L#evy财务流程：R

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《L\\\'evy Processes For Finance: An Introduction In R》
---
作者：
D.J. Manuge
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  This brief manuscript provides an introduction to L\\\'evy processes and their applications in finance as the random process that drives asset models. Characteristic functions and random variable generators of popular L\\\'evy processes are presented in R.
---
中文摘要：
这篇简短的手稿介绍了列维过程及其在金融中的应用，即驱动资产模型的随机过程。R中给出了流行的LSevy过程的特征函数和随机变量发生器。
---
分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

---
PDF下载：
--> Lévy_Processes_For_Finance:_An_Introduction_In_R.pdf (843.8 KB)

2022-5-7 22:15:04 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Applications introduction epidemiology Quantitative Application

L’evy财务流程：RD.J.ManueAbstract中的简介这篇简短的手稿介绍了L’evy流程及其在财务中的应用，以及驱动资产模型的随机流程。R.1中介绍了popularL’evy过程的特征函数和随机变量发生器。引言过去几十年的分析表明，市场数据与Black-Scholes模型的一些基本假设不一致。例如，如果资产价格的变化在时间周期缩短时仍然很大，人们就不能假设价格是连续的。根据这一观察，Cox和Ross假设价格遵循纯跳跃过程，因此在任何时间步，资产价格都会导致正跳跃或负跳跃[7]。在这一理论的基础上，默顿引入了叠加在连续价格过程上的跳跃，可以选择其参数来解释实际市场中观察到的厚尾回报[22]。此外，从业者需要具有准确隐含波动率表面的模型来进行风险管理。虽然表面可以在没有跳跃模型的情况下解释，但对于短期成熟度选项，微笑会变得更加丰富，跳跃的存在更好地描述了这一点[31]。此外，回报率的分布表现出偏态性和瘦肉型荨麻疹。显然，随着对市场结构更多信息的理解，有必要改进资产价格的参数形式。对于有限跳跃模型，Kou通过允许跳跃大小遵循非对称双指数分布[16]，扩展了默顿模型。该模型既考虑了波动性微笑，也考虑了非对称的轻量级收益。大多数金融模型都属于有限跳跃模型，在这类模型中已经取得了许多进展。

1987年，Madan和Seneta提出原木价格的增量遵循（对称）方差伽马（VG）分布，同时利用澳大利亚股市数据提供了统计证据[18,21]。VG分布是广义双曲线（GH）分布的一个特例，它最初由巴恩多夫-尼尔森提出，用于模拟沙子从源头到沉积物的粒度分布[2]。资产价格建模考虑了GHD分布的其他情况；Eberlein和Keller建议，长期价格的增量遵循双曲线分布[8]。或者，Barndor ff-Nielson在[3]中提出了原木价格的正态逆高斯分布。最后，Eberlein和Prause将他们的重点扩展到GH分布的整个类别，提供了彻底的统计处理以及对随机波动性的应用[9,26]。卡尔、杰曼、马丹和约尔提出了（广义）回火稳定过程。[5].创造了CGMY过程，它与非正态α稳定的L’evy过程（α）的L’evy度量一致∈ （0，2））乘以指数因子。Meixner过程[29,30]给出了另一个由正交多项式理论产生的有限跳跃模型。迄今为止提到的所有过程都有一个共同的特点；它们是列维过程。

