具有股价相关阈值条件的权证定价

S（m+m′）-1，t+m′+1）>SW（m+m′+1，t+m′+1）。因此，如果在m′上升后，股票价格将超过L，并且L>SW（m+m′+1，t+m′+1）（3.8）成立，这仍然意味着股票价格不可能是鞅。设m′为t+m′+1=t。我们看到了SWL（m+m′，T-1) ≥ Lmeans-SWL（t）不可能是鞅，但如果SWL（m+m′，t）是鞅，我们会得出相同的结论-1） <L.在这种情况下，不满足运动条件，且SWL（T）=S（T），但假设≥ 1、（3.9）回顾在获得行权后，股票价格应与传统认股权证的存在相对应。具有阈值条件的认股权证9we获得SWL（m+m′）-1，T=S（m+m′）-1，T）m def>L（3.8）>SWL（m+m′，T-1） 自SWL（τ，T-1） <SWL（τ）-1，T），我们得出结论，股票价格不可能是鞅。这意味着市场模式允许套利。让我们回顾并检查导致我们得出该结论的假设（3.4）-（3.9）。请注意，所有假设都适用于充分的离散化。描述一个假设成立的市场模型相当容易，只需要很小的时间步（例如，见图3）。（3.6）的有效性非常重要，我们将看到在合理的市场参数情况下，不平等性需要多少离散时间步才能保持。回想一下，m是上升次数的最小值，其X·UmN>L或相当于m>ln（ln/X）ln（U）。它可以写成：m=ln（ln/X）ln（U）+NN∈ [0,1），m∈ N.使用公式logbc=logaclogab，我们可以写出m=logULNX+ nandX·Um=X·LNX·UN= 在你n、 （3.10）用（3.6）的两边乘以n+M，我们得到n+MN·XUm·D>XUm·U+Dt+1，T·MK。用（3.10）代换，我们得到（n+M）·LUn·D>LNUn·U+Dt+1，T·MK，| U（n+M）·LUn> 在你n·U+Dt+1，T·MKU，|：Un（n+M）·L>LN·U+Dt+1，T·MKU1-n、 |：LN+M>n·U+Dt+1，T·KL·MU1-n、 注意n·U+Dt+1，T·KL·MU>n·U+Dt+1，T·KL·MU1-n、 数学。模型

肛门。，X（X）：120XX年1月14日。10 A.Olvik和R.KangroIf认为下列不等式成立：N+M>U·（N+Dt+1，T·M·KL）<==> U<N+MN+M·KL·Dt+1，T，则（3.6）也成立。对于上升率，我们将使用Coxet al.在[4]中给出的表达式：U=eσ√T/n，（3.11），其中n是离散时间步数。我们得出结论（3.7）支持ifn>T自然对数N+MN+M·KL·Dt+1，T2σ. （3.12）例如，对于市场参数X（0）=1000，N=1 0，M=4，L=19 0，K=95，T=5，σ=0.4，r=0，如果N>134，不等式成立。总之，我们已经看到，鞅性质的缺失表现为大量的离散时间步。4.门槛认股权证的一致性定价从侧面来说，我们希望门槛认股权证的定价模型与套利定价原则以及[7,9]和许多其他论文中提出的普通货币的相应定价理论一致。不幸的是，正如我们在本文中所展示的，这是不可能的，因为错误的股票价格过程不可能是无套利的。所以我们必须放松一些假设。让我们讨论一些合理的可能性。套利定价模型的一个关键假设如下：A7。在每一个时刻，都有可能以同样的价格买卖股票。尽管这一假设在实践中并不成立（股票市场上的买入价和卖出价不同），但这种差异通常非常小，以至于在为衍生工具制定定价框架时可以忽略。在有效阈值认股权证的情况下，情况可能会有所不同，尤其是认股权证的到期日。让我们假设市场参与者的理性行为，并考虑一种情况，即不满足thres hold条件，但最佳要价高于阈值L。

然后，没有人会以（明显）高于SW（t）（存在普通认股权证时股票的最高价格）的价格购买股票。同时，当到期日临近且阈值条件尚未满足时，股东似乎没有任何理由以低于未稀释股价S（t）=X（t）Nper的价格出售其股份。具有阈值条件的认股权证11由于接近到期的S（t）和SW（t）可能会有很大的不同，买卖价格之间的差异可能会很大，在某些市场情况下，股票交易将停止。如果假设A7被放弃，那么为了使持有的认股权证的定价模式与普通认股权证的套利行为一致，有必要：1。为X（t）选择一个模型。为满足需求SW（t）的过程Ask（t）和Bid（t）规范模型≤投标（t）≤ 提问（t）≤ S（t）加上概率p（t），交易在时间t高于L的价格下发生，因此在满足阈值条件后，我们得到了Ask（t）=Bid（t）=SW（t）。选择一个定价原则。4.用合适的数值方法计算价格。通过这种方法，可以从市场中排除套利的可能性，但除了X（t）之外，我们还需要对三个过程进行建模。另一种可能性是将A7与每个时刻至少发生一次交易的假设保持在一起，但允许股票价格过程中的有限套利机会。为此，有必要：1。为X（t）选择一个模型。为满足SW（t）要求的过程SWL（t）指定模型≤SWL（t）≤ S（t）。规定每次交易的股票数量限制。4.选择定价原则。5.

