非凸偏好市场的最优风险分配

考虑一个划分序列∑k={αk=0<αk<…，αkk<αkk+1=1}，k=1，2。。。[0，1]的∑k ∑k+1和网格（∑k）→ 0.根据定理6.8。在Delbaen（2000）中，对于givenX，有一致的风险度量ki，i=1，k以至于基≥ VaRαkiandki（X）=VaRαki（X）。定义以下映射：∞:Vk（Y）=kXi=0（Φ（αki+1）- Φ（αki））VaRαki（Y）和k（Y）=kXi=0（Φ（αki+1）- Φ（αki））基（Y）。定义一致的风险度量 像（Y）=林苏普k（Y），Y∈ L∞.很明显 是σ（L）∞, 五十） -L.s.c.自K≥ Vkandk（X）=Vk（X），通过使用整数的定义，结果表明 ≥ Φ和（十） =Φ（X）。现在，让我们假设X∈ Lp。设∑是所有有限sigma代数的集合Ohm. 例如，∑是一个有向集。对于任何G∈∑letGbe aσ（L）∞, 五十） L.s.一致性风险度量占主导地位L上的Φ∞和Φ（E（X | G））=G（E（X | G））。允许（Y）=lim supGG（E（Y | G）），Y∈ Lp。注意，对于任何Z∈ 五十、 如果Yk→Lp中的Y弱，E（ZE（Yk | G））=E（E（Z | G）Yk）→ E（E（Z | G）Y）=E（ZE（Y | G））。因此，每个函数都是y7→ G（E（Y | G））是Lplower半连续的。这意味着 也是半连续的。另一方面，对于任何人来说∈ Lp，网络{YG=E（Y | G）}gc在Lp中收敛，因此在分布上收敛于Y。这意味着函数序列{t7→ VaRt（E（Y | G））}Gconverges指向函数t7→ 瓦特（Y）。假设X在下面有界，通过使用网络的法图引理，我们得到了Φ（Y）=^VaRt（Y）dΦ（t）≤ lim infG^VaRt（YG）dΦ（t）=lim infGΦ（YG）≤ lim infGG（E（Y | G））≤ 林素福G（E（Y | G））=（Y）通过与上述类似的论证，我们可以证明，如果我们不使用Fatou引理，而是使用支配收敛定理，以及Φ是连续的，我们有Φ（X）=（十） 。下面的定理几乎是前一个定理和定理2的直接结果。定理4。

允许, ..., nbe n Lp持续侵权风险度量，λ。。。，λn，本正数和M。。。，mnn是闭凸锥。让我们用∧Miithe所有泛函的集合Mii=▄i+χMi，其中√iis是大于或等于i、 i=1。。。，n、 如果Xis在下面有界，则以下关于分配（X，…，Xn）的语句∈ A hold1。如果（X，…，Xn）是问题（6）的最优分配Mλn~Mnn）∈∧M×。。。x∧Mn，那么它对于（λ）是最优的MλnMn）2。如果（X，…，Xn）对任何（λ)都不是最优的Mλn~Mnn）∈ ∧M×。。。×∧Mn，则它不是（λ）的最佳值MλnMn）3。如果（X，…，Xn）是（λ）的最优分配Mλn然后就存在了∈ 那么λiMi（Xi）=E（XiY），i=1。。。，n、 备注2。从定价的角度来看，在前面定理的第三个陈述中，Y可以解释为“广义随机贴现因子”。有关随机贴现因子集与最优风险分配之间关系的进一步阅读，请参见菲利波维奇和库珀（2008a）。在下面的定理中，我们研究了渐近最优分配的存在性。定理5。允许, ..., nbe n变形风险测量，每个i=1，。。。，n、 让∧注意所有一致风险度量的集合我≥ i、 如果总风险由M确定∈ R、 （8）当且仅当∩iλi~i6= 对所有人来说, ..., ~n）∈ Λ× .... ×∧n.证明。根据定理3infX++Xn=Xλ（十） +…+λnn（Xn）=infX++Xn=X最小值∈Λλ~（十） +…+最小值N∈λnλn∧n（Xn）= inf（~,..., ~n）∈Λ×....×∧ninfX++Xn=Xλ~（十） +…+λn~n（Xn）= inf（~,..., ~n）∈Λ×....×∧nsupY∈∩iλi~iE（YX）。（9） 很明显，如果（9）中的最大值是有界的，那么所有交点都是有界的∩iλi~i、 对所有人来说, ..., ~n）∈ Λ× .... x∧n，为非空。另一方面，自从Y∈ ~i、 i=1。。。，n、 Y≥ 0，E（Y）=1和X≥ M、 我们有E（yx）≥ -|M |。