显然，通过使用ageneral L’evy过程对资产动态进行建模，可以考虑大量特殊情况。这类过程不仅有效地模拟了真实数据的隐含波动表面，而且正如前面提到的，由于其对幸福的图形描述，它们被称为波动的微笑效应。在非跳跃模型中，如T→ 0，ln（圣/圣）-1) ~ 正常（u，σ），但实际上并非如此。后来扩展到[20]中的不对称方差伽马模型，其中包括（但不限于）上述财务案例。2015年3月16日提交给NULL的预印本可以参数化，以显示偏度、峰度、价格增量中缺乏自相关、不确定性、聚合正态性，并具有不连续变化的能力[25,24,28]。L'evy过程定义1（随机过程）概率空间上的随机过程X(Ohm, F、 P）是随机变量（Xt）0的集合≤t<∞.如果Xt∈ Ft，过程X被称为适合过滤F，或相当于过滤F-可测量的（[27]）。随机过程已在经济、金融、精算、物理、生物和化学应用中得到研究（[27]、[17]、[11]、[12]、[13]）。在金融领域，它们的主要用途是代表某些资产的价格构成。可以说，最著名的随机过程是布朗运动，它描述了悬浮在液体中的粒子的运动（[10]，[13]）。定义2（布朗运动）标准布朗运动W=（Wt）0≤t<∞满足以下三个特性：（i）W=0（ii）W具有独立增量：Wt- Wsis独立于Fs，0≤ s<t<∞（iii）Wt- Ws是一个高斯随机变量：Wt- Ws~ N（0，t）- （s） 0≤ s<t<∞属性（ii）意味着马尔可夫属性（即未来状态的条件概率分布取决于当前状态）。

属性（iii）表示了解WTT的分布≤ 当t>τ时，τ不提供有关过程的预测信息。另一个著名的随机过程是（[13]），定义3（泊松过程）泊松过程N=（Nt）0≤t<∞满足以下三个特性：（i）N=0（ii）N具有独立增量：Nt- Nsis独立于Fs，0≤ s<t<∞（iii）N具有固定增量：P（Nt- Ns≤ x） =P（Nt）-s≤ x） ，0≤ s<t<∞实际上，仅用布朗运动或泊松过程建立的随机微分方程在描述演化系统的复杂动力学时可能是无效的。虽然它们的路径结构在模拟中明显不同，但请注意它们在定义上的相似性。通过结合它们的共同特性，可以建立一个通用过程。定义4（列维过程）设L为随机过程。如果满足以下条件，则LTI为L’evy过程：（i）L=0（ii）L具有独立增量：Lt- 独立于Fs的LSI，0≤ s<t<∞（iii）L具有固定增量：P（Lt- Ls≤ x） =P（Lt-s≤ x） ，0≤ s<t<∞（iii）LTI在概率上是连续的：limt→sLt=LS1 Keller表示条件（iii）遵循（i）和（ii），因此可以省略（[15]）。如果存在一系列i.i.drandom变量，如Ld=L1，n+…+，则称随机变量L具有完全可除分布Ln，n∈ Z+。因此，如果L是一个L’evy过程，则对于每个t>0（[17]），它是一个不可完全整除的分布。存在一个充分表征所述性质的表达式，为该过程看似定性的定义提供了参数结构。这只是保罗·列维（Paul L’evy，1886-1971）的众多结果之一，他在概率计算中得出了基础性的结果；当时还没有概率的数学理论。

他的博士顾问是雅克·沙达玛和维托·沃尔特拉。反之亦然；所有不完全可分分布都可以表示为L’evy过程。定理1（列维-钦钦公式）假设：∈ R、 σ≥ 是一个集中在R/{0}上的度量，使得rrmin（1，x）ν（dx）<∞. 实值随机变量L的概率律η具有特征指数ψ（u）：=-t对数E[eiuLt]由Φ（u；t）=ZReiuxη（dx）=E给出-tψ（u）代表u∈ R、 （2.1）如果存在三重（u，σ，ν），则ψ（u）=iuu+σu+ZR（1- eiux+iux1（|x |<1））ν（dx）（2.2）对于每个u∈ R.此外，根据上述定理，存在一个概率空间，其中L=L（1）+L（2）+L（3）；L（1）是带漂移的标准布朗运动，L（2）是一个复合泊松过程，L（3）是一个平方可积鞅，其数量级跳数小于1（几乎可以肯定）。该过程的特征指数与L’evy Khintchine公式中的相同。这个结果更正式地被称为L’evy It^o分解（[27]）。在标准形式中，Lt=ut+σWt+tZZ | x|≥1xηL（ds，dx）+tZZ | x |<1x（ηL- νL）（ds，dx）。(2.3)3. 用L’evy过程模拟资产任何L’evy过程的路径结构都由其三元组（u，σ，ν）唯一定义。许多流行的资产定价模型及其相关的驱动过程都有已知的三元组（[23]，[17]）。本节讨论了金融中用于资产建模的列维流程示例。在接下来的情况下，我们假设价格过程采用S=exp（Lt）的形式，其中LTI是一个L’evy过程。在本文中，我们不讨论有关资产风险中性的细节。然而，我们注意到，必须对资产进行均值修正，使其风险中性。实现这一点的一种方法是将上述表达式乘以指数阻尼系数，该系数可通过了解资产的分布（即。

