关于随机波动下定价公式的分解

注意F（T，X（T），σT）=e-rTBS（T，S（T），f（T，σT））=e-rTVT。作为e-rtV（t）是一个我们可以写的鞅-rtV（t）=EtE-rTV（T）= EtE-RTB（T，S（T），f（T，σT））= EtF（T，S（T），σT）.我们的想法是对恒等式参数应用近似，如定理3.1所示，然后使用函数公式toF（t，S（t），σt）=e-rtBS（t，S，f（t，σt））。我们推导出f（T，S（T），σT）- F（t，S（t），σt）=ZTtDuF（u，S（u），σu）du+ZTtSF（u，S（u），σu）dS（u）+ZTtσF（u，S（u），σu）du+ZTtSF（t，S（t），σt）d[S，S]（u）+ZTtσF（u，S（u），σu）dσu，σu+ZTtDuF（u，S（u），σu）du+ZTtS、 σF（u，S（u），σu）dS（u），σu+ZTtFSF（u，S（u），σu）DS（u），f（u，σu）+ZTtFσF（u，S（u），σu）Dσ、 f（u，σu）.注意：o由于S（t）不是路径依赖的，我们有S（·）=S（·）由于u>t和f是一个非预期函数，那么σ（u）f（t，σt）=0。我们有f（T，S（T），σT）- F（t，S（t），σt）=ZTtDuF（u，S（u），σu）du+ZTtSF（u，S（u），σu）dS（u）+ZTtSF（u，S（u），σu）d[S，S]（u）+ZTtDuF（u，S（u），σu）du+ZTtf、 SF（u，S（u），σu）dS（u），f（u，σu）.我们推导出f（T，S（T），σT）- F（t，S（t），σt）=ZTtLf（u，σu）BSdu+ZTte-汝fBS（u，S（u），f（u，σu））Duf（u，σu）du+ZTte-汝SBS（u，S（u），f（u，σu））θ（u，S（u），σ（u））- Sf（u，σu）du+ZTtSBS（u，S（u），f（u，σu））θ（u，S（u），σ（u））ρdW（u）+p1- ρdB（u）+中兴通讯-汝fBS（u，S（u），f（u，σu））df（u，σu），f（u，σu）+ ρZTte-汝f、 SBS（u，S（u），f（u，σu））θ（u，S（u），σ（u））dW（u），f（u，σu）.现在取条件期望，使用（5）并乘以ertwe ObstaintHate-r（T）-t） EtF（T，S（T），σT）= BS（t，S（t），f（u，σt））+Et“ZTte-联阵（u，σu）（T）-t） SSBS（u，S（u），f（u，σu））Duf（u，σu）#du+Et“ZTte-地毯（u，S（u），f（u，σu））L（u，S（u），σ（u））- f（u，σu）du#+Et“ZTte-ruf（u，σu）τK（u，S（u），f（u，σu））df（u，σu），f（u，σu）#+ ρEt“ZTte-ruH（u，S（u），f（u，σu））f（u，σu）τθ（u，S（u），σ（u））dW（u），f（u，σu）#.备注5.3。

注意[6]中证明的泛函公式适用于半鞅，但[7]中也证明了Dirichlet过程。在这两种情况下，当τ、S、σ>0时，通过定义f和BlackScholes函数导数的可微性，该假设成立。因此，这种技术可以应用于这些模型。备注5.4。注意，当我们选择波动率函数f（t，σt）=v（t）时，定理5.2与定理3.1一致。我们发现[5,6,7,8]和[2]在分解问题中提出的观点是等价的。这两个公式来自非常不同的地方，[5,6,7,8]下的想法是基于对作品[9]的功能的扩展，[2]的主要思想是根据他的期望改变一个过程。认识到标准It演算也可以应用于Dirichlet过程（有关更多信息，请参见[9]）。备注5.5。认识到定理5.2适用于任何非预期的f（t，σt）。找到一个不同于[2]中所选的非预期过程f（t，σt）的不同非预期过程并不重要。6 Malliavin演算的基本元素。在下一节中，我们将简要介绍马利文微积分的基本原理。有关更多信息，请参见[12]。让我们考虑布朗运动W={W（t），t∈ [0，T]}定义在完全概率空间上(Ohm, F、 P）。设H=L（[0，T]），并用W（H）表示函数H的维纳积分∈ H.设S为形式为F=F（W（H，…，W（hn））的随机变量的se t，其中n≥ 1，f∈ C∞b、 h，嗯∈ H.给定这种形式的随机变量F，我们将其导数定义为随机过程DWtF，t∈ [0，T]给定byDWtF=nXi=1xif（W（h），W（hn））hi（x），t∈ [0，T]。（11） 算子DW和迭代算子DW，nare是L的可闭无界算子(Ohm) 进入L（[0，T]n×中Ohm), 为了所有人≥ 1.我们表示S关于范数kf kn的闭包，2:=kFkL(Ohm)+nXk=1德国，韩国L（[0，T]k×）Ohm).

