Copulas中的负依赖概念与边际自由群

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英文标题：
《Negative Dependence Concept in Copulas and the Marginal Free Herd
  Behavior Index》
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作者：
Jae Youn Ahn
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We provide a set of copulas that can be interpreted as having the negative extreme dependence. This set of copulas is interesting because it coincides with countermonotonic copula for a bivariate case, and more importantly, is shown to be minimal in concordance ordering in the sense that no copula exists which is strictly smaller than the given copula outside the proposed copula set. Admitting the absence of the minimum copula in multivariate dimensions greater than 2, the study of the set of minimal copulas can be important in the investigation of various optimization problems. To demonstrate the importance of the proposed copula set, we provide the variance minimization problem of the aggregated sum with arbitrarily given uniform marginals. As a financial/actuarial application of these copulas, we define a new herd behavior index using weighted Spearman\'s rho, and determine the sharp lower bound of the index using the proposed set of copulas.
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中文摘要：
我们提供了一组可以解释为具有负极端依赖性的连接词。这组copula很有趣，因为它与二元情况下的反单调copula一致，而且更重要的是，它在协和排序上是最小的，因为在所提出的copula集之外，不存在严格小于给定copula的copula。承认在大于2的多元维度中不存在最小copula，研究最小copula集在研究各种优化问题时可能很重要。为了证明所提出的copula集的重要性，我们给出了具有任意给定均匀边缘的聚合和的方差最小化问题。作为这些copula的财务/精算应用，我们使用加权Spearman\'s rho定义了一个新的羊群行为指数，并使用所提出的copula集确定指数的尖锐下界。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Negative_Dependence_Concept_in_Copulas_and_the_Marginal_Free_Herd_Behavior_Index.pdf (366.46 KB)

2022-5-7 22:06:07 上传

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关键词：copulas Copula opula Applications Quantitative

Copulas中的负依赖概念和边际自由羊群行为Indexjae Youn Ahna，*韩国首尔世德孟谷大玄洞11-1号

虽然Fr’echet-Hoeffding上界对应于最大copula，但Fr’echet-Hoeffding下界通常不是copula。此外，最小copula在大于2的高维中一般不存在；例如，见Kotz和Seeger（1992）和Joe（1997）。在保险和金融领域，最大copula对应于称为共单调性的概念（Dhaene等人，2002b）。在风险管理方面，共单调性是一个重要的概念，因为它可以用来描述竞争风险之间的完美正相关性。重要的是，它提供了各种优化（最大化）问题的解决方案。然而，与完全正相关性不同，主要是因为没有最小copula，甚至在负极端相关性的定义上仍然存在争议。尽管存在这些困难，但在保险和其他应用中仍然需要负极端相关性的概念，因为它可能导致相关优化问题的解决方案。许多研究调查了不同情境下的负极端依赖。Dhaene和Denuit（1999年）、Cheung和Lo（2014年）以及Cheung等人（2015年）定义了可被视为成对反单调运动的相互排斥的概念。另一方面，（Wang and Wang，2011）提出了完全混合性的概念，它可以用来最小化给定边际分布的随机变量和的方差。该领域最近发表了许多论文（Puccetti等人，2012年；Puccetti和Wang，2014年；Wang和Wang，2014年；Bernard等人，2014年）。

虽然互斥性和完全混合性的概念在优化问题的各个领域都很有用，但由于它们的概念都依赖于边际分布，并且是特定问题，它们可能无法提供负相关性的一般概念。Lee和Ahn（2014b）提出了一组负相关联合分布，称为asd反单调copulas（d-CM）。已知d-CM的定义仅为copula的定义。此外，d-CM copula的集合在一致性排序方面是最小的：除了d-CM copula之外，没有任何copula的一致性排序严格小于给定的d-CM copula。承认多元维度d中没有最小元素≥ 3.最小连接函数集在优化问题中非常重要。然而，如果不了解d-CM连接函数的进一步性质，为给定的优化问题选择合适的d-CM连接函数可能会很困难。此外，如Puccetti和Wang（2014）所述，d-CM可能过于笼统，无法用于负极端依赖，例如，任何向量（V，V，·，V，1）-V）当V是一个均匀的[0,1]随机变量时，它是d-CM，而除了最后一个元素外，它接近于一个共单调随机向量。因此，在本文中，为了消除这种几乎共单调的情况，并强调负极端依赖的概念，我们只考虑d-CM copula的一个特殊子集，它将由向量参数化-→W∈ Rd+，其中Rd+是一维正欧氏空间。这组连接词将被命名为-→w-反单调连接词(-→w-CM）。

