高频金融数据中的异常波动率标度

EMD作为去趋势和05/05/14 10/06/14 18/07/14 25/08/14 30/09/14 05/11/147.57.527.547.567.587.67.62对数价格的有效性S&P 500-202x10-3IMF1-101x10-3IMF2-202x10-3IMF3-202x10-3IMF4-505x10-3IMF5-202x10-3IMF6-202x10-3IMF7-505x10-3IMF8-0.0100.01IMF9-505x10-3IMF10-0.0100.01IMF11-0.0100.01IMF12-0.0100.01IMF13-0.0100.01IMF14-0.0200.02IMF15-0.0500.05IMF16-0.0200.02IMF1705/05/14 10/06/14 18/07/14 25/08/14 30/09/14 05/11/147.57.557.6Res图3：顶部：2014年5月5日至2014年11月5日期间标准普尔500指数的对数价格时间序列。底部：17个IMF和通过记录价格EMD获得的剩余物。国际货币基金组织周期/分钟国际货币基金组织周期/小时国际货币基金组织周期/天1.6 9 1.14 1.12 2.8 10 1.9 15 2.23 4.9 11 3.0 16 4.34 8.4 12 5.9 17 11.65 13.0 13 11.7 18剩余19.37 28.88 41.7表3：从标准普尔500指数获得的国际货币基金组织周期。05/05/14 10/06/14 18/07/14 25/08/14 30/09/14 05/11/147.57.557.67.65对数P价格图4：标准普尔500指数的对数价格时间序列（蓝线）。红色线表示数据的“趋势”，计算为残差加上最后一个IMF之和。平滑工具如图4所示。在该图中，将原始时间序列（蓝线）与“趋势”（r ed线）进行比较，其计算方法为残留物加上最后一个成分的总和。在前一节中，我们讨论了对于fBm，EMD在IMF的方差对数值与其各自的振荡周期之间产生线性关系（方程式6）。我们测试了这种关系是否也适用于财务数据。在图5中，我们展示了从S&P500指数（红色钻石）获得的IMF的方差对数对数曲线图，它是周期函数。估计的缩放指数的值为h*= 0.5 5. 通过测定系数R=0.9 92来估计线性拟合的优度。

我们可以得出结论，该指数满足确定系数是被依赖变量和自变量之间相关关系的平方。该系数的值范围为0到1，其中1表示数据和线性模型之间存在缺陷，例如[41]。τ-9-8-7-6-5-4-3S&P500标准普尔500线性函数图5:IMF方差作为标准普尔500指数EMD周期函数的对数图。红线代表最佳最小二乘线性函数。线性函数的优度为R=0.992。方程6的线性关系，但标度指数H*= 0.55，不同于布朗运动，H=0.5。我们对其他股票指数进行了相同的分析，发现两者都存在显著的布朗运动偏差（H*6=0.5）以及与等式6的标度定律的偏差。在表4中，我们报告了关于每个财务指标分解的更多细节。我们包括IMF的数量和公式3中描述的ort ho Gonality指数。我们观察到IO值很小，表明几乎是正交分解。此外，我们还报告了每个股票市场指数的估计指数和线性拟合优度。尽管测定系数均高于0.94，但我们将很快讨论观察到的显著线性偏差（fBm行为），尤其是在欠发达市场。现在，让我们更详细地讨论股票市场中发现的标度定律与布朗运动（Bm）中预期的标度之间的偏差。利用这个im，我们生成了N=100条Bm路径，长度T等于分析的股票市场指数（见表2）。

我们将EMD应用于每个模拟，并获得其各自的固有振荡，表示为IMFBmik，指数#IMFs IO×10RH*7.0.989 9 0 0.9 9 9 9 9 9 0 0 0.9 9 9 9 9 0 0.9 9 9 9 9 10 0.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 555BUX 19 4.2 0.970 0.542HSI 19 1.0 0.969 0.554AEX 21 13 0.9680.558纳斯达克20 5.1 0.960 0.530日经225 22 8.4 0.959 0.544JSE 19 2.9 0.956 0.518KLSE 22 0.77 0.943 0.54 0STI 21 2.6 0.942 0.522表4：股票市场指数，包括将EMDT应用于对数价格时获得的IMF数量。第二列报告正交性指数（×10）。股票市场指数按R的降序报告，这代表了方程6线性拟合的良好性。最后一列报告估计的指数H*同样的方程式。i=1，2，10 0，k=1，2，ni，带有每个BM模拟的IMF数。为了比较从金融指数X中提取的IMF的var（IMFXk）与var（IMFBmik）之间的差异，我们将其重新标度为：\\var（IMFBmik）=civar（IMFBmik），（7）其中ci=nnPk=1（var（IMFXk）/τXk）niniPk=1（var（IMFBmik）/τBmik）。（8） τ-9-8-7-6-5-4-3S&P 500S&P 500线性函数图6：标准普尔500 IMF（reddiamonds）与斜坡H的100个重新标度Bm线性函数相比，作为周期函数的方差对数图*= 0.5（蓝线）。对于重标度var（IMFBmik），我们估计了方程式6的截距常数Coixing H=0.5。在图6中，我们展示了所有这100条浅蓝色直线。在同一张图中，我们绘制了从标准普尔500指数中提取的IMF方差，如图5所示。