这意味着如果所有的十字路口∩iλi~i、 对所有人来说, ..., ~n）∈ Λ×.... ×∧n为非空，则（9）的右侧以-|M | maxiλi，因此，（9）是有界的。现在我们有下面的推论集合1。问题（8）的有界性与总风险无关。推论2。为了X≥ 0，（8）有一个解当且仅当λ=…=λnand∩我~i6=.例1。允许= VaRα和= E、 让我们假设任意的随机损失。根据定理5，最优风险分配问题（8）在P∈ ~对于任何一致的风险度量 ≥ VaRα。另一方面，根据定理3，对于任何X∈ Lp，VaRα（X）=（十） 对于一些连贯的风险度量√ ≥ VaRα。这意味着VaRα（X）≥ E（X），对于任何X∈ Lp。如果我们对某些集合A选择X=1，这个不等式显然不成立∈ F这0<P（A）<1-α.定理4和定理5可以被认为是文献中许多现有文献的推广，它们的结果只能应用于一致的风险度量，在我们的设置中是使用单态集∧i={i} )；参见Jo uini等人（2008）、Filipovi\'c和Kupper（2008a）以及Filipovi\'c和Kupper（2008b）3.2共同单调分配和可容许分配。关于我们对道德风险的讨论，在本节中，我们假设市场中的所有合同都是共同单调的。为了将这一经济假设建立在合理的数学基础上，我们假设所有合同都是总风险的非减损函数。因此，在这样一个市场中，假设任何分配（X1，…，Xn）等于to（f（X）。。。，fn（X））当f。。。，Fnn是非负且非递减的函数，使得f+…+fn=id。我们引入分配集asC=nf∈ L+（R+）f是非减量的，f（0）=0o。可容许分配集asAC={（f，…，fn）∈ Cn | f+。。。。

+fn=id}。AC是p的Lp（R）的闭凸弱紧集∈ [1, ∞). 另一方面，很容易看出任何分量fi都是一阶Lipschitz函数，即0≤ fi（y）- fi（x）≤ Y- x、 为了0≤ 十、≤ y、 事实上，检查n=2就足够了。在本文中，我们关注由ACAA={（f（X），…，fn（X））|（f，…，fn）引起的分配集∈ AC}。Filipovi\'c和Svindland（2008）证明了对于一组n定律和现金不变凸函数, ..., n、 （X，…，Xn）到（6）的任何溶液都是co-to-monone。特别是，这意味着在一个具有凸扭曲风险的市场中，最优配置是自动从AC获得的。这不再适用于以下示例中所示的一般情况。例2。让我们假设= Varα，= varβ，X>0，a.s.，α+β>1和0<α<β<1。假设Xis是一个随机变量，具有严格递增且连续的CDF函数FX。因为在这个例子中n=2，我们可以假设有一个函数f，使得f和id- f是非负的，非递减的，f=f和f=id- F我们必须证明以下lemmaLemma 1。这里有一个正数c>0，这样对于上面描述的任何函数f，下面的不等式保持VaRα（f（X））+VaRβ（X- f（X））>c+VaRα+β-1（X）。证据众所周知，风险价值可以通过非递减函数进行折算，因此，VaRα（f（X））=f（VaRα（X）），VaRβ（X- f（X））=VaRβ（X）- f（VaRβ（X））。FX，α<β和α+β的严格单调性- 1<αimplyVaRα（f（X））+VaRβ（X- f（X））=f（VaRα（X））+VaRβ（X）- f（VaRβ（X））≥ VaRβ（X）+（VaRα（X）- VaRβ（X））=VaRα（X）>c+VaRα+β-1（X），其中c=VaRα（X）-VaRα+β-1（X）。引理的结果是，t不存在可容许的分配，它可以达到VaRα+β的值-1（X）。现在让我们考虑分配X=X{X>VaRα（X）}。很明显，P（X>0）=1- α、 这意味着VaRα（X）=0。

