L#evy财务流程：R

正则分解由，Lt=tE[L]+tZZRx（ηL）给出- νvg）（ds，dx）（3.18），其特征指数的形式为ψ（u）=vln1.- iuuv+σvu. （3.19）可通过以下方式获得：VG_CF=函数（u，sigma，theta，nu，r，time）{drift=r+log（1-theta*nu-0.5*sigma*sigma*nu）/nuphi=exp（1i*drift*time*u）*（（1-1i*nu*theta*u+0.5*nu*sigma*sigma*u）^（-time/nu））返回（phi）}或者，（3.18）可以表示为两个伽马过程之间的差异，即Lt=Gt- Gt。伽马过程的密度由ηL（x）=baΓ（a）xa给出-1e-xb（3.20），其中a，b，x>0。通过设置Gt的a=C和b=M，以及Gt的a=C和b=G，可以用这种方式模拟VG过程。VG=function（sigma，nu，mu，T，N）{a=1/nub=1/nuh=T/Nt=（0:T）/NX=rep（0，N+1）I=rep（0，N）X[1]=0for（I in 1:N）{I[I]=rgamma（1，a*h，b）X[I+mu*I]+sigma*sqrt（I[I]*rnorm（1）}返回（X）}请注意，函数PPgen是以前需要的。0 200 400 600 800 10000 100 200 300 400由VG流程驱动的资产价格时间资产价格图6：由σ=0.75、v=0.5和u=0.1的VG流程驱动的资产的样本路径。CGMY进程：假设log返回L~ CGMY（C，G，M，Y），其中C，G，M采用（3.14）-（3.16）和Y<2（[6]）。这一过程具有有限的活动效应∈ [0,2）。第一时刻没有明确的形式。设，νT S（dx）=Ce-Mxx1+Yx>0dx+Ce-G | x | x | 1+Yx<0dx（3.21），则三重态由（E[L]，0，νts（dx））给出。密度η是不可解析处理的。正则分解由，Lt=tE[L]+tZZRx（ηL）给出- νts）（ds，dx）（3.22），其特征指数的形式为ψ（u）=CΓ(-Y+Y+MY- （M）- iu）Y- （G+iu）Y]。

（3.23）可通过以下方式获得：CGMY_CF=函数（u，T，r，C，G，M，Y）{omega=-C*cgamma（-Y）*（（M-1）^Y-M^Y+（G+1i*u）^Y-G^Y）tmp=C*T*cgamma（-Y）*（（M-1i*u）^Y-M^Y-G^Y）phi exp 1i*u*（（r+omega*T）+tmp）返回（phi。与VG过程类似，CGMY过程可以使用布朗从属[19]进行模拟。设A=G- Mand B=G+M.（3.24），那么由Lt=AYt+W（Yt）定义的过程相当于（3.22），其中yti是密度的过程，ηL（x）=exp-（B）- A） yΓ（Y）hY（B）√y） Γ（y/2）2Y/2-1（3.25）对于Y>0，hY（z）=Γ（Y）z∞E-y/2-yzyY-1dy。（3.26）通过调用：CGMY=函数（C，G，G，M，M，Y，T，T，N）{h=T/Nt（0:T）T/Nt=（G-M）/NA（G-M）/2B（G-M）/2B（G+M）/2B（G-M）/2B（G-M）/2B（G-M）/2B（G-M）/2B（G+M）/2B（G+M）/2B（G+M）/2B（G+M）/2B（G（G+M）/2B（G+M）/2B（G+M）/2B（G（G+M）/2B（G（G+M）/2B（G+M）/2B）B（G（G（G（G+M）/2B）（G（G+M）/2B）（G（G+M）/2B）（G（G+M）/2B）（G+M）/2B）（G（G（G+M）/2B）f（J[[J]]）randf=sample（J，N，probJ，replace=TRUE）X[1]=0for（1:N中的I）{I[I]=randf[[I]]X[I+1]=X[I]+A*I[I]+sqrt（I[I]）*rnorm（1）}return（X）}0 200 400 600 800 10000 100 200 300 400由CGMY processTimeAsset price驱动的资产价格图7：由C=5、G=25、M=25和Y=1的CGMY流程驱动的资产的示例路径。广义双曲过程：假设log返回L~ GH（α，β，δ，u，λ）（[9]，[26]，[2]）。参数α>0决定形状，0≤ |β|<α确定偏度，u∈ R表示位置，δ>0表示标度参数，λ∈ R决定尾巴的重量。第一个力矩由E[L]=u+βδKλ+1（ζ）ζKλ（ζ）（3.27）给出，其中ζ=δpα- β. 通过定义νGH（dx）=eβx | x|∞泽-√2y+α| x |πy（J |λ|）（δ√2y）+Y |λ|（δ）√2y）dy+λe-α| x |{λ≥0}!（3.28）三重态由（E[L]，0，νGH（dx））给出。已知密度ηLis：ηL（x）=c（α，β，δ，λ）[δ+（x- u)](λ-)/2Kλ-（αpδ+（x- u）eβ（x-u）（3.29），其中c（α，β，δ，λ）=（α- β)λ√2παλ-Kλ（δpα）- β).