由于集合的极小性-→w-CM连接词是从d-CM继承而来的，我们期望-→w-CM连接函数在各种优化问题中也可能有用。然而，在我们讨论-→w-CM copulas在最优化问题中的存在性-→应首先研究w-CM连接词。而-→w-CM连词-→w=（1，··，1）∈ Rd+在文献中广为人知，例如，参见Lee and Ahn（2014b），存在-→一般情况下不保证w-CM连接词-→W∈ Rd+。本文给出了该方程存在的等价条件-→w-CMcopulas。对于copula的证明和构造，我们使用一种简单的几何方法来构造copula。通过使用代数方法获得的类似结果可以在王和王（2014）最近的一篇工作论文中找到。自从-→w-CM仅是copula的属性，是-→w-CM可能仅限于一些不依赖于边际分布的优化问题。Puccetti和Wang（2014）也指出了-→w-CM（因此-→d-CM）在解决优化问题时，指出任何不考虑边际分布的依赖性概念可能无法解决依赖边际分布的优化问题。下面（19）中正式说明的给定边缘分布的聚合和的方差最小化就是这样一个例子；详细的文献可以在Gaffke和R¨uschendorf（1981）中找到；R–uschendorf和Uckelmann（2002）；王和王（2011）；普切蒂和王（2014）。正如我们可以直观地预期的那样，正如下面第5节所示，我们可以证明，没有一个单一的copula能够普遍地最小化带有任意边值的聚合和的方差。

然而，我们将展示使用一组-→w-CM连接函数而不是单个连接函数，当限制在均匀分布族中时，可以使不同边际分布的聚合和的方差最小化。而我们的结果提供了一个不受约束的通用解决方案-→W∈ Rd+，在Wang和Wang（2014）中可以观察到一些特殊情况下的部分解-→W∈ 他们主要对所谓的联合混合性感兴趣，其目标是恒定的聚合和。第5节将提供更详细的结果。用于财务应用-→w-CM，我们提供了羊群行为指数的新定义。牧民描述了一群成员的共同运动。由于股市中的羊群行为通常在金融危机期间观察到（Dhaene等人，2012年；Choi等人，2013年），因此衡量羊群行为对于管理金融风险非常重要。针对完美的羊群行为可以用共单调性建模这一事实，提出了一些衡量共单调性程度的羊群行为指数（Dhaene et al.，2012，2014a；Choi et al.，2013）。使用这种羊群行为指数来衡量羊群行为可能很重要，因为它已被证明是市场恐惧的指标。然而，虽然共单调性的概念不受边际分布的影响（因此羊群行为也不受边际分布的影响），但这些羊群行为度量可以取决于边际分布，如下面的示例2所示。或者，我们根据双变量斯皮尔曼rho的加权平均值确定新的羊群行为指数。这种新的羊群行为指数不受定义的边际分布的影响，并将被证明能保持一致性顺序。

我们还发现，新群体行为的最大值和最小值与共单调性和一致性密切相关-→w-CM。本文的其余部分组织如下。我们首先总结了研究符号，并在第2节简要解释了基本的copula理论和反单调理论。概念-→第3节介绍了w-CM，以及-→w-CM copula在第4节中进行了演示。第5节应用了-→w-CM到方差最小化问题。第6节讨论了新群体行为指数的定义和最小化，随后是结论。2.注释和初步结果2。1.公约d≥ 2是整数，表示d维欧氏空间。特别地，设Rd+d维正欧氏空间。进一步的[a，b]×[a，b]···×[a，b] RDI由[a，b]d表示。我们使用-→· todenote d-变量向量：尤其是小写-→x=（x，x，·，xd）表示RDP和大写的常量向量-→X=（X，X，···，Xd）表示d变量随机向量。更具体地说-→u:=（u，··，ud）和-→w:=（w，·，wd）将分别用于表示[0,1]和Rd+中的常量向量。最后，用V表示一个均匀的[0，1]随机变量。除非另有规定，我们假设-→X是一个d维随机向量，其累积分布函数由H定义(-→x）=P（x≤ x、 ··，Xd≤ xd）用于-→十、∈ 和Xiis Fi（y）：=P（Xi）的边际分布≤ y） 因为我∈ {1，··，d}和y∈ R.定义F（F，···，Fd）为具有边际分布F，··，Fd的d变量随机向量的Fr’echet空间。因此-→十、∈ Fd（F，···，Fd）。等价地，我们也表示H∈ Fd（F，···，Fd）。我们使用Fdto来表示Fr’echet空间的特殊情况，其中所有的边缘分布都是一致的[0,1]。本文假设边缘分布是连续的。