另一方面，P（X>X）=P（X>X&VaRα（X）≥ 十） =P（X）≤ Va Rα（X））- P（X）≤ x） =α- FX（x）。这仅仅意味着FX（x）=1+FX（x）- α、 因此VaRβ（X）=VaRα+β-1（X）。因此，我们有VaRα（X）+VaRβ（X）=VaRα+β-1（X）。分配（X，X）是道德风险状况的一个例子，代理人2对巨大的总损失不敏感。这个例子说明了为什么在一个具有非凸信念的市场中，我们必须进一步假设不存在道德风险。备注3。请注意，如果市场上的所有代理都使用相同的风险度量, 利用VaR与非递减函数交换的事实，我们得到（f（X））+…+（fn（X））=（十） ,，（f，…，fn）∈ AC.这意味着，无论药物使用何种配置，只要不存在口腔风险，系统风险的价值保持不变。如果监管机构对所有代理（例如sameVaR0）实施独特的风险度量，则可能会发生这种情况。995与Solvency II一样，用于衡量资本准备金。3.3边际风险分配众所周知，每个Lipschitz连续函数f几乎处处可微，其导数本质上受其Lipschitz常数的限制。此外，f可以写成其导数的积分，即f（x）='xh（t）dt。因此，集合C可以表示为asC=F∈ L（R+）f（x）=^xh（t）dt，0≤ H≤ 1..让我们介绍一下边际风险分配的空间asD=nh∈ L（R+）0≤ H≤ 1o。定义3。对于任何函数f∈ C、 相关的边缘磁盘分配是一个函数h∈ D使得f（x）=^xh（t）dt，x≥ 0.市场风险分配的解释如下：如果f（x）='xh（t）dtis in C，那么在每个值x=x时，总风险值的市场变化δ将导致分配风险中的大小δh（x）的边际变化。我们将在下面看到，这个边际变化是0或δ，即h=0或1。

这意味着，对于总风险的任何微小变化，只有一个代理必须承受风险的变化。3.4协单调最优风险分配在本节中，我们假设X≥ 0和FX（0）=0。此外，我们将注意力限制在满足以下条件的一系列失真风险度量上：→∞i（X）∧ m） =i（X），i=1。。。，n、 （10）设ψ（t）=min{λ（1）- Φ（t））。。。，λn（1）- Φn（t））}。假设k*i、 i=1。。。，n是一组函数*i（t）=1，如果λi（1）- Φi（t））<λj（1）- Φj（t））I6=j0，如果λi（1- Φi（t））>λj（1）- Φj（t））i 6=j，（11）式中也有k*+ ... + K*n=1。这里我们陈述这一部分定理6的主要结果。如果, ..., nsatisfy（10），优化问题（8）的协单调解由Xi=f给出*i（X）当*i（x）=^xk*i（VaRt（X））dt，i=1。。。，n、 （12）此外，最小值由^给出∞ψ（s）ds。（13） 证据。允许i=VaRt（X）dΦi（t），i=1。。。，n、 对于集合AC中的任何成员（f，…，fn），利用VaR总是与非递减函数交换的事实，我们得到λ（f（X））+…+λnn（fn（X））=λVaRt（f（X））dΦ（t）++^λnVaRt（X））dΦn（t）=^λf（VaRt（X））dΦ（t）++λnfn（VaRt（X））dΦn（t）。（14） 让我们表示f的导数。。。，fnby h。。。。，嗯。因此λ（f（X））+…+λnn（fn（X））=^^VaRt（X）λh（s）ds！dΦ（t）++^^VaRt（X）λnhn（s）ds！dΦn（t）。首先，我们假设Xis是有界的。根据Fubini定理，我们得到λ（f（X））+…+λnn（fn（X））=^∞^FX（s）λdΦ（t）！h（s）+…+^FX（s）λndΦn（t）！hn（s）#ds=∞[λ(1 - Φ（FX（s））h（s）+λn（1）- Φn（FX（s）））hn（s）]ds（15），其中我们使用Φ（1）=Φn（1）=1。现在很清楚，以下内容（h*, ..., H*n） 将最小化（15）小时*一(s)=1，如果λi（1）- Φi（FX（s））<λj（1）- Φj（FX（s）），如果λi（1），则i6=j0- Φi（FX（s））>λj（1）- Φj（FX（s）），i6=j（16），其中也有h*+ ... + H*n=1。最小值也等于^∞ψ（s）ds。