（12） 我们用δw表示导数算子DW的伴随。注意，δw是积分I t^o的一个扩展，在这个意义上，集La（[0，t]×）Ohm) Domδ中包含了方可积过程和a适应过程，算子δ仅限于La（[0，T]×）Ohm) 和随机积分的结果一致。我们使用符号δ（u）=RTu（t）dW（t）。我们记得Ln，2W:=L[0，T]；Dn，2W包含在所有n的δ域中≥ 1.我们将使用下一个It公式来预测流程。提议6.1。让我们考虑过程X（t）=X（0）+Rtu（s）dW（s）+Rtv（s）ds，其中u，v∈ La（[0，T]×）Ohm). 此外，对于某些θ，还考虑一个processY（t）=RTtθ（s）ds∈ L1,2。让F:R→ R是一个两次连续可微函数，存在一个正常数C，对于所有t∈ [0，T]，F及其在（T，X（T），Y（T））中求出的导数以c为界。然后是F（t，X（t），Y（t））=F（0，X（0），Y（0））+ZtsF（s，X（s），Y（s））ds+ZtxF（s，X（s），Y（s））dX（s）+ZtyF（s，X（s，Y（s））dY（s）（13）+Ztx、 yF（s，x（s），Y（s））（D-Y（s）u（s）ds+ZtxF（s，X（s），Y（s））u（s）ds，其中（D-Y）（s）：=RTsDWsY（r）dr.Proof。见[1]。当我们想要计算Malliav inderivative时，下一个命题很有用。提议6.2。设σ和b是R上有界导数的连续微分函数。考虑解决方案X={Xt，t∈ 随机微分方程x（T）=x（0）+Ztσ（x（s））dW（s）+Ztb（x（s））ds的[0，T]}。然后，我们有dSx（t）=σ（X（s））expZtsσ′（X（s））dW（s）+Ztsλ（s）ds[0，t]（s）。式中λ（s）=[b′-（σ′）（X（s））。证据参见[12]，第2.2.7节使用Malliavin演算的分解公式。在本节中，我们使用Malliavin演算在预期框架中扩展看涨期权价格分解。

