关于随机波动下定价公式的分解

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英文标题：
《About the decomposition of pricing formulas under stochastic volatility
  models》
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作者：
Raul Merino, Josep Vives
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We obtain a decomposition of the call option price for a very general stochastic volatility diffusion model extending the decomposition obtained by E. Al\\`os in [2] for the Heston model. We realize that a new term arises when the stock price does not follow an exponential model. The techniques used are non anticipative. In particular, we see also that equivalent results can be obtained using Functional It\\^o Calculus. Using the same generalizing ideas we also extend to non exponential models the alternative call option price decompostion formula obtained in [1] and [3] written in terms of the Malliavin derivative of the volatility process. Finally, we give a general expression for the derivative of the implied volatility under both, the anticipative and the non anticipative case.
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中文摘要：
我们得到了一个非常普遍的随机波动率扩散模型的看涨期权价格分解，扩展了E.Al\\`os在[2]中对Heston模型的分解。我们意识到，当股票价格不遵循指数模型时，一个新的术语就会出现。使用的技术是非预期的。特别是，我们还看到，使用函数It^o演算可以得到等价的结果。利用同样的推广思想，我们还将[1]和[3]中获得的替代看涨期权价格分解公式扩展到非指数模型，该公式是根据波动过程的马利雅文导数编写的。最后，我们给出了预期和非预期情况下隐含波动率导数的一般表达式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> About_the_decomposition_of_pricing_formulas_under_stochastic_volatility_models.pdf (237.13 KB)

2022-5-7 23:55:52 上传

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关键词：Anticipative Mathematical Quantitative Generalizing composition

关于随机波动率模型下定价公式的分解。劳尔·梅里诺*+Josep Vives——我们得到了一个非常普遍的随机波动率扩散模型的看涨期权价格分解，扩展了E.Alòs在[2]中对Heston模型的分解。我们意识到，当股票价格不遵循指数模型时，一个新的术语就会出现。使用的技术是非预期的。特别是，我们还看到，使用泛函微积分可以得到等价的结果。使用相同的推广思想，我们还将在[1]和[3]中获得的备选看涨期权价格分解公式扩展到非指数模型，该公式是根据波动过程的Malliavin导数编写的。最后，我们给出了在预期和非预期情况下隐含波动率导数的一般表达式。1简介贞节波动率模型是Black Scholes模型的自然延伸，用于管理实际数据中观察到的偏差和微笑。众所周知，在这些模型中，未来波动率的平均值是一个相关量。不幸的是，添加随机波动率结构会使定价和校准变得更加复杂，因为封闭公式并不总是存在，而且即使存在这些公式，通常也不允许快速校准参数。在过去的几年里，关于封闭式期权定价公式的近似值的不同发展已经出版。[1]和[3]中自然使用了Malliavin技术来解决这个问题，因为平均未来波动率是一个预期量。另外，对于[2]中的Heston模型，开发了一种获得定价公式近似值的非预期方法。

该方法基于对平均未来波动率的自适应预测，并从中得到了看涨期权价格的分解。*巴塞罗那大学，Gran Via 585 de Matemátiques，08007巴塞罗那+西班牙巴塞罗那胡安·格里斯投资控制部VidaCaixa S.A.，20-26，08014巴塞罗那。电子邮件：劳尔。merino85@gmail.com西班牙巴塞罗那大学，格兰维亚马泰克学院，邮编：585，08007。电子邮件：josep。vives@ub.eduIn本文将[2]的结果推广到一般的随机波动率扩散模型。同样地，遵循同样的思路，我们在[1]和[3]中获得的Malliavin calcululs的基础上扩展了扩展。本文提出的主要观点如下：o发现了一种通用的看涨期权价格分解，而无需指定波动率结构当股票期权价格不遵循指数模型时，出现了一个新术语，例如SABR案例Fe-ynman-Kac公式是分解过程中的关键元素。它允许将新框架下出现的新术语（即随机波动率）表示为Black-Scholes公式的修正使用功能I^oca lculus发现的分解结果与我们的技术得到的分解结果相同对于非预期和预期情况，我们给出了隐含波动率导数的一般表达式。2.符号。设S={S（t），t∈ [0，T]}在市场选择的风险中性概率下，是严格正的价格过程，遵循以下模型：dS（T）=u（T，S（T））dt+θ（T，S（T），σ（T））ρdW（t）+p1- ρdB（t）（1） 其中W和B是独立的布朗运动，ρ∈ (-1,1），u：[0,T]×R+→ R、 θ：[0，T]×R+→ R+和σ（t）是一个正平方可积过程，适用于W的过滤。

