它可以解释为在共单调假设下，股票价格的加权成对斯皮尔曼rho与股票价格的加权平均斯皮尔曼rho的比率。

此外，与Lee和Ahn（2014a）中的RHIXas类似，六可以表示为下图所示的成对Spearman rhosas的加权平均值-→W-→十、= 其中p（Z=ρ（Xi，Xj））=pi，jwithpi，j:=wiwjdPk6=lwkwl。与HIX或RHIX不同，使用普通期权价格计算六种股票在现实中可能很困难，因为HIX和RHIX的计算需要个别股票和市场指数的期权价格，而六种股票的计算需要与每对个别股票价格相关的期权价格。另一种选择是，高频股价数据可用于估计六个：使用高频股价数据估计HIX和RHIX的详细方法可参见inLee和Ahn（2014a），类似的方法可用于估计六个。Lee和Ahn（2014b）利用股票价格数据对股票市场中的赫德行为进行了实证分析，共有六项。备注4。在计算HIX和RHIX时，我们必须在共单调假设下计算方差或协方差。因此，在HIX和RHIX的计算中，边缘分布的假设至关重要，如Lee和Ahn（2014a）所示，其中假设对数正态分布。然而，对于六的计算，由于协单调假设下的斯皮尔曼rho总是等于1的边际分布，所以边际假设是不必要的。以下示例展示了多元对数正态分布中六的表示，并确认六不存在边际分布。例3。

对于-→W∈ (0, ∞)d-变量对数正态随机向量-→X=（X，··，Xd）带漂移向量-→u和共变矩阵∑，6可以表示为asSIX（w，X）=dPi6=jwiwjπacrsin（ρi，j/2）dPi6=jwiwj=dXi6=jci，jπacrsin（ρi，j/2）（33），其中ρi，j=σi，j√∑i，i∑j，j，第一个不等式来自Kendall和Gibbons（1990）。斯皮尔曼的rho保留了一致性顺序，我们可以很容易地预期SIX也保留了一致性顺序。因此，我们有可能证明，用同调copula可以实现最大六个。然而，由于Fr’echet空间中没有最小copula，所以最小的六个copula就不那么清楚了。下面的定理给出了六的一些性质，并确定了六的最大值和最小值。定理3。当然-→定义S:=w+··+wd和S:=w+··+wd。然后，对于给定的分布函数H:=C（F，··，Fd）和H*:= C*（F，··，Fd），以下结论成立：i.如果连接词C，C*∈ FDC C*, 然后六个(-→w，H）≤ 六(-→w，H*).二、六满足感- S[12升(-→w）- S]≤ 六(-→w，H）≤ 1，（34）其中l（·）的定义可在符号2中找到。iii.（34）的上界是当且仅当H是共单调的。iv.当且仅当H为-→W*-CM，在哪里-→W*注释2的（24）中定义。证据第一部分的证明来自于斯皮尔曼rho的一致性和六是二元斯皮尔曼rho的线性组合这一事实。

对于其余部分的证明，请注意(-→w，H=6(-→w，C）和vardxi=1wiUi！=EdXi=1wiUi- C= C- 2cdXi=1wiE[Ui]+EdXi=1wiUi！= C- cdXi=1wi+dXi=1wiE用户界面+ 2Xi<jwiwjE[UiUj]=S+2Xi<jwiwjCov（Ui，Uj）（35），其中常数c定义为asc:=S。现在，定理3和（35）推导出(-→w）≤S+2Xi<jwiwjCov（Ui，Uj）≤dXi=1wi！，（36）当且仅当-→你是-→W*-第二个不等式是当且仅当-→你是共栖动物。现在（36）和下面的观测ρ（Xi，Xj）=ρ（Ui，Uj）=12 Cov（Ui，Uj），得出以下不等式- S[12升(-→w）- S]≤ 六(-→w，H）≤ 1当且仅当H为-→W*-CM和第二个不等式成立的充要条件是H是同调的。6.4. 数据分析在本小节中，我们使用六种方法分析美国股市的羊群行为。每日股价-→三只股票的X（t）数据来自苹果、惠普公司和《纽约时报》，时间间隔为t=2001/3/01和t=2014/4/09。在对数正态模型下，图3中的线形图（六）显示了估计的六个，其中每个点的六个是基于4个月观测估计的。与Choi等人（2013年）类似，在2008年开始的全球金融危机期间，三种股票价格普遍表现出强烈的羊群行为。有时，我们可能只对三家公司的股票价格之间的关系感兴趣。例如，我们可以假设三家公司的股价反映了传统媒体系统（报纸）、传统互联网媒体系统（计算机）和移动互联网媒体系统（智能手机或平板电脑）之间的偏好。