这一次，分解公式的项比It公式设置中的项少一项。我们回顾了未来平均波动率的定义，即“σ（t）：=sT- tZTtσ（s）ds。定理7.1。（分解公式）适用于所有t∈ [0，T），我们有v（T）=Et[BS（T，S（T），\'σ（T））]+Et“ZTte”-地毯（u，S（u），‘σ（u））L（u，S（u），σ（u））- σ（u）du#+ρEt“ZTte-r（u）-t） L（u，S（u），σ（u））H（u，S（u），\'σu）ZTuDWuσ（r）dr！杜#。式中g（t，S（t），σ（t））：=S（t）SBS（t，S（t），σ（t）），H（t，S（t），σ（t））：=S（t）SG（t，S（t），σ（t）），and l（t，S（t），σ（t））：=θ（t，S（t），σ（t））S（t）。证据注意，e-rTBS（T，S（T），‘σ（T））=e-rTVT。作为e-rtV（t）是一个我们可以写的鞅-rtV（t）=EtE-rTV（T）= EtE-RTB（T，S（T），‘σ（T））.所以，将近似法用于恒等式论证，然后应用命题6.1中给出的公式-RTB（t，S（t），‘σ（t））。我们推导并使用（5）和（4）that-RTB（T，S（T），‘σ（T））- E-rtBS（t，S（t），‘σ（t））=ZTte-ruL′σSBS（u，S（u），′σ（u））du+ZTte-罗斯（美国）SBS（u，S（u），‘σ（u））θ（u，S（u），σ（u））S（u）杜-中兴通讯-罗斯（美国）SBS（u，S（u），\'σ（u））σ（u）du+ZTte-汝SBS（u，S（u），\'σu）θ（u，S（u），σ（u））ρdW（u）+p1- ρdB（u）+ρZTte-ruθ（u，S（u），σ（u））sS（u）SBS（u，S（u），‘σ（u））ZTuDWuσ（r）dr！杜。通过条件实验并乘以ert，我们得到了[e]-r（T）-t） BS（t，S（t），\'σ（t））]=Et[BS（t，S（t），\'σ（t））]+Et“ZTte-r（u）-t） G（u，S（u），‘σ（u））L（u，S（u），σ（u））- σ（u）du#+ρEt“ZTte-r（u）-t） L（u，S（u），σ（u））H（u，S（u），‘σ（u））ZTuDWuσ（r）dr！杜#。备注7.2。正如预期的那样，当它被认为（1）像定理3.1中发生的那样时，一个新的术语就会出现。备注7.3。特别地，当θ（t，S（t），σ（t））=σ（t）S（t）V（t）=BS（t，St，’σ（t））+ρEt“ZTte-r（u）-t） σ（u）H（u，S（u），\'σu）ZTuDWuσ（r）dr！杜#。此外，正如我们在公式部分所看到的，伽马效应被取消。备注7.4。注意，当v（t）是一个确定性函数时，所有的分解公式都是相等的。备注7.5。

当ρ=0时，我们有[BS（t，S（t），\'σ（t））-BS（t，St，v（t））]=Et“ZTte-r（u）-t） （G（u，S（u），‘σ（u））-G（u，S（u），v（u）））L（u，S（u），σ（u））du#-Et“ZTte-r（u）-t） （G（u，S（u），‘σ（u））-G（u，S（u），v（u））σ（u）du#-Et“ZTte-r（u）-t） K（u，S（u），v（u））d[M，M]（u）#。特别地，当θ（t，S（t），σ（t））=σ（t）S（t）：Et[BS（t，S（t），\'σ（t））- BS（t，St，v（t））=-Et“ZTte-r（u）-t） K（u，S（u），v（u））d[M，M]（u）#。这两种方法之间的差异由选项的数量给出。8隐含效用导数的表达式。在这一部分中，我们在It演算和Malliavin演算的框架下，给出了隐含效用导数的一般表达式。在[3]中使用Malliavin演算的指数模型中，有一个关于这个变量的计算。假设I（S（t））表示隐含波动率过程，其满足定义v（t）=BS（t，S（t），I（S（t））。我们在标准情况下计算隐含挥发物的导数。提议8.1。在（1）项下，对于每个固定的t∈ [0，T）并假设T（v（T））-1< ∞ a、 在美国，我们有SI（S）*（t） ）=EthRTt旧金山（美国）*（u） ，v（u））酒后驾车σBS（t，S）*（t） ，我*（t） ））-EthRTt（F（u，S）*（u） ，v（u））+旧金山（美国）*（u） ，v（u）））dui2SσBS（t，S）*（t） ，我*（t） ））。其中“ZTtF（u，S（u），v（u））du#=Et”ZTte-r（u）-t） G（u，S（u），v（u））L（u，S（u），σ（u））- σ（u）du#+Et“ZTte-r（u）-t） K（u，S（u），v（u））d[M，M]（u）#+ρEt“ZTte-r（u）-t） θ（u，S（u），σ（u））S（u）H（u，S（u），v（u））d[W，M]（u）#，Et“ZTtF（u，S（u），v（u））du#=ρEt”ZTte-r（u）-t） θ（u，S（u），σ（u））S（u）H（u，S（u），v（u））d[W，M]（u）#andEt“ZTtF（u，S（u），v（u））du#=Et”ZTte-r（u）-t） G（u，S（u），v（u））L（u，S（u），σ（u））- σ（u）du#+Et“ZTte-r（u）-t） K（u，S（u），v（u））d[M，M]（u）#。证据在表达式V（t）=BS（t，S（t），I（S（t））上取S（t）的偏导数，我们得到SV（t）=SBS（t，S（t），I（S（t））+σBS（t，S（t），I（S（t）））SI（S（t））。