（3.30）正则分解由Lt=tE[L]+tZZRx（ηL）给出- νGH）（ds，dx）（3.31），具有以下形式的特征指数：ψ（u）=-自然对数α- βα- （β+iu）λKλ（δpα）- （β+iu））Kλ（δpα- β)- iuu。（3.32）可通过以下方式获得的（3.32）可通过以下方式获得的（3.32）可通过以下方式获得的（3.32）可通过以下方式获得的（3.32）可通过以下方式获得的（3.32）可通过以下方式获得的（3.32）可通过以下方式获得的（3.32）可通过以下方式获得的（3.3）可通过以下方式获得的（功能（u，T，T，T，T，T，T，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，r，C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，C p）*T）返回（φ）}模拟的自然方式GH过程是直接计算，Lt=u+βYt+W（Yt）。（3.33）其中YIT是来自广义逆高斯（GIG）分布的随机变量。GIG分布的密度由ηL（x）=（a/b）p/22Kp给出(√ab）xp-1e-（ax+b/x）/2（3.34），其中a，b，x>0，p∈ R、 KPI是第二类修正贝塞尔函数。通过设置a=α- β、 b=δ，p=λ，我们得到Y的密度。通过调用：GH=function（alpha，beta，delta，lambda，mu，T，N）{h=T/Nt=（0:T）/NI=rep（0，N）X=rep（0，N）X=rep（0，N+1）for（i in 1:N）{i[i]=rgig（1，lambda，h*sqrt（alpha*beta*beta*beta），delta）X[i+1]=X[i+mu/N+beta*i]+sqrt（i]）-对于GH过程，我们得到了NIG（[3]）。L′evy三重态是从之前的（E[L]，0，νNIG（dx））继承而来，其中第一时刻由E[L]=u+βδpα给出- β（3.35），测量值定义为，νNIG（dx）=eβxΔαπ| x | K（α| x |）dx。（3.36）此外，正则分解类似地由Lt=tE[L]+tZZRx（ηL）给出- νNIG）（ds，dx）（3.37），其特征指数的形式为ψ（u）=δpα- （β+iu）-pα- β- iuu。