我们观察到，标准普尔500指数的布朗运动线性系数（蓝线）和线性系数（红线）彼此接近，表明在这个市场上有着高效的行为。财务数据点（红色钻石）和每个布朗运动线性点（蓝色线）之间的线性度计算如下：RBmi=1-nPk=1日志变量IMFXk- 日志ciciτXknPk=1[log（var（IMFXk））- hlog（var（IMFXk））i]。（9） 从股票指数X中提取的IMF数量用n表示，H·i表示这些n IMF方差的平均值。通过线性拟合优度的平均值计算f romBm的偏差，即我们计算hRBmi=nPi=1RBmi。对于标准普尔500指数，我们得到的系数等于hRBmi=0.979，证明了该金融指数的标度特性与布朗运动之间的相似性。4.1. 股票市场的标度特性在上一节中，我们介绍了两种度量方法，用于量化分形布朗运动和布朗运动标度特性的偏差。这些措施包括：1。R、 周期对数与从股市指数获得的IMF方差对数之间的确定系数（相关平方）。2.hRBmi，从财务数据获得的IMF方差与布朗运动模拟的每个线性函数之间的相关平方残差的平均值。在表5中，我们报告了22个股票市场指数的hRBmi值。为了比较，我们重复了这些右值。本表最后一列显示了市场的顺序（如果R用作排名指标）。标准普尔500指数在这两个等级中排名最高。发达市场往往排在榜首，但一些例外情况可能来自2014年5月5日至2014年11月5日这段分析时间的特定特征。

在图7中，我们绘制了财务市场排名。单杠代表RBMIDI分布的第5和95个百分位。每个条内的蓝色do t表示表5中报告的平均值HRBMI。尽管一些金融股票指数具有相似的RBmi值，但我们可以认识到发达市场和新兴市场之间的统计显著差异，观察到发达市场呈现更大的hRBmi值和更小的分布的明显趋势。为了直观地观察一些股票市场的异常规模，并理解结果差异的根源，我们更详细地比较了纳斯达克（美国）、波维斯帕（巴西）、日经225（日本）和DSM（卡塔尔）指数的情况。对于纳斯达克指数（美国），我们获得了20个IMF和一个ESI到期日。在图8（a）中，我们给出了对数价格时间序列（蓝线）和由剩余值加上最后一个IMF（红线）组成的“趋势”。在图8（b）中，weCountry指数RBmRankhRBmiRRankRUSA标准普尔500指数0.979 1 0.992 1巴西BOVESPA 0.977 2 0.989 2英国金融时报0.973 0.977 8土耳其股票指数100 0.972 0.985 4意大利金融时报MIB 0.971 5 0.987 3法国CAC 40 0.970.984 6西班牙IBEX 0.969 0.973 10中国证券交易所0.967 0.971 12俄罗斯RTSI 0.964 0.985匈牙利证券交易所0.963 10 0.970.970.970 15M欧洲进出口银行IPC 0.9600.9600香港纳斯达克美国证券交易所0.960.960.980.980荷兰纳斯达克950.950.980.980.980.9800.953 14 0.96 8 17南非JSE 0.952 15 0.956 20日本日经225 0.949 16 0.959 19希腊ASE 0.948 17 0.974 9波兰WIG 0.947 18 0.973 11阿联酋0.939 19 0.978 7新加坡STI 0.934 20 0.942 22马来西亚KLSE 0.933 21 0.943 21卡塔尔DSM 0.928 22 0.971 13表5：股票市场指数按降序排列RBm.

最后一列显示了市场的顺序，与R.0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98S&P 500BOVESPAFTSEXU 100FTSE MIBCAC 40IBEX SSERTSIBUXIPCHSI NASDAQAEXJSENIKKEI 225ASEIGUAEDSTIKLSEDSMR2B miFigure 7：所分析股票市场指数的RBMIDI分布的百分位数5和95。每个条内的蓝点表示RBm用于金融市场排名。05/05/14 10/06/14 18/07/14 22/08/14 30/09/14 05/11/148.168.188.28.228.248.268.288.38.328.34对数价格（a）τ-9-8-7-6-5-4-3纳斯达克线性系数（b）图8：纳斯达克指数的EMD分析。图（a）和图（b）的标题分别与图（4）和图（6）的标题相同。观察方程6的线性关系的偏差是显著的。因此，周期和方差之间的对数关系并不完全满足。由此得出的确定系数R=0.960，将该指数排在第18位。此外，与Bm相比，我们发现大多数成分偏离Bm线性特征（蓝线）。我们还注意到，组分（21）的总数量比均匀规模的过程预期的要大，即对数（100620）=16.6。这些额外振荡的存在和减少的方差表明一个比Bm更复杂的结构。与BM模型的偏差，由系数hRBmi=0.958量化，将该指数排在第13位。BOVESPA指数（巴西）的方差标度特性如图9所示。对于该股票指数，EMD识别出的长期周期的方差大于Bm的预期值，见图9（b）。然而，IMF方差的对数值与周期之间的线性关系一般良好，R=0.989。

