非凸偏好市场的最优风险分配

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英文标题：
《Optimal risk allocation in a market with non-convex preferences》
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作者：
Hirbod Assa
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The aims of this study are twofold. First, we consider an optimal risk allocation problem with non-convex preferences. By establishing an infimal representation for distortion risk measures, we give some necessary and sufficient conditions for the existence of optimal and asymptotic optimal allocations. We will show that, similar to a market with convex preferences, in a non-convex framework with distortion risk measures the boundedness of the optimal risk allocation problem depends only on the preferences. Second, we consider the same optimal allocation problem by adding a further assumption that allocations are co-monotone. We characterize the co-monotone optimal risk allocations within which we prove the \"marginal risk allocations\" take only the values zero or one. Remarkably, we can separate the role of the market preferences and the total risk in our representation.
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中文摘要：
本研究的目的有两个。首先，我们考虑一个具有非凸偏好的最优风险分配问题。通过建立失真风险测度的一个弱表示，我们给出了最优和渐近最优配置存在的一些充要条件。我们将证明，与具有凸偏好的市场类似，在具有扭曲风险度量的非凸框架中，最优风险分配问题的有界性仅取决于偏好。第二，我们考虑同样的最优分配问题，进一步假设分配是协单调的。我们刻画了协单调最优风险分配，证明了“边际风险分配”只取0或1。值得注意的是，我们可以将市场偏好的作用与我们代表的总风险分开。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Optimal_risk_allocation_in_a_market_with_non-convex_preferences.pdf (217.46 KB)

2022-5-7 22:19:03 上传

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关键词：Presentation Applications establishing Quantitative Preferences

非凸偏好市场的最优风险分配*利物浦大学摘要本研究的目的有两个。首先，我们考虑一个具有非凸偏好的最优风险分配问题。通过建立失真风险度量的非理想表示，我们给出了存在最优和渐近最优配置的一些必要和充分条件。我们将证明，与具有凸偏好的市场类似，在具有扭曲风险度量的非凸框架中，最优风险分配问题的有界性仅取决于偏好。其次，我们考虑了同样的最优分配问题，进一步假设分配是协单调的。我们刻画了协单调最优风险分配，证明了“边际风险分配”只取一个或多个值。值得注意的是，我们可以在我们的代表中分离市场偏好和总风险的作用。1导言由于最优风险分配是许多金融和保险应用的核心，因此人们对该问题非常感兴趣。最优风险分担、最优资本配置、市场均衡理论、最优再保险设计和最优风险交换只是几个例子。这个问题可以追溯到50年代和60年代，当时阿拉斯（1953年）、阿罗（1964年）、夏普（1964年）、博尔赫（1960年）、莫辛（1966年）和许多其他人研究了不同风险的最佳风险分配*通讯地址：金融与精算数学研究所。利物浦大学。英国。电子邮件：assa@liverpool.ac.ukeconomic问题。此后，研究人员开始根据各种假设进一步阐述这个问题的各个方面。

通过风险度量的发展及其在金融和保险领域的应用，通过使用Artzner等人（1999年）、F¨ollmer和Schied（20 02年）的一致风险度量以及Rockafellar等人（2006年）的风险偏差度量，重新探讨了最优风险分配问题。Heath和Ku（2004）首次尝试在一个具有一致风险度量的环境中研究该问题，其中作者建立了帕累托最优配置存在的必要和充分条件。Barrieu和El Karoui（2004年）认为动态环境中存在风险分担问题，而Jouini等人（2008年）认为静态框架具有法律不变的风险度量。菲利波维奇和库珀（208a）从定价的角度研究了最优风险分配问题，而菲利波维奇和库珀（2008b）则考虑了最优资本分配问题。Acciaio（20 07）研究了一个非单调货币效用的共享池风险问题。虽然人们对凸偏好下的最优风险分配问题进行了广泛的研究，但使用非凸框架的研究相对较少，而在许多应用中，偏好不是凸的，现有设置的结果无法应用于它们。这主要是由于缺乏适当的数学技术来研究具有非凸偏好的模型。在本文中，通过建立失真风险度量的一个非理想表示，我们找到了一种新的方法来研究具有非凸参考的最优风险分配问题。我们证明了最优风险分配问题的有界性与总风险无关，只取决于市场偏好。

