具有股价相关阈值条件的权证定价

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Pricing of Warrants with Stock Price Dependent Threshold Conditions》
---
作者：
Ander Olvik and Raul Kangro
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  Warrants with stock price dependent threshold conditions give the right to buy specially issued stocks, if the performance of the stock price satisfies some requirements. Existence of these derivatives changes the price process of the underlying. We show that in the presence of such warrants one cannot assume that the stock market is arbitrage free and that the stock is tradeable at every time moment with the same price for buying and selling. This means that the usual methods for deriving fair prices for such warrants cannot be used. We start from a simple model for the firm\'s value process and discuss some ways to specify a related model for the stock price process in the presence of warrants with threshold conditions. We also discuss how indifference pricing approach can be used for pricing such warrants.
---
中文摘要：
如果股价表现满足某些要求，具有股价相关阈值条件的认股权证授予购买特别发行股票的权利。这些衍生品的存在改变了标的资产的价格过程。我们证明，在存在此类认股权证的情况下，我们不能假设股票市场是无套利的，并且股票在每一时刻都可以以相同的价格买卖。这意味着不能使用推导此类权证公平价格的常用方法。我们从一个简单的公司价值过程模型开始，讨论了在有门槛条件的认股权证存在的情况下，如何指定股票价格过程的相关模型。我们还讨论了无差异定价方法如何用于此类权证的定价。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Pricing_of_Warrants_with_Stock_Price_Dependent_Threshold_Conditions.pdf (216.14 KB)

2022-5-7 22:35:45 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative Requirements Indifference derivatives Requirement

数学建模与分析出版社：Taylor&Francis和VGTUVolume X编号X，xx 20xx，1–14http://www.tandfonline.com/TMMAhttp://dx.doi.org/10.3846/13926292.XXXX.xxxxxx打印ISSN:1392-6292c 维尔纽斯·格迪米纳斯技术大学，20xx在线ISSN:1648-3510股票价格相关阈值条件下的认股权证定价*塔尔图吉大学安德尔·奥尔维克和劳尔·康罗数理统计研究所。Liivi 250409爱沙尼亚塔尔图电子邮件（corresp.）：ander1@ut.eeReceived2015年3月18日；2015年3月18日修订；在线发布Mxx 120XX摘要。如果股价表现满足某些要求，具有股价相关阈值条件的认股权证赋予购买特殊发行股票的权利。这些衍生品的存在改变了债券的价格过程。我们证明，在e上存在此类认股权证的情况下，不能假设股票市场是无套利的，股票在任何时候都可以以相同的价格买卖。这意味着，不能使用通常的方法来获取此类认股权证的公平价格。我们从一个简单的公司价值过程模型开始，讨论了在存在阈值条件的认股权证的情况下，指定股票价格过程相关模型的一些方法。我们还讨论了如何使用差异定价方法为此类权证定价。关键词：认股权证、门槛条件、稀释效应、差异定价。AMS学科分类：91G20。1内部生产传统（或公司）认股权证是一种衍生产品，其所有者有权在固定时间以固定价格购买标的股票。它与认购期权合同不同，因为发行人是标的公司，在行使认股权证时，发行新股。因为有更多的股份，每股的价值都会下降。

这就是所谓的稀释效应。这些衍生产品的特点是寿命长，售后市场上的交易活动少或不存在。这使得仅仅通过在市场上标记来估计公允价值变得很困难。这类衍生工具适合激励员工，在文献中也可能以员工股票期权（ESO）的名义出现。*这项研究得到了爱沙尼亚教育和研究部IUT34-5和SF0180015S12项目下的爱沙尼亚研究委员会（ETF拨款8802号）、爱沙尼亚数学和统计学博士学校的支持。有担保（或无担保）权证不会导致稀释，本文不进行研究。在这种情况下，在行使时也会发行新股。2 A.Olvik和R.KangroIn在本文件中，我们提供了与股票价格相关的持有条件。此类认股权证并不常见，但已在实践中使用（例如，参见Trigon Capital Group的2010年环形报告[1，第44页]）。我们考虑欧洲类型的认股权证，只有在认股权证有效期内，标的股票价格达到预先确定的阈值水平时，才能行权。我们使用“门槛认股权证”一词，它强调了所讨论的衍生品合同的两个主要特征。首先，与认股权证（和传统期权不同）一样，它们也表现出稀释效应。其次，（非典型权证和ESO）行使钻机hts取决于标的公司的业绩。与其他所有衍生证券一样，为了给权证定价，我们需要对基础证券进行建模。对于传统认股权证的定价，有必要对公司的价值进行建模。