（14） 另一方面，从定理3.1我们推导出v（t）=BS（t，S（t），v（t））+Et“ZTtF（u，S（u），v（u））du#，，（15），这意味着SV（t）=SBS（t，S（t），v（t））+Et“ZTtSF（u，S（u），v（u））du#。（16） 使用（v（t））-1< ∞ 我们可以查一下SV（t）是非常明确的a.s.因此，使用*（t） =K exp（r（t）- t） ），（14）和（16），我们得到SI（S）*（t） )=SBS（t，S）*（t） ，v（t））- SBS（t，S）*（t） ，I（S（t）））σBS（t，S）*（t） ，I（S（t））+EthRTt旧金山（美国）*（u） ，v（u））酒后驾车σBS（t，S）*（t） ，I（S（t）））。从[13]我们知道这一点SI（t）=0，其中I（t）是ρ=0情况下的隐含波动率，因此SBS（t，S）*（t） ，v（t））=SBS（t，S）*（t） ，I（S（t）））- Et“ZTt旧金山（美国）*（u） ，v（u）du#。所以，我们有SI（S）*（t） )=SBS（t，S）*（t） ，I（t））- SBS（t，S）*（t） ，我*（t） ））σBS（t，S）*（t） ，我*（t） ）+EthRTt旧金山（美国）*（u） ，v（u））酒后驾车σBS（t，S）*（t） ，我*（t） ））。另一方面，我们有SBS（t，S）*（t） ，v（t））=φ（d）和bs（t，S）*（t） ，v（t））=S（φ（d）- φ(-d） 其中φ是标准高斯密度。然后SBS（t，S）*（t） ，v（t））=BS（t，S*（t） ，v（t））+S2SandSBS（t，S）*（t） ，I（t））- SBS（t，S）*（t） ，我*（t） ）=2秒BS（t，S）*（t） ，I（t））- BS（t，S）*（t） ，我*（t） ））= -2组“ZTt（F（u，S*（u） ，v（u））+旧金山（美国）*（u） ，v（u）））du#。现在，我们使用Malliavin演算推导隐含波动率。在[3]中，当θ（t，S（t），σ（t））=σ（t）S（t）时，证明了这一点。提议8.2。在（1）项下，对于每个固定的t∈ [0，T），假设（△σ（T））-1<∞ a、 那我们就有了SI（S）*（t） ）=EthRTt旧金山（美国）*（u） ，“∑（u））酒后驾车σBS（t，S）*（t） ，我*（t） ））-EthRTt（F（u，S）*（u） ，σ（u））+旧金山（美国）*（u） ，’σ（u）））dui2SσBS（t，S）*（t） ，我*（t） ））。其中Et“ZTtF（u，S（u），’σ（u））du#=Et”ZTte-r（u）-t） G（u，S（u），‘σ（u））L（u，S（u），σ（u））- σ（u）du#+ρEt“ZTte-r（u）-t） L（u，S（u），σ（u））H（u，S（u），‘σ（u））ZTuDWuσ（r）dr！d[W，M]（u）#，Et“ZTtF（u，S（u），’σ（u））du#=ρEt”ZTte-r（u）-t） L（u，S（u），σ（u））ZTuDWuσ（r）dr！d[W，M]（u）#andEt“ZTtF（u，S（u），\'（σ（u））du#=Et”ZTte-r（u）-t） G（u，S（u），‘σ（u））L（u，S（u），σ（u））- σ（u）杜#。证据