选择L’evy过程）（[28]）。在下面描述L’evy流程特征功能的代码中，风险中性被应用。在运行本节中的脚本之前，应安装并加载“fAsianOptions”和“Bessel”R软件包。布朗运动：假设L有均值μ和方差σ~ 正常（u，σ），然后三元组由（u，σ，0）给出。密度ηLis由ηL（x）给出=√2πσe-（十）-u)/2σ. （3.1）正则分解由Lt=ut+σWt（3.2）给出，其特征指数的形式为ψ（u）=σu- iuu。（3.3）可通过以下方式获得：鞅是一个过程L，其在Ln+1的条件期望值等于Ln。BS_CF=function（u，sigma，r，time）{drift=r-0.5*sigma^2phi=exp（1i*drift*time*u-0.5*sigma*u*u*time）return（phi）}可以通过调用：BM=function（mu，sigma，T，N）{h=T/Nt=（0:T）/NX=rep（0，N+1）X[1]=0for（i in 1:N）{X[i+1]=X[i]=X[i]+mu h*h*sqrt（200*400*800）价格驱动的资产回报率为300亿美元motionTimeAsset价格图1：由u=0.5且σ=0.5的布朗运动驱动的资产的样本路径。在BSM模型中，日志返回是正态分布的；原木价格过程遵循带漂移的标准布朗运动（[4]）。设置u=0可消除漂移分量。泊松过程：设λ>0，δ为x=1的狄拉克测度。假设我~ Poisson（λ），那么这个triplet由（0，0，λδ）给出。密度ηLis由ηL（x）=λe给出-λx.（3.4）分解是到时间t的跳跃的累积和，其具有以下形式的特征指数：ψ（u）=λ（1）- eiu）。

（3.5）通过调用：δ（A）=1，当1∈ A、 否则δ（A）=0#2.2）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）P）P）P）P）P）P）P）P）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N）N 800 10000 50 100 150泊松过程图2：具有λ = 100.复合泊松过程：设λ>0为泊松随机变量N的强度，设ξibe为i的F律随机变量≥ 1（独立于N）。假设L服从复合泊松分布。然后三元组由(-λR0<|x |<1xF（dx），0，λF（dx））。密度η是不可分析的。正则分解由Lt=NtXi=1ξi（3.6）给出，其特征指数为ψ（u）=λZR（1）- eiux）F（dx）。（3.7）通过调用：CPP=function（lambda，T，N）{h=T/Nt=（0:T）/NX=rep（0，N+1）F=rep（0，N+1）I=rep（0，N+1）I=rep（0，N）X[1]=0for（I in 1:N）{I[I]=PPgen（h*lambda）如果（I]=0）{F[I]=0}否则{F[I]=rnorm 1]X[I]=X[I]=X[I]=X[I]=X[I]=1000+400}-30-20-10 0 10 20 30复合泊松过程图3：λ=100和标准正态跳跃分布的复合泊松过程的样本路径。请注意，功能PPgen是以前所必需的。默顿模型：假设log返回由默顿模型确定的Lare；标准布朗运动（带漂移）和跳跃为正态分布的复合泊松过程之和（[22]）。然后ξi~ i的正常值（μξ，σξ）≥ 三重态为（u，σ，λ×ηξ）。正如预期的那样，密度η在分析上是不可控的。密度ηξ由ηξ（x）给出=√2πσξe-（十）-uξ)/2σξ.