然而，三种股票价格的强相关性可能并不代表三家公司之间的强相关性，因为这段时间内股票价格的强烈共同变动可能是整个股票市场贬值（例如2008年的全球经济危机）造成的幻觉效应的结果。因此，为了理解三种股票价格之间的实际物理关系，可以通过以下定义的市场指数（本数据分析中的标准普尔）来考虑去品牌股票价格：--→XM（t）：=-→X（t）/S（t），其中S（t）是标准普尔指数。图3中的虚线图（SIXM）显示了使用调整后的股价估计的六个--→在同一时间间隔。这里，我们使用了重量-→w=（1,1,1）。请注意，在（3）中的对数正态模型下，具体的统计估计程序可以在Lee和Ahn（2014a）中找到。从图3中，我们可以得出结论，全球金融危机期间共同行动的主要来源是整个股市的贬值。在消除全球金融危机的共同推动效应后，调整后的股票价格的共同推动-→但它没有那么强大。7.结论在本文中，我们提供了一组被称为-→w-CM连接函数，并且已经证明了它们是集合协调序中的极小值。由于没有最小copula，最小值在优化问题中可能很重要。特别地，我们证明了在边际分布为各种均匀分布的情况下，所提出的连接函数集最小化了聚合和的方差。如第5节备注3所示，最小连接函数集可以与给定边际分布的聚合和方差相关。

在这方面，使用d-CM连接函数的方法是0。0.2 0.4 0.6 0.8SIX3/1/20016/12/20029/18/200312/27/20044/4/20067/13/200710/17/20081/27/20105/4/20118/9/20124/9/2014SixM图3:2001/3/01至2014/4/09的六个，权重向量（w，w，w）=（1，1）。广义的-→对于某些特殊的边际分布，w-CM连接函数可以用来最小化聚合和的方差。我们把这个话题留给未来的研究。最后，尽管-→一般来说，当边际分布不是均匀分布时，w-CM连接函数不会最小化聚合和的方差，许多其他有趣的优化问题的解都是均匀边际。羊群行为指数的优化就是这样一个例子。在这篇论文中，我们提供了一个不依赖于边际分布的羊群行为指数，并证明了羊群行为指数随时间而最小化-→w-CM连接词。感谢Jae Youn Ahn，这项工作得到了韩国政府资助的韩国国家研究基金会（NRF）的支持（2013R1A107062）。参考Bernard，C.，Jiang，X.，和Wang，R.（2014）。具有依赖不确定性的风险聚合。保险数学。经济。，54:93–108.切鲁比尼，U.，卢西亚诺，E.，维基亚托，W.（2004）。金融中的Copula方法。威利金融系列。约翰·威利父子有限公司，奇切斯特。Cheung，K.C.，Denuit，M.，和Dhaene，J.（2015）。尾部互斥性和尾部var下界。联邦调查局报告AFI 15100。张克强，张德恩，J.和邓，Q.（2011）。关于部分对冲和反单调和。可查阅SSRN 1966995。张克强和罗安（2014）。将互斥性描述为最强的负多元依赖结构。保险数学。经济。，55:180–190.Cheung，K.C.和Vanduffel，S.（2013）。