参见[3]或之前的证明。备注8.3。请注意，这是[3]中证明的公式的推广。在这种情况下，F=Fand，F=0.9，我们给出了金融中著名模型分解公式的一些应用。9.1赫斯顿模型。我们认为股票价格遵循赫斯顿模型（1）。利用定理3.1或定理5.2，我们得到v（T）=BS（T，X（T），v（T））+ρEt“ZTte-r（u）-t） H（u，X（u），v（u））ZTue-k（r）-s） 博士！σ（u）νdu#+Et中兴通讯-r（u）-t） K（u，X（u），v（u））ZTue-k（r）-s） 博士！νσ（u）du.利用定理7.1，我们得到v（t）=BS（t，St，“∑（t））+ρEt”ZTte-r（u）-t） H（u，S（u），‘σ（u））ZTuDWuσ（r）dr！σ（u）du#。式中，DWuσ（r）=νσ（u）expνRruσ（s）dW（s）+Rruh-K-ν8σ（s）ids.9.2 SABR模型我们认为股票价格遵循SABR模型（3）。利用定理3.1或定理5.2，我们得到v（T）=BS（T，S（T），v（T））+Et“ZTte-r（u）-t） G（u，S（u），v（u））σ（u）S2（β-1） （u）- 1.du#+Et“ZTte-r（u）-t） K（u，S（u），v（u））d[M，M]#（u）+ρEt“ZTte-r（u）-t） H（u，S（u），v（u））σ（u）d[W，M]（u）#。其中d[M，M]=4ασ（t）ZTteα（s-t） ds！dtandd[M，W]=2ασ（t）ZTteα（s-t） ds！dt。利用定理7.1，我们得到了v（t）=Et[BS（t，S（t），\'σ（t））]+Et“ZTte-r（u）-t） G（u，S（u），‘σ（u））σ（u）S2（β-1） （u）- 1.du#+ρEt“ZTte-r（u）-t） H（u，S（u），‘σ（u））ZTuDWuσ（r）dr！σ（u）du#。其中，DWuσ（r）=2ασ（u）11[0，r]（u）。10结论在本文中，我们注意到[2]中使用的思想可以用于一般的离散微分方程（SDE）。无需说明挥发过程，只需要SDE解的存在性和唯一性，从而使分解公式更加灵活。我们认为股票价格遵循一个指数过程，以及一个新术语是如何在一般框架下产生的。此外，我们还使用三种不同的方法计算了分解：It^o公式、泛函It^o微积分和Malliavincalculus。

在看涨期权的情况下，[2]中使用的思想相当于[5,6,7,8]中开发的函数式，但不需要函数演算后的理论。这两个公式都适用于dirichlet过程，尤其适用于Hurstparameter等于或大于的分数布朗运动。此外，我们认识到费曼卡公式在分解过程中起着关键作用。参考文献[1]E.Alòs（2006）：赫尔-怀特公式的推广及其在期权定价近似中的应用。金融与随机10:353[2]E.Alòs（2012）：赫斯顿模型中期权价格的分解公式及其在期权定价近似中的应用。《金融与随机》16（3）：403-422[3]E.Alòs，J.León和J.Vives（2007）：关于具有随机波动性的跳跃扩散模型的隐含波动率的短期行为。金融与随机11（4）：571-589。[4] B.Chen，C.W.Oosterlee和H.Van der Weide（2011）：SABR随机波动率模型的有效有偏模拟方案。《国际理论与应用金融杂志》15（2）。[5] R.Cont和D.Fournié（2010）：It公式的功能扩展。科学院院长348（1-2）：57-61。[6] R.Cont和D.Fournié（2010）：路径空间上非对抗泛函变量公式的变化。功能分析杂志259（4）：1043-1072。[7] R.Cont和D.Fournié（2013）：泛函微积分和鞅的随机积分表示。《概率史记》41（1）：109-133。[8] B.Dupire（2009）：功能性It微积分。http://papers。ssrn。com/sol3/papers。cfm？摘要uid=143551。[9] H.F"ollmer（1981）：Ca lc ul d\'It^osans probabilités.séminaire de probabilités XV，数学课堂讲稿850:143-150。[10] J.P.福克，G。

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