（17） 如果我们对变量t=FX（s）做一个简单的改变，我们就会得到结果。现在假设Xis没有t有界的一般情况。很明显，在每个点t，对于1和n之间的每一个i，{Φio 外汇∧m（t）}∞m=1相对于m是不增加的。另一方面，对于任何t，都存在这样的m，如果m>mtthen FX∧m（t）=FX（t）。因此，在每个点t，我们有Φi（FX∧m（t））↓Φi（FX（t））。通过单调收敛定理，我们得到了thatlimm→∞∞^Φi（外汇）∧m（t））h（t）dt=∞Φi（FX（t））h（t）dt，对于任何函数h∈ D.利用这一事实和我们的连续性假设i（f（X））=limm→∞i（f（X）∧ f（m））=limm→∞i（f（X）∧ m） ）=limm→∞^∞(1 - Φi（FX）∧m（s）））h（s）ds=^∞(1 - Φi（FX（s））h（s）d这只会导致λ（f（X））+…+λnn（fn（X））=^∞[λ(1 - Φ（FX（s））h（s）+λn（1）- Φn（FX（s）））hn（s）]d其余的证明在（15）后面的同一行。备注4。从最后一个定理可以看出，k*i、 i=1。。。，n仅取决于市场偏好，因此，它们具有普遍性。从（12）可以看出，总风险和市场偏好的作用是如何分离的。备注5。定理6表明，边际风险分配只取0或1。在精算数学文献中有一些类似的结果，可以证明这一点，例如在非常特殊的情况下；参见蔡等人（2008）、张（2010）、池（2012b）、池（2012a）、池和谭（2013）、张等人（2014）以及最近的阿萨（2015）。定理6可以从两个不同的方面扩展所有这些工作。首先，我们使用了一个更大的风险度量和溢价家族（扭曲风险度量和溢价），其中包括几乎所有的风险度量，如VaR和CVaR，以及风险溢价，如Wang的溢价，由他们使用。

第二，我们的工作可以将参与者的数量从两个（保险公司和再保险公司）增加到n个，否则，使用现有文献中的技术要么不可能，要么至少很难做到。推论3。如果λ=…=λn ...  n=Φ=max{Φ，…，Φn}时的Φ。例3。让我们考虑一下我们讨论的例子。让我们考虑一下，有两家公司在使用= VaRα和= VaRβ，其中α<β。很明显，因为α<β一个溶液是h=1和h=0，并且（十） =VaRα（X）。利益冲突：作者声明他没有利益冲突。参考ACCIAIO，B.（2007年）。非单调货币函数的最优风险分担。金融斯托奇。11 (2), 267–289.阿塞尔比，C.（20 02）。风险的光谱度量：主观风险厌恶的连贯表示。《银行与财务杂志》26（7），15 05–1518。阿拉斯·M.（1953）。一般经济均衡理论和风险社会均衡理论的延伸。《计量经济学》21（2），第269-290页。阿罗，K.J.（1964年）。证券在风险承担的最优配置中的作用。经济研究综述31（2），91-96。Artzner，P.，F.Delbaen，J.-M.Eber和D.Heath（1999年）。一致的风险度量。数学财务。阿萨·H.（2015）。具有扭曲风险测度和保费的最优再保险策略。保险：数学和经济学61（0），70-75。Barrieu，P.和N.El Karoui（2004年）。动态风险度量下的最优衍生品设计。在《金融数学》中，康坦普出版社第351卷。数学第13-25页。艾默尔。数学Soc。，普罗维登斯，R I.博尔奇，K.（1960）。试图确定止损再保险的最佳金额。第16届国际精算师大会论文集I（3），5 97–610。蔡，J.，谭K.S.，翁C.和张Y（2008）。VAR和CTE风险度量下的最优再保险。保险数学。生态名词。

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