高频金融数据中的异常波动率标度

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英文标题：
《Anomalous volatility scaling in high frequency financial data》
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作者：
Noemi Nava, T. Di Matteo, Tomaso Aste
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Volatility of intra-day stock market indices computed at various time horizons exhibits a scaling behaviour that differs from what would be expected from fractional Brownian motion (fBm). We investigate this anomalous scaling by using empirical mode decomposition (EMD), a method which separates time series into a set of cyclical components at different time-scales. By applying the EMD to fBm, we retrieve a scaling law that relates the variance of the components to a power law of the oscillating period. In contrast, when analysing 22 different stock market indices, we observe deviations from the fBm and Brownian motion scaling behaviour. We discuss and quantify these deviations, associating them to the characteristics of financial markets, with larger deviations corresponding to less developed markets.
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中文摘要：
在不同时间范围内计算的日内股票市场指数的波动性表现出一种标度行为，与分数布朗运动（fBm）的预期不同。我们使用经验模式分解（EMD）来研究这种反常的标度，EMD是一种将时间序列划分为一组不同时间标度的周期性分量的方法。通过将EMD应用于fBm，我们获得了一个标度律，该标度律将各分量的方差与振荡周期的幂律联系起来。相比之下，在分析22种不同的股票市场指数时，我们观察到了与fBm和布朗运动标度行为的偏差。我们讨论并量化这些偏差，将其与金融市场的特征联系起来，与欠发达市场相对应的较大偏差相关联。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Anomalous_volatility_scaling_in_high_frequency_financial_data.pdf (1.43 MB)

2022-5-8 00:07:32 上传

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关键词：金融数据 波动率 Quantitative Applications Computation

高频金融数据中的异常波动率标度Noemi Navaa，c，*, T.Di Matteob，Tomaso Astea，伦敦大学学院计算机科学学院，伦敦高尔街，WC1E 6BT，伦敦国王学院数学系，伦敦斯特兰德，WC2R 2LS，英国系统风险中心，伦敦经济和政治科学学院，伦敦，WC2A 2AE，在不同时间段计算的日内股市指数的波动性抑制了一种标度行为，与分数布朗运动（fBm）的预期不同。我们通过使用经验模式分解（EMD）来研究这种异常规模，EMD是一种在不同时间尺度上将时间序列分离为一组周期性成分的方法。通过将EMD应用于fBm，我们获得了一个标度律，该标度律将各分量的方差与振荡周期的幂律联系起来。相比之下，在分析22种不同的股票市场指数时，我们观察到了偏离OFBM和布朗运动尺度行为的情况。我们讨论并量化这些偏差，将其与金融市场的特征联系起来，与欠发达市场相对应的较大偏差。关键词：经验模式分解，赫斯特指数，多尺度，市场效率。1.简介过去几年，金融市场见证了高频率采样数据的可用性和广泛使用。研究这些*相应的authorEmail地址：n.morales。11@ucl.ac.uk（Noe mi Nava），tiziana。di_matteo@kcl.ac.uk（T.迪马特奥）。aste@ucl.ac.uk（Tomaso Aste）提交至2015年12月17日的预印本数据允许识别金融市场的日内结构[1,2]。这些频率下的数据具有动态特性，这些特性不是由单个过程生成的，而是由几个相互叠加的组件生成的。

这些成分并不是很明显，但一旦确定，它们就可以有意义地归类为噪声、不同时间尺度的周期和趋势[1]。自Mandelbrot的早期工作[3,4]以来，人们认识到不同的时间尺度以自相似（分形）的方式导致金融时间序列的复杂性。在许多研究中观察到了不同频率的财务数据的经验特性，例如[5,6,7,8,9]。根据随机游走假设[10]，中央市场动态可以用随机游走来描述，随机游走是一个自相似过程，其标度exp-onent（赫斯特指数）H=0.5[11]。与这一理论相反，彼得斯[12]引入了分形市场假说（FMH），该假说通过分形布朗运动（fBm）来代表金融市场动态，这是一个标度指数为0<H<1的自相似过程。FMH的重点在于代理人与不同投资领域的互动，以及对信息的不同解读。基于这一理论，异质市场模型解释了金融市场中观察到的一些程式化事实（如波动性聚集、峰度、收益率的肥尾、幂律行为），参见示例[13、14、15、16]。在自相似单标度过程中，如fBm，所有时间标度都有一定的贡献，并且存在一种特殊关系，将不同时间标度的统计特性联系起来[17]。然而，真实金融时间序列具有更复杂的标度模式，一些时间尺度的贡献不成比例；这些模式描述了多尺度过程，其统计特性在每个时间尺度上都有所不同[18、19、20、21、22]。金融数据中的标度律知识有助于我们理解市场动态[23,24]，这可以被解释为构建高效、可操作的交易策略。