我们假设μ和σ满足充分条件，以确保（1）的解的存在性和唯一性。请注意，wedon没有假设任何具体的波动性结构。因此，我们的分解可以适应许多不同的模型。我们特别介绍了以下模型：o布莱克-斯科尔斯模型：u（t，S（t））：=rS（t），θ（t，S（t），σ（t））：=σS（t），ρ=0，r>0和σ>0CEV模型：u（t，S（t））：=rS（t），θ（t，S（t），σ（t））：=σS（t）β和β∈ （0，1），ρ=0，r>0和σ>0。o赫斯顿模型：u（t，S（t））：=rS（t），θ（t，S（t），σ（t））：=σ（t）S（t），r>0，σ>0和dσ（t）=k（θ）- σ（t））dt+νpσ（t）dW（t），（2）其中k、θ和ν是满足Feller条件2kθ>ν的正常数SABR模型：u（t，S（t））：=rS（t），θ（t，S（t），σ（t））：=σ（t）S（t）β与β∈（0,1），r>0，σ>0，dσ（t）=ασ（t）dW（t）（3）α>0。关于Heston案例中解的存在性和唯一性，参见示例[11]，第2.2节。有关CEV和SABR模型，请参见[4]及其参考资料。本文将使用以下符号：o我们将用BS（t，S，σ）表示经典Black-Scholes模型下普通欧式看涨期权的价格，其波动率σ为常数，当前股价S，到期时间τ=t- t、 执行价K和利率r。

在这种情况下，BS（t，S，σ）=SΦ（d+）- 柯-rτΦ（d）-),其中Φ（·）表示标准正态律的累积概率函数，d±=ln（S/K）+（r±σ）τσ√τ.o 我们在所有pa中使用符号Et[·]：=E[·| Ft]，其中{Ft，t≥ 0}是S的自然过滤。在我们的设置中，c所有选项的价格由V（t）=e给出-rτEt[（S（T）- K） +]回想一下Feynman-Kac公式，op e ratorLθ=t+θ（t，S（t），σ（t））S+u（t，S（t））s- r（4）满足度LθBS（t，S（t），θ（t，S（t），σ（t））=0。o对于y，我们还将使用以下定义≥ 0:G（t，S（t），y）：=S（t）SBS（t，S（t），y），H（t，S（t），y）：=S（t）SG（t，S（t），y），K（t，S（t），y）：=S（t）SG（t，S（t），y）和l（t，S（t），y）：=θ（t，S（t），y）S（t）。3使用它的分解公式是微积分。在本节中，根据[2]中的思想，我们将分解公式扩展到一般的随机波动率扩散过程。我们注意到，新公式可以扩展，而无需指定基础挥发过程，从而获得更灵活的分解公式。当股价不遵循指数过程时，一个新的术语就出现了。[2]中给出的公式是一个特例。众所周知，如果随机波动过程独立于价格过程，那么在普通欧洲看涨期权中，pla的定价公式为nByv（t）=Et[BS（t，S（t），\'σ（t）），其中，\'σ（t）是所谓的平均未来方差，由\'σ（t）：=t定义- tZTtσ（s）ds。当然，σ（t）被称为平均未来波动率。见[10]页。51.在[2]中使用的想法包括考虑平均未来方差v（t）：=Et（¨σ（t））=t的调整项目- tZTtEt[σ（s）]ds。得到了V（t）在V（t）方面的分解。这一想法将与预期过程σ（t）相关的预期问题转换为与适应过程v（t）相关的非预期问题。