与期权定价理论中的假设类似的常见假设允许根据公司生产性资产的价值推导权证价格的方程式（对于简单模式，也包括公式）（参见[7,9]）。然而，对于阈值认股权证，我们特别需要知道股票价格是否满足执行条件。随着认股权证的行使增加了股票的数量，并为公司的资产负债表带来了额外的资金，公司价值和股价之间的关系不再是线性的。例如，公司价值的对数正态性并不意味着股票价格的对数正态性[7]。一个简单的解决方案是假设在这两种情况中，股票价格遵循一些常用的随机过程，例如几何布朗运动，而忽略公司仍然未知的价值过程。这种做法与权证发行不应影响公司生产性资产价值过程的观点相矛盾。例如，如果使用几何布朗运动来模拟[2]中所述的权证发行前的股价，因此公司的价值也会变成几何布朗运动，那么我们应该使用几何布朗运动来模拟权证存续期间公司as集合的价值。然后是股票价格过程在权证发行前是正常的，但在权证发行后会发生变化。众所周知，传统认股权证的稀释效应如何影响股票价格过程的行为，以及关于股票价格的可观察信息如何可用于确定认股权证的价值[10,5,11,13,6]。

如[8]所示，对存在认股权证的股票价格过程行为的了解对于任何未偿付普通期权的一致定价也是必要的。据我们所知，具有股价相关阈值条件的认股权证的存在对股票价格过程的影响还没有被研究过。本文证明了在门槛条件成立后，在存在门槛认股权证的情况下，不存在与传统认股权证存在时的股价模型一致的无套利股价模型。这意味着，在复杂的行使条件下，推导此类资产公允价格的常用方法可能是一种实用的方法。然后，价格估算主要取决于我们模拟货币轨迹的能力。此外，在这种假设下，MC方法的计算时间可以显著减少。不能使用具有阈值条件的认股权证，为了计算阈值认股权证的价格，必须重新放松对股票市场行为的一些常见假设。本文的组织结构如下：第2节介绍了我们分析的符号和框架。在第3节中，我们证明了门槛认股权证的存在引入了套利机会。在第4节中，我们讨论了放宽套利费用定价模型的常见假设以实现门槛认股权证的一致定价的必要性。第5节介绍了不同的定价方法。

第6节为进一步研究第2章符号和框架提供了总结和指导。在本文中，我们将使用以下编号：X（t）-公司在时间t的价值；T——成熟时间；K——行权价格；L——门槛价格水平；N——认股权证行权前的股份数量；M——认股权证的数量。X（t）表示公司生产性商业资产的价值。如果我们假设一个有效的市场模型（当我们假设价格遵循随机游走模型[14]时，我们默默地这样做），那么它可以被解释为可以观察到的股权的市场价值（通过股票价格乘以股票数量），除非公司在t=0时已经发行了认股权证。后来，如果不知道股票和权证价格的行为，它就变得不可观察了——为了购买整个公司，一个人需要购买所有现存的股票和权证。我们表示两种类型的固定价值分数。第一种情况与权证肯定不会行使（或不上市）的情况下的股价有关，另一种情况与权证肯定会行使的情况有关：S（t）=X（t）N，S′（t）=X（t）+Dt，t·MKN+M，（2.1）其中Dt，是适用于从t到t的时间段的贴现系数，0<Dt，t≤ 1，DT，t=1/DT，t。我们所说的股票价格是指股票交易的价格。在传统认股权证中，它被称为SW（t）。在存在M个门限认股权证的情况下，它被表示为SWL（t）。如果SWL（t）≥ 我想买些t∈ （0，T）。每份认股权证授予以K价格购买一股股票的权利。阈值L>SWL（0）和L>K。否则阈值基本上不存在。数学模型肛门。，X（X）：120XX年1月14日。4 A.奥尔维克和R.康罗假设：A1。认股权证发行过程不影响企业价值过程；A2。认股权证持有人不能以有利的方向影响市场；A3。