我们选择的方法是面向财务的方法，有助于定义非凸偏好的广义随机贴现因子（见下文R标记2）。我们的结果推广了Jo uini等人（2008年）、Filipovi\'c和Kupper（2008a）以及Filipovi\'c和Kupper（2008b）的结果，通过使用非凸风险度量来实现一个新的方向。这是本文的第一部分。在第二部分中，我们在假设风险分配是协单调的前提下，刻画了同一市场上的最优风险分配。这种假设可以解释为风险的共同化，它与道德风险密切相关。有趣的是，我们发现，在具有失真风险度量的环境中，最优风险分配完全符合这一假设。Enfipovi`c和Svindland（2008）表明，具有凸失真风险测度的一般市场风险分配问题的解是协单调的，因此排除了道德风险。然而，我们将在一个例子中看到，为了避免道德风险，分配必须增加市场风险。当代理使用非凸失真风险度量时，情况就更糟了。这就是为什么我们必须假设分配是协单调的。为了刻画协单调最优解，我们引入了“边际风险分配”。当我们稍微改变总风险的价值时，合同价值的边际变化率就是总风险的边际变化率。研究表明，在一个风险配置为协单调的市场中，边际风险配置只取一个或多个值。通过这种方式，我们可以在最优风险分配中显著分离市场偏好和总风险的作用。

我们的研究结果在Chateauneuf等人（2000年）中发现了最优分配的新特征，使我们能够更精确地解释最优分配，并在优化再保险设计等领域找到进一步的应用。本文从两个方面概括了有关再保险设计的文献。首先，我们使用了一个更大的（非凸）风险度量和保费家族，其次，我们将层的数量从两个增加到了n个（例如，见蔡等人（2008）、张（2010）、池（2012b）、池（2012a）、池和谭（2013）、张等人（2014）和阿萨（2015））。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了所需的概念和符号，并回顾了凸分析中的一些事实。在第3节中，首先，我们建立了主要问题，其次，我们讨论了一般解存在的一些必要条件和充分条件，第三，我们刻画了共单调最优解。2.序言和注释通过本文，我们将定义一个概率空间(Ohm, F、 P），其中F是σ代数，P是F上的概率测度∈ [1, ∞] 可以是两个1/p+1/q=1的数字。对于P6=∞, Lp表示r真值随机变量X的空间Ohm 使E（|X | p）<∞, 其中E代表数学期望值。回想一下，根据Riesz表示定理，当P6=∞. 我们赋予空间lp两种拓扑，第一种是由kxkp=E（|X | p）p导出的范数拓扑，第二种是由Lqi导出的polog y的弱拓扑。e、 LQA的所有成员都是连续的最连续拓扑。通常，横向拓扑用σ（Lp，Lq）表示。在本文中，我们认为LPT代表所有损失变量的空间。