我们将这一技术应用于我们的广义随机微分方程（1）。定理3.1。（分解公式）适用于所有t∈ [0，T]我们有v（T）=BS（T，S（T），v（T））+Et“ZTte-r（u）-t） G（u，S（u），v（u））L（u，S（u），σ（u））- σ（u）du#+Et“ZTte-r（u）-t） K（u，S（u），v（u））d[M，M]（u）#+ρEt“ZTte-r（u）-t） L（u，S（u），σ（u））H（u，S（u），v（u））d[W，M]（u）#其中M（t）：=RTEtσ（s）ds=Rtσ（s）ds+（T-t） v（t）。证据注意，e-rTBS（T，S（T），v（T））=e-rTV（T）。作为e-rtV（t）是一个我们可以写的鞅-rtV（t）=EtE-rTV（T）= EtE-RTB（T、S（T）、v（T））.我们的想法是将It公式应用于流程e-RTB（t，S（t），v（t））。由于BS的导数是无界的，因此我们必须用一个公式来近似改变BS（t，S，σ）的恒等式参数为bsn（t，S，σ）：=BS（t，S，σ）ψn（S），其中对于某些φ，ψn（S）=φ（nS）∈ cbs表示φ（S）=1表示所有|S |<1，φ（S）=0表示所有|S |>2，v（t）乘以vε（t）=rT-Tδ+RTtE[σ（s）ds], 其中ε>0，并最终应用支配收敛定理。为了简单起见，我们在所有的论文中都提出了这个更温和的论点。所以，应用It公式，利用以下事实：σBS（t，S，σ）=Sστ我们推导了SBS（t，S，σ）（5）和费曼-卡克算子（4）-RTB（T、S（T）、v（T））- E-RTB（t，S（t），v（t））=ZTte-ruLvSBS（u，S（u），v（u））du+ZTte-汝SBS（u，S（u），v（u））θ（u，S（u），σ（u））ρdW（u）+p1- ρdB（u）+中兴通讯-罗斯（美国）SBS（u，S（u），v（u））dM（u）+ZTte-罗斯（美国）SBS（u，S（u），v（u））L（u，S（u），σ（u））du- σ（u）du+中兴通讯-汝S（u）sS（u）SBS（u，S（u），v（u））d[M，M]（u）+ρZTte-ruθ（u，S（u），σ（u））sS（u）SBS（u，S（u），v（u））d[W，M]（u）。通过条件实验并乘以ert，我们得到：Et[e-r（T）-t） BS（t，S（t），v（t））]=BS（t，S（t），v（t））+Et“ZTte”-r（u）-t） S（u）SBS（u，S（u），v（u））L（u，S（u），σ（u））du-σ（u）du#+Et“ZTte-r（u）-（t）S（u）sS（u）SBS（u，S（u），v（u））d[M，M]（u）#+ρEt“ZTte-r（u）-t） θ（u，S（u），σ（u））sS（u）SBS（u，S（u），v（u））d[W，M]（u）#。备注3.2。

在[2]中，为X（t）=logs（t）o~G（t，X（t），σ（t））定义了以下运算符：=十、- 十、b（t，X（t），σ（t））.o~H（t，X（t），σ（t））：=十、- 十、b（t，X（t），σ（t））.o~K（t，X（t），σ（t））：=十、- 2.x+十、BS（t，X（t），σ（t））。我们观察到oG（t，X（t），σ（t））=G（t，S（t），σ（t））。oK（t，X（t），σ（t））=K（t，S（t），σ（t））。o~H（t，X（t），σ（t））=H（t，S（t），σ（t））。备注3.3。我们将[2]中的分解公式推广到了genericSDE（1）。当我们应用It微积分时，我们意识到Feynman-Kac公式吸收了一些出现的术语。最后，我们制定了三个新条款来调整价格。需要注意的是，这种技术适用于任何支付或任何满足费曼-卡克公式的扩散模型。备注3.4。注意，当θ（t，S（t），σ（t））=σ（t）S（t）（即股票价格遵循指数过程）时，那么v（t）=BS（t，S（t），v（t））+Et“ZTte-r（u）-t） K（u，S（u），v（u））d[M，M]（u）#+ρEt“ZTte-r（u）-t） σ（u）H（u，S（u），v（u））d[W，M]（u）#，以及术语“ZTte”-r（u）-t） S（u）SBS（u，S（u），v（u））L（u，S（u），σ（u））- σ（u）杜#消失了。事实上，我们将证明，由于使用费曼-卡克公式，这一点正在出现。资产变动+波动率变动=θ（u，Su）SBS（u，S（u），v（u））du+σBS（u，S（u），v（u））dv（u）=σ（u）S（u）SBS（u，S（u），v（u））du+S（u）SBS（u，S（u），v（u））（dM+vdu- σdu）=S（u）SBS（u，S（u），v（u））（dM+vdu）在哪里（u）SBS（u，S（u），v（u））vis用于费曼-卡克配方和“ZTtS”SBS（u，S（u），v（u））dM#=0.4泛函It微积分的基本元素。在本节中，我们将介绍[5,6,7,8]中开发的功能It微积分。设X:[0，T]×Ohm 7.-→ R成为一个It流程，即。