无其他未偿权益证券；A4。没有信息不对称；A5。没有交易成本；A6。没有红利。总之，在当前的设置中，企业的价值X（t）是唯一的随机性来源。它决定了SWL（t）的价值，而SWL（t）又决定了担保价格。认股权证发行后股票价格过程的性质在认股权证的有效期内，股票价格过程在达到阈值之前和之后有所不同。首先，我们研究后一种情况。3.1达到行权阈值后的股价过程如果满足行权条件，则阈值认股权证等于类别认股权证。股票价格过程也随之变化。当人们在模拟价格轨迹或估计市场参数时，这种知识是有用的。经典认股权证的执行仅取决于可操作性。如果S′（T）>K，则可执行。支付函数：最大X（T）+MKN+M- K、 0=NN+M·maxX（T）N- K、 0. （3.1）通过对X（t）进行建模，我们得到了众所周知的结果（如Galai和Schneller1978），即认股权证的价格是类似公司但没有认股权证的看涨期权的N/（N+M）分数。通过这种方式，我们可以通过简单地对公司价值X（t）建模，来解决建模股票价格变化过程的需要。然而，对于建模X（t），我们需要估计市场参数。只有在t=0时，之前才能直接观察到Fir m值。后来我们需要知道SWL（t）和X（t）之间的关系。一般衍生产品作为股息分配，或提供与公司其他资产相同的回报。这也意味着所有市场参与者都知道认股权证的存在。在离散时间模型中，如果SWL（t）≥ 五十、 然后SWL（t+1）=SW（t+1）。可靠性要求可以写成asS′（T）>K<==>X（T）+M千牛+M- K>0<==> X（T）>N K.具有阈值条件的认股权证5KL图1。

一棵由黑色和绿色组成的树。[8]给出了权证发行后的股价过程。简单地说，如果公司价值X（t）包括权证发行过程，那么在权证有效期内：SW（t）=X（t）N-MW（t）N，（3.2），其中SW（t）表示存在M个经典权证时的股价，w（t）表示一个权证的价格。[13]和[5]中描述了估算不可观测X（t）波动率的方法（通过使用可观测的股票收益方差）。3.2达到行使阈值前的股票价格过程股票价格模型的竞争因阈值条件而变得复杂，因为行使条件要求股票价格上升到设定的水平以上。我们发现，即使假设公司价值已知，在某些情况下，股价仍然未知。现在我们有两个练习条件：o存在一个t∈ （0，T）股票以满足阈值条件SWL（T）的价格进行交易≥ 五十、 o锻炼是有益的，即S′（T）>K.数学。模型肛门。，X（X）：120XX年1月14日。6 A.Olvik和R.KangroKL10011090。912110082.698.1106.590.411598.882.6图2。S（t）（黑色）和SW（t）（绿色）树。3.2.1套利机会的存在在本节中，我们使用离散时间市场模型来说明我们的论点。公司价值和股价过程由Cox等人在[4]中描述的二叉树建模。我们将通过符号X（τ，t）来区分特定节点，其中-T≤ τ ≤ T是从初始水平到时间T的上升次数。如果我们在时间t检查任意节点，则忽略它。图1给出了S（t）和SW（t）树的示例，其中X（0）=1000，N=10，M=7，L=155，K=90，上扬回报率U=1.1。我们来看一个每iod 2个的模型。在t=t=2时检查可行性条件，仅在t=1时检查阈值条件。