（3.38）NIG_CF=function（u，time，r，alpha，beta，delta，mu）{omega=delta*（sqrt（alpha*alpha-（beta+1）^2）-sqrt（alpha*alpha*beta*beta）tmp=1i*u*mu*time delta*time*（sqrt（alpha*alpha-（beta+1i*u）^2）-sqrt（alpha*beta*beta*beta）phi=exp（1i*u*（r+omega）**T）++tmp）return（phi）}可以通过调用随机变量来模拟资产的路径：（alpha*alpha-beta*beta）h=T/Nt=（0:T）/NI=rep（0，N）X=rep（0，N+1）X[1]=0for（i in 1:N）{i[i]=IG2（a*h，b）X[i+i+1]=X[i]+mu/N+beta*delta*delta*i[i]+delta*sqrt（i[i]）rnorm（1）}return（X）}0 200 400 600 800 800 10000 100 300 500资产价格由NIG进程驱动的资产价格图8:NIG进程的样本路径，α=1，δ=1，δ=0。Meixner过程：设α，δ>0和-π<β<π，所以~ MX（α，β，δ）（[30]，[29]）。定义，νMX（dx）=δeβxαx sinh（πxα）（3.39）。然后，与其他纯跳跃模型类似，三重态由（e[L]，0，νMX）给出。密度ηLis，ηL（x）=2个原因β2δ2απΓ(2δ)Γδ+ixαeβxα。（3.40）正则分解由Lt=tE[L]+tZZRx（ηL）给出- νMX）（ds，dx）（3.41），其特征指数为ψ（u）=cos（β）cosh（πxα）2δ. （3.42）MX_CF=function（u，T，r，alpha，beta，delta）{omega=-2*delta*（log（cos（0.5*beta））-log（cos（（alpha+beta）/2））（tmp=（cos（0.5*beta）/cosh（0.5*alpha*u-1i*beta））^（2*T*delta）phi=exp（1i*u*（r+omega）*T）+log（tmp））return（phi）}通过布朗从属关系对过程进行模拟，见[19]。或者，关于基于接受-拒绝抽样的模拟方法，请参见[14]。

通过调用：MX=函数（alpha，delta，T，N）{h=T=T/NX=NX=rep（0，N+1）代表（0，N+1）为（i in 1:N）{X（i+1）N[i[i+1]]=X（i[i[i[i[i[i[i[1]]]=X（i[i[i[i[i]]]]]]=X（i[i[i[i]]]]]]=X（i[i[i]]]]][X[i]]].+r（h，h，α，α，α，α，0，0，0，α，0，0，0，0，δ，δ）的）和（h，α，0，0，δ）的）的）的）的）的混合者（h（h，α，α，0，0，0，0，0，δ）的）的）的）的）的1）if（abs（Q）<1）{if（gamma（r）^2*U<abs（cgamma（r+1i*V/a）^2）{break}其他{if（！is.na（cgamma（r+1i*V/a）））if（max（1,2*r）*a^2*gamma（r+1）^2*U/（2*r）<abs（cgamma（r+1i*V/a）^2*V^break}返回（V+m）}0 200 400 400 600 800 100 200 400由Meixner processTimeAsset驱动的资产价格图9:mxan过程驱动的资产路径样本，α=0和δ=0。有关列维过程的更详细讨论，包括其在金融中的应用，请参见[17]、[27]、[24]、[28]、[23]、[1]。如果本草案中存在错误，请查阅已出版的参考文献，以获取正确的公式。参考文献[1]D.Applebaum。列维过程和随机微积分。剑桥大学研究高等数学。剑桥大学出版社，2004年。[2] O.巴恩多夫-尼尔森。粒度对数的指数递减分布。伦敦皇家学会会刊。A.数学和物理科学，353（1674）：401-4191777。[3] O.E.巴恩多夫-尼尔森。正态/逆高斯过程与股票收益建模。研究报告数学研究所理论统计系。奥胡斯大学。大学研究所系，1995年。[4] 菲舍尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯。期权和公司负债的定价。政治经济学杂志，81（3）：6371973。[5] 彼得·卡尔、埃尔叶特·杰曼、迪利普·B·马丹和马克·约尔。资产回报的精细结构：一项实证调查，2000年。[6] 彼得·卡尔、埃尔叶特·杰曼、迪利普·B·马丹和马克·约尔。

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