我们只有两个时间段0和T，分别代表合同签订时的年初和债务结算时的年末。与考虑利润变量的财务文献不同，我们发现损失变量更便于处理。每个随机变量代表时间T的损失。每当我们谈论风险或溢价时，我们指的是T=0时的损失和溢价的现值。2.1畸变风险度量letΦ：[0，1]→ [0，1]是一个非递减的c\'adl\'ag函数，使得Φ（0）=1- Φ(1) = 0. Φ可以在[0,1]上引入一个度量，其在区间上的值为mΦ[a，b）=Φ（b）- Φ（a）和mΦ（b）=1- 利马↑1（a）。介绍setDΦ，如下所示=十、∈ L|^VaRt（X）dΦ（t）∈ R, （1） 其中，上面的积分是勒贝格积分，Varα（X）=inf{X∈ R | P（X>X）≤ 1.- α }, α ∈ [0, 1].定义1。失真风险度量Φ（或简单地说) DΦtoR的映射定义为Φ（X）=^VaRt（X）dΦ（t），（2）如果我们让g（X）：=1- Φ(1 - x） 可以看出Φ（X）=^-∞（g（SX（t））- 1） dt+∞^g（SX（t））dt，（3）其中SX=1- FX是与X相关的生存函数。请注意，我们可以 通过使用无变形Φ. 这是风险度量的Choquet积分代表。在光学中，g被称为畸变函数。例如，风险价值（VaR），其失真函数由g（t）=[1]决定-α、 1]（t）为1级置信度- α. 它可以显式地表示为varα（X）=inf{X∈ R | P（X>X）≤ 1.- α}.失真风险度量的另一个例子是条件风险值（CVaR），当Φ（t）=t时-α1-α[α，1]（t），可以用VaRCVaRα（x）=1表示- α^αVaRt（X）dt。（4） Acerbi（2002）首次引入的光谱风险度量族是Φ为凸时的失真风险。备注1。

这一点显而易见Φ是定律不变的，也就是说，如果X和X′是同分布的，那么Φ（X）=Φ（X′）。事实上，可以证明所有的律不变的共单调加性相干风险测度都可以表示为（2）；见Kusuoka（2001年）。从不同的角度来看，表（2）中的风险度量很重要。首先，它将风险度量理论与行为金融联系起来，因为形式（2）是扭曲效用的一种特殊形式。第二，（2）包含一系列在统计上稳健的风险度量。Cont等人（2010年）的研究表明，风险度量（x） =\'\'VaRt（x）dΦ（t）在且仅当φ=dΦ（t）dt的支撑远离0或1时是稳健的。例如，RiskValue是一个具有此属性的风险度量。扭曲效用在决策文献中变得越来越重要，因为它们考虑了一些已知的行为悖论，如风险下的阿拉斯悖论和不确定性下的埃尔斯伯格悖论。Schmeidler（1989）（在不确定性下）和Quigg（1982）以及Yaa ri（1984），Yaari（198 6）（在r isk下）通过假设共同单调独立性，根据允许畸变积分表示的效用，显示偏好。值得一提的是，扭曲积分在保险文献中已变得非常普遍，因为它们是重要保险风险保费的自然延伸，如比例风险保费原则、王的保费原则和净保费原则（见王等人（1997）和杨（2006））。最后，我们定义了一致的风险度量定义2。一致的风险度量 是从LPR到LPR的下半连续映射（下半连续的定义见下文）∪ {+∞} 这样的事是不可能的。（λX）=λ（十） ，对于所有λ>0和X∈ Lp；2.（X+c）=（十） +c代表所有X∈ Lpand c∈ R3.

（十）≤ （Y），对于所有X，Y∈ Lpand X≤ Y4.（X+Y）≤ （十） +（Y），十、 Y∈ Lp；正如人们所看到的，一致的风险度量是正的。正如我们将在下一节中看到的，有一个封闭的凸子集 Lq，这样（十） =supY∈E（yx）。任何人都可以证明这一点∈ , 我们有E（Y）=1和Y≥ 0.φ是Φ的一般导数。一般l中的风险度量在l中不需要是低半连续的∞, 然而，为了与Lp一致，我们增加了P6=∞.2.2凸分析中的一些事实我们回顾了凸分析中的一些相关讨论。回顾凸分析，对于任何凸函数φ，由dom（φ）表示的φ的域等于{X∈ Lp|φ（X）<∞}, φ的对偶，用φ表示*, 定义为φ*（Y）=supX∈LpE（XY）- φ（X）。凸函数称为下半连续fφ=φ**. 本文假设所有凸函数都是下半连续的。对于凸集C Lp，C的指示函数用χC表示，如果X等于0∈ C、 及+∞ , 否则通过使用适当的指示器功能，可以合并任何类型的凸约束。设C是一个闭凸集，表示φ上的凸约束。通过在约束C中引入φC=φ+χCwe，注意φ是凸函数。对于任意正何母凸函数φletφ={Y∈ Lq | E（Y X）≤ φ（X），十、∈ Lp}。很容易看出这一点*= χφ. 因此，任何正的同态函数φ都可以表示为φ（X）=supY∈φE（yx）。通过使用这个和thatφ=φ**, 很容易看出，对于任何凸集C，χ*C（Y）=supX∈CE（yx）。