定义在过滤概率空间上的连续半鞅(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P），其中W是布朗运动，μ（T）和σ（T）分别是L中的连续过程(Ohm ×[0，T]）和L(Ohm ×[0，T]）。我们定义了（[0，T]，R）cadlag函数的空间。给定路径x∈D（[0，T]，R），我们将其限制表示为x到[0，T]。对于h≥ 0，水平延伸xt，他定义的asxt，h（u）=xt（u）=x（u），u∈ [0，t[；xt，h（u）=x（t），u∈ （t，t+h）（7）和垂直延伸asxht（u）=xt（u）=x（u），u∈ [0，t[；（8）xht（t）=x（t）+h，即xht（u）=x（u）+h{t=u}。一个过程是Y:[0，t]×R→ R、 X的自然过滤可以用asY（t）=F（t，{X（s），0来表示≤ s≤ t} ）=F（t，Xt）对于某个可测泛函F:[0，t]×D（[0，t]，R）→ R.让F∞是局部lipschitz泛函关于上确界onD（[0，t+h]，R）范数的空间，也就是说，它存在一个常数C>0，这样对于任何紧的和对于任何x∈ D（[0，t]，K）和y∈ D（[0，t+h]，K）我们有| F（t，xt）- F（t+h，yt+h）|≤ C | | xt，h- yt+h||∞.在这个框架下，我们有了衍生的下一个定义：定义4.1。（水平导数）函数F的水平导数∈ F∞at t定义为dtf（t，xt）=limh→0+F（t+h，xt，h）- F（t，xt）h.（9）定义4.2。（垂直导数）函数的垂直导数∈ F∞at t定义为：xF（t，xt）=limh→0+F（t，xht）- 当然，我们可以把迭代导数看作xx。我们还有下面的公式，适用于非预期泛函：定理4.3。

（函数公式）对于任何非预期函数∈ F∞还有什么t∈ [0，T]我们有f（T，Xt）- F（0，X）=ZtDuF（u，Xu）du+ZtxF（u，Xu）dX（u）+ZtxxF（u，Xu）d[X，X]（u），提供DtF，xF和xxF属于F∞.证据参见[6,7]。5使用泛函微积分的一般分解。在本节中，我们将函数It演算技术应用于寻找看涨期权价格分解的问题。分解问题是一个预期路径依赖的问题，通过对波动过程的巧妙选择，我们可以将其转化为非预期的B-lack-Scholes公式。人们很自然地会想，它所包含的函数演算是否会给这个问题带来一些新的内幕。我们考虑函数lf（t，S（t），σt）=e-rtBS（t，S（t），f（t，σt）），其中σ是路径依赖过程，f∈ F∞是一种非预期功能。在这个框架下，我们使用函数演算来计算导数，并根据经典的BlackScholes导数来编写它们。我们必须认识到，为了简单起见，新的衍生工具是根据过程的方差而不是波动性来计算的。备注5.1。如果 表示经典导数，我们有：o备选织女星：σF=e-rtfBS（t，S（t），f（t，σt））σf（t，σt）。o瓦纳替代品：σ、 SF=f、 SBS（t，S（t），f（t，σt））σf（t，σt）。o另类Vomma：σ、 σF=e-rtf、 fBS（t，S（t），f（t，σt））σf（t，σt）- E-rtfBS（t，S（t），f（t，σt））σf（t，σt）。o备选θ：DtF=-重新-rtBS（t，S（t），f（t，σt））+e-rttBS（t，S（t），f（t，σt））+e-rtfBS（t，S（t），f（t，σt））Dtf（t，σt）。定理5.2。

（分解公式）适用于所有t∈ [0，T），S（T）和f（T，σT）>0我们有v（T）=BS（T，S（T），f（u，σT））+Et“ZTte-r（u）-t） f（u，σu）τG（u，S（u），f（u，σu））Duf（u，σu）du#+Et“ZTte-r（u）-t） G（u，S（u），f（u，σu））L（u，S（u），σu）- f（u，σu）du#+Et“ZTte-r（u）-t） f（u，σu）τK（u，S（u），f（u，σu））df（u，σu），f（u，σu）#+ ρEt“ZTte-r（u）-t） L（u，S（u），σ（u））H（u，S（u），f（u，σu））f（u，σu）τdW（u），f（t，σu）#.证据