根据Sklar（1959）的说法∈F（F，··，Fd），存在唯一的函数C:[0，1]d→ [0,1]令人满意(-→x）=C（F（x），·Fd（xd））。函数C被称为copula，它也是[0,1]d上的分布函数。可以找到更多关于copulas的信息，例如Cherubini等人（2004）和Nelsen（2006）。任何H∈ F（F，··，Fd）满意度（F（x），··，Fd（xd））≤ H(-→十）≤ M（F（x），·Fd（xd）），代表所有-→十、∈ 路，在哪里(-→u）：=max{u+·ud- （d）- 1） ，0}和M(-→u）：=min{u，··，ud}，（1）用于-→U∈ （1）中的[0,1]d.W和M分别称为Fr\'echet-hoefding下界和Fr\'echet-hoefding上界。注意，M（F，··，Fd）是一个d变量随机向量的累积分布，而W（F，··，Fd）不是一般情况。设为定义的生存分布函数(-→x）：=P（x>x，··，Xd>Xd）-→十、∈ 为H，H*∈ F（F，··，Fd），协调序H H*被H定义为(-→十）≤ H*(-→x）和H(-→十）≤ H*(-→x）为了所有人-→十、∈ Rd.此外，定义H=H*如果(-→x）=H*(-→x）任何-→十、∈ Rd.等价地表示-→Xd=-→十、*如果H=H*, 其中的累积分布函数-→十、*是H吗*. 除非另有规定，-→U:=（U，··，Ud），-→U*:= （U）*, ··· , U*d） ，及--→U**:= （U）**, ··· , U**d） FDC中的d变量随机向量是copula C，C吗*C**分别作为累积分布函数。例如，P（U）≤ u、 ···，Ud≤ ud）=C(-→u）为了-→U∈ [0,1]d.可以方便地定义最小和最小连接词。对于d≥ 2.我们定义了d-dimensionalcopula C∈ 如果不等式* ()C对于任意d维copula C*∈ Fd。同样，对于d≥ 2.定义d维copula C∈ 如果不等式* ()一些d维copula C*∈ FDC*= C

定义连词C的集合 Fdto在集合一致性排序中是最小的，如果有C∈ C和C*∈ FdwithC* CimpliesC*∈ C.根据定义，如果C为空，则C在集合一致性排序中是最小的。显然，集合一致性排序中的最小值的定义比最小copula的定义弱。在集合协调序的极小性中，极小性的质量取决于集合的大小。例如，在集合一致性排序中，Fr′echetspace是最小的。另一方面，如果C只有一个元素，那么集合一致性排序中最小值的定义与最小copula的定义是一致的。2.2. 对d-反单调性的回顾在精算学和金融学中越来越流行。从概念上讲，随机向量-→如果X的所有组件都朝着同一方向移动，则X是共单调的。共单调性在几个方面都很有用，例如总和的有界问题（Dhaene等人，2006年；Cheung和Vanduffel，2013年）和对冲问题（Cheung等人，2011年）。最近，共名性被用于描述经济危机（Dhaene等人，2012年、2014年b；Choi等人，2013年）。反单调性是与共单调性相反的概念。从概念上讲，在双变量情况下，arandom向量-→如果两个分量朝相反的方向移动，那么X是反单调的。下面的经典结果总结了二元维中反单调性的等价条件。定义1。一套 Ris反单调（共单调）如果下列不等式成立（x- y） （十）- y）≤ (≥)全部为0-→十、-→Y∈ R-→如果X具有反单调（共单调）支持，则称其为反单调（共单调）。定理1。对于二元随机向量-→十、 我们有以下等价的陈述。我-→X是反单调的。无论如何-→十、∈ RP-→十、≤-→十、= 最大{F（x）+F（x）- 1,0}（2）iii。

对于均匀（0，1）随机变量U，我们有-→Xd=F-1（U），F-1(1 - U）.虽然将共单调性扩展到多变量维度d>2很简单，但反单调性并没有扩展到多变量维度d>2。正如Lee和Ahn（2014b）所讨论的，反单调性扩展的困难部分是由于缺乏极小copula。在本文中，我们提供了一组极小copula，它可以被视为二维反调和到多维的自然延伸。3.加权反单调性作为多元维度中反单调性或负极端依赖性的延伸，Lee和Ahn（2014b）引入了d-CM的概念。虽然d-CM连接函数在理论上很有趣，但具有某些参数函数的d-CM连接函数的存在和构造仍然未知，因此很难将d-CM连接函数应用于各种优化问题。此外，d-CM的概念可能过于笼统，无法描述Puccetti和Wang（2014）中明确规定的负相关性概念，其中（V，V，··，V，1）的示例- V）被给予。或者，Lee和Ahn（2014b）引入了严格d-CM的概念，作为d-CM的特例，这在一些最小化问题中很有用。然而，由于严格d-CM的对称性，它不能用于非对称优化问题，如第5节所述。为了论文的完整性，我们在附录中总结了（严格的）d-CM的定义和性质。在这一节中，我们将介绍一类新的极值负相关copula，它将被称为-→w-反单调(-→w-CM）连接词，可以解释为一组最小连接词，如下表1所示。