因此，如果Cis是凸锥且φ是正齐次凸函数，那么φC（X）=supY∈φ+C⊥E（yx），其中C⊥= {Y∈ Lq；E（Y X）≤ 0 , 十、∈ C} （或φC= + C⊥).一个特别有趣的例子是当C⊥= Lq-.对于一组凸函数φ。。。，φn它们的理想卷积定义为sφ...φn（X）=infX++Xn=Xφ（X）+…+φn（Xn）。（5） 在Rockafellar（1997）定理5.4和16.4中，证明了（φ...φn）*= φ*+...+φ*n、 通过使用上述参数，我们可以很容易地看到，如果φ。。。，φnare正均质性然后φ...φn（X）=supY∈∩我φiE（yx）。作为一个定理1。非理想卷积的最小值是有界的当且仅当∩我φi6=.另一个经典结果是定理2。假设φ。。。，φnare n正齐次凸函数。以下两个陈述是等式1。（X，…，Xn）是X的最优分配，即X++Xn=X和φ（X）+…+φn（Xn）=φ...φn（X）；2.存在不确定性∈ 这样φi（Xi）=E（Y Xi），i=1。。。，n、 有关证据，请参见Jouini等人（2008）。让我。。。，mnn是Lp的n个凸闭元子集，代表了agent 1到n在经济中面临的n个约束。然后，通过在上面用φMi替换φI，我们可以考虑同样的设置，该设置也包含了问题中的经济约束。最后，正的错误卷积表示为 ... nas被定义为 ...  n（X）=infX++Xn=X，Xi≥0，i=1，。。。，nφ（X）+…+φn（Xn）。3问题集让我们假设市场上有n个不同的代理人，他们的偏好取决于n个失真风险度量, . . . , n、 我们用Φ1表示关联核，。。。，Φn.整个市场的风险由损失变量X建模。由a表示的配置集定义为a={（X，…，Xn）∈ （Lp）n | X+。。。

+Xn=X}。最优分配是将总风险降至最低的分配+Xn=X（十） +…+n（Xn），（6）渐近最优分配是序列{（Xm，…，Xmn）}m=1,2，。。。 A、 诸如此类（Xm）+…+n（Xmn）m→ ∞-----→infX++Xn=X（十） +…+n（Xn）。（7） 显然，渐近最优分配的存在性等价于（6）的有界性。为了进一步发展现有环境，我们必须考虑一个更广泛的问题inf（X1，…，Xn）∈λ（十） +…+λnn（Xn），（8）当（λ，…，λn）是一组任意正数时。例如，在代理效用为-i、 i=1。。。，n、 是解决这个问题的方法。我们将看到，如果市场上没有摩擦，那么对于任何一套连贯的风险措施, ..., n、 λi应该相等。另一方面，在（再）保险研究中，人们可以发现一个风险分担问题，其组成部分非常相似；是一种风险度量，衡量分包公司的glo bal风险，以及是一个风险溢价函数，为再保险合同定价。在这个问题中，λ=1和λ=1+ρ是一个相对安全的加载参数（f或更多细节见下面的示例）。3.1一般解决方案本节中的方法是将风险分配问题简化为一个内部问题，该问题可以通过文献中的现有结果来解决。尽管失真风险的一般形式不是一致的风险度量，但由于以下陈述，我们可以使用凸分析方法进行研究（8）。定理3。（失真风险的错误描述）让Φ（X）=^VaRs（X）dΦ（s），用于定义1中的非d衰减函数Φ。如果Φ是Lpcontinuous，X在下面有界，我们有以下等式Φ（X）=min{（十） |对于所有l.s.c.一致性风险措施 以至于 ≥ Φ}.证据首先，我们证明了p=∞.