Bm模拟之间的线性函数的优点是hRBmi=0.977，将该指数置于第二位。对这个市场如此好的预测可能出乎意料，但我们必须强调，它只反映了六个月的观察期。从图9（a）中，我们可以看到这是一段随机但平静的时期。05/05/14 06/06/14 23/07/14 27/08/14 01/10/14 05/11/1410.7510.810.8510.910.951111.0511.1对数价格（a）τ-8-7-6-5-4-3-2波维斯帕线性函数（b）图9：波维斯帕指数的EMD分析。图（a）和图（b）的标题分别与图（4）和图（6）的标题相同。对于日经225指数（日本），我们获得了22个IMF和一个残差。与纳斯达克指数类似，组成部分的数量比Bm预期的要多，即log（75600）=16.2。这些许多振荡，特别是高频成分，会产生一种偏离Bm的非线性行为。鉴于该股票指数的异常标度行为，见图10（b），我们得出hRBmi=0.949，排名第16位。最后，DSM股票指数（卡塔尔）如图11所示。logprice时间序列及其各自的“趋势”如图11（a）所示。在图11（b）中，我们观察到方程6的线性较差，其特征是有相当大的陡坡。我们得到R=0.971，将该指数排在最低位置。此外，如果我们将其IMF变量与Bm线性函数进行比较，我们会发现大多数方差值（红色钻石）都超出了Bm的预期范围。低频分量的巨大差异表明存在重要的长周期周期。鉴于其与Bm行为的偏差，该指数在hRBmi=0.928.5的测量值中排名最低。

结论我们探索了EMD的标度特性，EMD是一种将时间序列分解并分离为一组振荡分量的算法，称为IMFs07/05/14 11/06/14 16/07/14 21/08/14 29/09/14 05/11/149.59.559.69.659.79.75Log P rices（a）τ-8-7-6-5-4-3nikkei-NIKKEI-NIKKEI-tBM-linear fits（b）图10：日经225指数的EMD分析。图（a）和图（b）的标题分别与图（4）和图（6）的标题相同。05/05/14 08/06/14 13/07/14 21/08/14 24/09/14 05/11/149.39.359.49.459.59.559.69.65对数价格（a）τ-9-8-7-6-5-4-3DSMDSM线性函数（b）图11:DSM指数的EMD分析。图（a）和图（b）的标题分别与图（4）和图（6）的标题相同。与特定的时间尺度相关。我们的经验表明，FBM遵循一个标度定律，该定律与方差的对数和IMF周期的对数hm成线性关系。对于fBm，我们证明了提取的比例系数等于标度指数H乘以2。当应用于股票市场指数时，EMD揭示了不同的标度律，这些标度律可能显著偏离布朗运动和分数布朗运动行为。第五部分，我们认为高频金融数据的EMD导致的IMF数量比布朗运动的预期数量要多。这些许多成分，特别是高频成分，产生的曲率与fBm中发现的IMF方差和周期之间的对数-对数关系中的线性不符。这是异常缩放的直接迹象，它揭示了金融数据中比自相似过程中更复杂的结构。在这项研究中，我们将EMD应用于22种不同的股票指数，并观察到发达市场（欧洲和北美市场）的标度特性更接近布朗运动特性。

相反，在一些新兴市场，如马来西亚和卡塔尔，观察到与统一标度法的较大偏差。这些发现与发达市场和新兴市场的明显特征一致，前者更可能表现出有效的行为，例如[18,42]。与之前的方法相比，EMD方法具有直接量化具有强偏差的周期性成分的优势，为理解市场效率的起源提供了进一步的工具。感谢作者感谢彭博社提供的数据。NN希望感谢墨西哥国家石油公司的财政支持。TDM感谢成本行动TD1210对这项工作的部分支持。TA感谢英国经济和社会研究委员会（ESRC）对系统性风险中心的资助[ES/K002309/1]。参考文献[1]M.M.Dacorogna，R.Gen,cay，U.M¨uller，R.B.Olsen，O.V.Pictet，《高频金融研究》，学术出版社，圣地亚哥，2001年。[2] M.Bartolozzi，C.Mellen，T.Di Matteo，T.Aste，不同期货市场的多尺度相关性，欧洲物理杂志B 58（2）（2007）207-220。[3] B.Mandelbrot，《某些投机价格的变化》，商业期刊36（1963）394。[4] B.Mandelbrot，H.M.Taylor，关于股价差异的分布，运筹学15（6）（1967）1057–1062。[5] U.A.Muller，M.M.Dacorogna，R.B.Olsen，O.V.Pictet，M.Schwarz，C.Morgenegg，外汇汇率统计研究，价格变化比例律的经验证据和日内分析，O.fBanking&Finance 14（6）（1990）1189–1208。[6] R.Gen,cay，F.Sel,cuk，B.Whitcher，外汇波动的标度特性，Physica A:统计力学及其应用289（1-2）（2001）24 9–266。[7] R。

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