在本文中，我们使用经验模式分解（EMD），黄[25]介绍的一种算法，将日内金融时间序列分解为一个趋势和一组有限的简单振荡。这些振荡被称为内在模式f函数（IMF），与时间序列中潜在周期的时间尺度有关。EMD为探索性分析提供了一种工具，同时考虑了数据的精细结构和粗略结构。这种分解已被广泛应用于许多领域，包括金融时间序列分析[26,27,28,29,30]、河流流量[31]、风速[32]、心率变异性[33]等。在本文中，我们首先将EMD应用于fBm，揭示了IMF周期和变量之间的幂律标度，标度指数与赫斯特指数相关。然后，我们将EMD应用于22种不同的股票市场，这些股票的价格在6个月的时间跨度内以30秒的间隔进行采样。在这种情况下，我们会遇到比fBm更复杂的标度律。对fBm行为的偏差进行量化，并将其解释为异常的多尺度行为。本文的组织结构如下。在第2节中，我们将介绍EMD。在第3节中，我们介绍了fBm的方差标度特性。在第4节中，我们介绍了高频财务数据的应用。最后，我们总结了第5.2节。经验模式分解经验模式分解是一种完全数据驱动的分解，可应用于非统计和非线性数据[25]。与傅里叶变换和小波变换不同，EMD不需要任何先验滤波函数[34]。该方法的目的是识别具有由数据本身的局部极大值和极小值定义的尺度的振荡单元集。每一个振荡都是从数据中经验得出的，并被称为固有模式函数。

IMF必须满足两个标准：1。极值数和零交叉数必须等于或最多相差1。2.在任何一点上，由局部极大值定义的包络和由局部极小值定义的包络的平均值均为零。IMF是通过一个过程获得的，该过程利用局部极值和从最高频率开始的独立振荡。因此，给定atime系列x（t），t=1，2。。。，T，该过程将其分解为有限个固有模式函数，表示为IMFk（T），k=1。。。，n和一个剩余n（t）。如果分解后的数据a由f频率空间中的均匀尺度组成，则EMD充当并矢滤波器，IMF的总数为n=对数（T）[35]。余数是数据的非振荡漂移。在分解过程结束时，原始时间序列可以被构造为：x（t）=nXk=1IMFk（t）+rn（t）。（1） EMD包括以下步骤：1。将余数初始化为原始t时间序列r（t）=x（t），并设置IMF索引k=1.2。提取kthIMF：（a）初始化h（t）=rk-1（t）且迭代计数器i＝1；（b） 找到hi的局部极大值和局部极小值-1（t）；（c） 通过在最大值（分别为最小值的下包络El（t））之间插值，创建上包络Eu（t）；（d） 将两个信封的平均值计算为mi-1（t）=Eu（t）+El（t）；（e） 从输入时间序列中减去包络线平均值，得到hi（t）=hi-1（t）- 惯性矩-1（t）；（f） 验证hi（t）是否满足国际货币基金组织的条件：o如果hi（t）不满足国际货币基金组织的条件，增加i=i+1，并重复步骤（b）中的筛选过程如果hi（t）满足国际货币基金组织的条件，则设置IMFk（t）=HIA和定义rk（t）=rk-1（t）- IMFk（t）。

当剩余rk（t）为常数、单调斜率或仅包含一个极值时，停止该过程，否则从第2步继续分解，设置k=k+1。理论上无法保证正交性，但在大多数情况下，正交性是令人满意的[25]。将残基作为最后一个组分，将方程1改写为x（t）=n+1Pk=1Ck（t），x（t）值的平方可以表示为：x（t）=n+1Xk=1Ck（t）+n+1Xj=1j6=kn+1Xk=1Ck（t）Cj（t）。（2） 如果分解是正交的，交叉项应该是零。正交性指数（IO）定义为[25]：IO=TXt=1n+1Pj=1j6=kn+1Pk=1Ck（t）Cj（t）x（t）。(3)3. 自相似标度指数自相似或标度不变性是许多自然法则的属性，也是分形的基本概念。自相似性与不同时间尺度下相似模式的出现有关。从这个意义上说，当在不同的时间尺度上观察过程时，自相似过程的概率特性保持不变[36,37,38]。随机过程X（t）在统计上是自相似的，标度指数为0<H<1，如果对于任何实际A>0，它遵循标度律：X（at）d=aHX（t）t∈ R、 （4）式中等式（d=）为概率分布[38]。自相似过程的一个例子是分数布朗运动（fBm），这是一个随机过程，其特征是正标度指数0<H<1[39]。当0<H<时，fBm被认为是具有负自相关增量的抗p持久性。对于<H<1的情况，fBm反映了一种持续的行为，并且增量是正自相关的。当H=时，fBm被简化为一个具有独立增量的过程，称为布朗运动。3.1. 基于EMD的标度指数Flandrin等人。