例如，在图2中，我们有S（t）和SW（t）树，其中X（0）=1000，N=10，M=3，L=108，K=95<S（0），上扬回报率U=1.1。到期时SWL（T）=（S（T）=X（T）/N，SWL（1）<L，SW（T）=S′（T），SWL（1）≥ L.如果我们假设公司的存量和生产性资产都是可交易的，然后，根据资产定价的基本定理（例如，参见[12]），S（t）和X（t）的市场估值是无套利的，当且仅当存在一个等价的概率测度（所谓的风险中性测度），在该概率测度下，贴现股价和贴现价值过程都是随机的。为了简单起见，我们假设无风险利率为0（Dt，T=1）。那么X（t）和（t）都应该是风险中性测度下的鞅。如果我们从树中得出风险中性概率，那么在我们的带有阈值条件的示例中，如图3所示。图1中突出显示的S（t）（黑色）和SW（t）（绿色）子树表明SWL（t）不是鞅。普勒氏上支（SWL（T）|X（+1,1））=（110，SWL（+1,1）<108106.5，SWL（T）（+1,1）≥ 108.因此E（SWL（t+1）| Ft）6=SWL（t），而SWL（t）不是鞅！接下来我们将证明，在不指定概率测度的情况下，SWL（t）不可能是鞅。为此，我们建立了一个可能的股价价值区域。注意swl（t）≤ S（t）。这种不平等性存在，因为在权证存在的情况下，一只股票可能代表不到股本的1/N。另一方面，所有导致行使门槛认股权证的固定价值轨迹都属于一组导致行使类似但基本的认股权证的轨迹。因此，由于实现稀释的可能性较小，我们应该≥ 西南（t）。因此，SWL（t）∈ [SW（t），S（t）]。

（3.3）设m为未稀释股价（理论上）超过阈值L的最小上升次数。有足够多的离散时间步，S（m，t）>L>SW（m，t）。（3.4）数学。模型肛门。，X（X）：120XX年1月14日。8 A.Olvik和R.KangroLet我们更仔细地观察了与相同固定值对应的接近成熟日期的S（t）和SW（t）曲线的部分。我们检查这些部门，其中S（t）在我们检查的部门之前没有达到阈值，但接近L，离散时间步数较大（即K较低，t接近e nough），因此在实现行使权利后，肯定会发生可预期的行使。这意味着在SW（t）的子路径中，每个节点都可以按w（τ，t）=S′（τ，t）=（X（τ，t）+Dt，t·MK）/（N+M）的顺序写入。（3.5）在图3中，我们从图1中的树中突出显示了这些子树。Lettime t是第一个时间点，在我们的s子树中，s（τ，t）=s（m，t）>L。如果参数N，m和K为-1，t+1）=X·Um·DN>X·Um·U+Dt+1，t·MKN+M=SW（M+1，t+1），（3.6），交易价格在t时超过阈值，然后swl（M，t）>Lm def.>S（m）-1，t+1）（3.6）>SW（m+1，t+1），但如果SWL（t）是鞅，那么SWL（τ，t）≤ SWL（τ+1，t+1）=SW（τ+1，t+1）。因此，如果交易价格超过阈值，那么股票价格就不能是鞅。如果SWL（m，t）不超过阈值，我们将检查下一次上升。假设对所有m′进行充分的离散化，足够大且足够大∈ {0,1，…，T- T-1} 上升，结果如下：S（m+m′，t+m′）>L>SW（m+m′，t+m′）。（3.7）通过将不等式（3.6）的两边乘以Um′，我们得到（回忆一下Dt，T=1）：X·Um+m′-1N>X·Um+m′+1+MK·Um′N+MU>1>X·Um+m′+1+MKN+m，即。