（3.8）正则分解由Lt=ut+σWt+NtXi=1ξi（3.9）给出，其特征指数的形式为ψ（u）=σu- iuu+λ（1- eiuξ-σξu/2）。（3.10）可通过以下方式获得的（3.10）可通过以下方式获得：Merton（3.10）可通过以下方式获得：Merton（3.10）可通过：Merton（3.10）可通过：Merton（3.10）可通过：Merton（3.10）可通过：Merton（1+a）可通过（1.1）可通过（1.1）可（1.1.1.1）可通过（1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1（1）可通过（1.1.1）可通过（1.1.1）可通过（1.1）可通过（1.5.5.5.5）b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*b*=rep（0，N）X[1]=0for（1:N中的I）{I[I]=PPgen（h*lambda）如果（I[I]=0{F[I]=0}其他{F[I]=mu_xi*I[I]+sqrt（sigma_xi）*sqrt（I[I]）*rnorm（1）}X[I+1]=X[I]+mu h+sigma*sqrt（h）*rnorm 1+F[I]}返回（X）}请注意，函数PPgen是从前面开始需要的。0 200 400 600 800 10000 200 400 600 800 1000默顿过程驱动的资产价格TimeAsset price图4：由u=0.5、σ=0.75和λ=1.5的默顿过程驱动的资产的样本路径。Kou模型：假设log返回由Kou模型确定的Lare；标准布朗运动（带漂移）和复合泊松过程之和，其跳跃为双指数分布（[16]）。然后ξi~ i的DExp（p，θ，θ）≥ 三重态为（u，σ，λ×ηξ）。再一次，密度η在分析上是不可控的。密度ηξ由ηξ（x）=pθe给出-θx{x<0}+（1）- p） θeθx{x>0}。（3.11）正则分解由Lt=ut+σWt+NtXi=1ξi（3.12）给出，其特征指数的形式为ψ（u）=σu- iuu+λ1 +(1 - p） θ+iu-pθ- iu.

（3.13）可通过以下方式获得的：（3.13）可通过以下方式获得的：（3.13）可通过以下方式获得的：（3.13）可通过以下方式获得的：（3.13）可通过以下方式获得的：（3.13）可通过以下方式获得：考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考考）return（phi）}随机变量可以通过调用来模拟资产的路径：注意功能PPgen是以前需要的。2.T，N）N）N）N（h=T=T=T=T=T=T=T=T）N）N（0:T）/NX=rep（0，N+1）F（0，N+1）F=rep（0，N+1）F=rep（0，N+1）N）1）N）1）1）N）1）1）N）1）1）1）1）I（0（0（0，N）1）1）X（1）X（1）X（1）X（1）X（1）1）X（1）1）X（1）1）1）1）X（1）1）1）1（1）1）1）1（1）1）0（1）0（1）0（1）0（1）0（1）0（1）0（1）X（1）0（1）为（1）为（1）为（1）为（1）为（1）为（I（1）为[I]=R1-R2}X[I+1]=X[I]+mu*h+sigma*sqrt（h）*rnorm（1）+F[I]}返回（X）}0 200 400 600 800 10000 100 300 400由Kou驱动的资产价格processTimeAsset价格图5：由μ=0.5、σ=0.75、λ=1.5、p=0.5、θ=0.25和θ=0.25的过程驱动的资产的样本路径。跳跃扩散模型由具有非零扩散成分和有限跳跃的过程生成。由于σ>0和ν（dx）<∞. 相反，如果σ=0，而ν（dy）=∞, 我们得到了一类有限活动纯跳跃模型。近年来提出的大多数资产定价模型都属于这种类型。方差伽马过程：假设log返回由方差伽马过程（[18]，[21]）确定的Lare。方差伽马过程可以通过计算标准布朗运动的漂移来获得，在时间变量中服从伽马过程。设u，σ，v>0C=v>0（3.14）G=ruv+σv-uv-1> 0（3.15）米=ruv+σv+uv-1> 0. （3.16）定义γ=CMGM（e）-G- 1) - G（e）-M- 1)和，νvg（dx）=CeG | x | x|-1x<0dx+Ce-Mxx-1x>0dx（3.17）三重态变成（γ，0，νvg）。密度η是不可分析的（第4页，rathgeber，stadler，stockl）。