[40]经验表明，当分解分形高斯噪声（fGn）时，fBm的微分过程[39]，如果H>的话，EMD可以用来估计标度指数H。作者确定了跨IMFs的方差进展满足var（IMFfGnk）∝ τ2（H）-1） k，其中函数τk表示第k个IMF的周期。在本文中，我们采用了与[40]类似的方法，但没有将EMD应用于fGn，而是考虑了其集成过程fBm。我们的经验表明，类似的标度定律适用于IMF的方差：var（IMFfBmk）∝ τ2Hk。（5） 因此，对于fBm和fGn，IMF方差允许其特定振荡周期的幂律缩放行为，而缩放周期τkc可以近似为数据点总数除以每个IMF的零交叉总数。参数与赫斯特指数有关。H的EMD估计值可以通过方差对数上线性回归的斜率来确定，该斜率是周期对数的函数，即对数var（IMFfBmk）= 2H log（τk）+log（c），（6），其中cis是线性回归的截距常数。在下一节中，我们将提供支持方程式6.3.2的模拟结果。FBm模拟分析为了验证公式5的经验标度定律，我们生成了n=100的FBm过程，标度指数h=0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8和0.9。模拟过程有两种不同的长度，T=10000和T=10000。我们将EMD应用于每个fBm模拟，并计算其各自的H*经验。在表3.2中，我们报告了hH*ifBm，100个估计值的平均值。我们还报告了估计量的均方根误差（R MSE），RMSE=sNPi=1（H*我-H） N.我们观察到，分析的时间序列越长，H的估计就越好。

对于长度T=100000，hH*IfBmi非常接近缩放指数H（对于H的所有值）。在图1中，我们绘制了H的平均值*如表3.2所示。误差条代表估计器的RMSE。我们要强调的是，我们不建议将EMD作为估计赫斯特指数的一种方法，而是将其作为分析数据a中不同时间尺度之间相互作用的一种工具。为了进行比较，我们使用广义指数法估计赫斯特指数[19]。在表3.2中，我们将该估算值的平均值和RMSE表示为HG。此外，为了可视化方程6的线性关系，我们明确展示了对数（var（IMFfBmk））和对数（τk）之间的关系，用于标度指数H=0.6和长度T=10000点的fBm模拟，见图2。在这个例子中，得到的估计量是H*= 0.593，准确接近模拟过程的标度指数。所有的fBm路径都是使用MATLABR生成的小波工具箱。10000 100000小时*我是谢*hHGi RM SEHGhH*我是谢*hHGi RM SEHG0。0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79 0.010.78 0.04 0.79 0.020.9 0.90 0.05 0.88 0.030.87 0.04 0.87 0.03表1：证实式3的经验标度律给出了分数布朗运动的预期标度指数。标度指数H的平均值*参数H=0.1,0.2，0.9和长度：左T=10000，右T=100000。

为了进行比较，我们将广义赫斯特指数估计值的均值和RMSE表示为HG。H0。1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.10.20.30.40.50.60.70.80.9HhH*ifBmH0。1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.10.20.30.40.50.60.70.80.9HhH*IFBM图1：证明公式3的经验标度律检索分数布朗运动的预期sca指数。标度指数H的平均值*超过100次fBm模拟，参数H=0.1,0.2，0.9和长度：左T=10000，右T=100000。误差条表示估计器的RMSE。τ-3-2-1图2:H=0.6且长度T=10000的fBm的IMF方差作为周期函数的对数图。蓝线代表最小二乘法。标度指数h*= 0.593可从最小平方的一半斜率中恢复。4。日内财务数据的方差缩放我们分析了22种不同股票市场指数的日内价格。该数据集摘自彭博社，涵盖2014年5月至2014年11月5日的6个月。每30秒记录一次价格。我们不包括周末和假日。每个交易日的工作日数和点数取决于每个股票交易所的开放时间。经分析的股票市场指数列表如表2所示。我们将EMD应用于每个金融时间序列的对数价格。为了清楚起见，在本节中，我们只关注标准普尔500指数的分解，但对其他股票市场指数也进行了类似的分析。对于标准普尔500 lo g-price时间序列，我们提取了17个IMF和一个残差，用于描述原始信号的局部周期性变化，并在不同的时间尺度上表示。

War saw股票交易所指数（WIG）的原始对数价格-时间序列价格仅在每分钟一次的频率下可用。国家指数长度巴西BOVESPA 105000中国SSE 60480法国CAC 40 136080希腊ASE 106470香港恒生指数98154匈牙利BUX 122880意大利FTSE MIB 133056日本日经225 75600马来西亚KLSE 115320墨西哥IPC 100620荷兰AEX 130680波兰WIG 64680卡塔尔DSM 52080俄罗斯RTSI 133120新加坡STI 123840南非ica JSE 117500西班牙IBEX 13 5527土耳其XU 100 91760阿联酋60000英国FTSE 130，560美国标准普尔500 99840美国纳斯达克100620表2：包括时间序列长度的股票市场指数。其IMF如图3所示。在这张图中，我们观察到波动性的时间集群，这些集群表征了一些组成部分，例如，时间序列末端的高波动性可以明显地看到不包含2、3、4、6和7的部分。表3列出了IMF周期，其计算方法为数据点总数除以过零点总数。这些时间段被转换成分钟、小时和天。最快的组件周期为1.6分钟，而最慢的组件周期为11.6天。请注意，前12个IMF代表日内活动（6.5小时的交易），而其余IMF（从13日到17日）与日间周期相关。最后一种成分是EMD的残留物。时间序列的整体趋势由余数给出，每个成分都可以被视为前一个成分在较短时间尺度上的振荡趋势。