用合适的数值方法计算价格。由于第一种可能性导致不完全市场模型，第二种可能性导致具有套利可能性的市场模型，因此套利（或风险中性）定价原则不能用于推导阈值权证的公平价格。我们建议使用差异定价原则来计算门槛认股权证的价格。5差异定价方法由于上述股票价格模型是完全的和/或允许有限的套利机会，因此套利定价原则无法应用，我们引入了一种替代方法。考虑价格的两个定义：数学。模型肛门。，X（X）：120XX年1月14日。12 A.Olvik和R.KangroDef A.以可接受的风险水平承保索赔的最低金额。Def B.在不增加风险的情况下，出售索赔的最低金额。定义A中可接受的风险水平也可能意味着完全没有风险。在完整市场的情况下，可以通过复制消除所有风险。那么，索赔的最低金额就是创建重复投资组合的成本。因此，定义A是Black-Scholes框架中使用的套利定价方法的概括。定义B描述了如果资产对我们没有任何好处，我们就不会出售/购买资产的现实。这里我们使用后一种定义。首先，我们通过选择效用函数来描述我们的风险偏好。这是一个不减损的、略微递减的凹函数，它描述了一笔钱对我们的用处。例如，指数效用：u（x）=-γe-γx，γ>0。

（5.1）然后我们为每一个时间步构建一个自我融资投资组合，价值v（t，δ）=（w（t，δ），t≤ T、 w（T，δ）+C（SWL（T）），T=T，其中C（SWL）是衍生工具的应收款项，wt是我们在前一时间点通过购买δ股份获得的财富-1.- δ·SWL（t- 1） ]（1+r）+δ·SWL（t）。一个时间段的无风险回报率用r表示。我们的初始资本为W。通过选择δ，我们在每一个时间步t中使我们的预期效用最大化∈{0，…，T-1}. 最优交易策略的效用用φ（wt）表示-1，C）=最大δ∈[a，b][E[u（V（t，δ））]，其中a和b是每个时间段可以买卖的股份的分数。最后，t=0时的独立价格被定义为最低财富w，其中（w，0）≥ ~n（0，C）。这意味着我们不同于拥有索赔C的和的衍生产品。为了计算不同的价格，必须使用动态规划。这意味着我们要计算φ（wT-1，C）在时间T-1个月的时间-时间T为1-s-2.我们拥有一定的初始财富。最佳交易策略（即δ的选择）是这样的，即它提供了时间T-1.富人*T-1允许实现最大的а（w*T-1，C）。我们这样做是为了进一步阅读这个主题，见[3]。具有阈值条件的认股权证13如图4所示。股票价格的简单单期二项模型。wT的-2-s，并在T重复该程序-3.通过这些步骤，我们在给定初始财富的情况下，在t=0时获得最佳效用。为了对差异定价方法有一些了解，让我们来看一个非常简单的例子。我们将在一期模型中为K=100的欧洲看涨期权定价，其中r=0。我们使用图4所示的股票价格模型，其中上涨的概率为p。此外，这里我们不限制δ值，而是使用形式为u（x）=-E-十、

在时间t=0~n（0，C）=最大δ时∈R[-p·exp(-{(0 - δ·100)·(1 + 0) + δ·110 + 10})--(1 - p） ·经验(-{(0 - δ·100 )·(1 + 0) + δ·90 + 0})].这里的最佳δ=-（ln（1/p）-1)+ 10)/20. 对于p=0.7，我们有δ≈ -0.4和（0，C）≈ 0 .006. 没有选择权，但有了初始财富，我们可以获得效用φ（w，0）=最大δ∈R[-p·exp(-{（w）- δ·100)·(1 + 0) + δ·1 10 + 0})--(1 - p） ·经验(-{（w）- δ·100)·(1 + 0) + δ·9 0 + 0} )].对于w=5的等式（w，0）=（0，C）≈ 0.006秒。由于φ（w，C）随w单调增加，我们的看涨期权的差异价格为5。很容易看出，我们通过复制方法得到了相同的答案。事实上，在交易不受限制的完整市场模型中，可复制债权的独立价格和价格是一致的。在多周期设置中，我们必须使用前面描述的动态规划。此外，对于定价阈值，我们必须设置交易约束，并为过程SWL（t）指定一个模型。数学模型肛门。，X（X）：120XX年1月14日。14 A.Olvik和R.Kangro6总结对于门槛认股权证的定价，我们需要一个股票价格模型。通过对企业价值进行建模，我们可以得出股票价格的界限，但canalso证明股票价格过程不能对应于无套利市场。因此，有必要减少一些通常在推导权证价格时进行的交易。因此，担保的价格不能通过复制参数获得。相反，可以使用差异定价。我们未来研究的目标是建立合适的连续时间模型，以描述存在阈值认股权证时的股价过程，以及一致估计市场参数的方法。参考文献[1]为Trigon Capital合并年报。2010.可从互联网上获取：http://www.trigoncapital.com/upload/docs/annual_reports/2010/TC_ENG_2010.pdf.[2] F.布莱克和M.斯科尔斯。

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