可转换债券的Dynkin博弈及其最优策略

下部障碍物大于上部障碍物，则σ*t=t，在这种情况下，投资者和公司将选择同时终止合同*t=θ*t=t，可转换键的值是Vt=γSt。因此，在下面我们只考虑St<K/γ的情况。命题2.4假设cs≤ rsK a.s.对s∈ [t，σ*t] 。然后，可转换债券的价值由Vt=Yt给出，其中y解决了以下反映的BSD E：Ys=max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}+Zσ*ts（铜）- 如玉）杜-Zσ*tsZudWu+Zσ*tsdK1，+u，Ys≥ γSs，代表s∈ [t，σ*t] ，Zσ*tt（Yu）- γSu）dK1，+u=0。（2.5）特别是，如果cs<rsK a.s∈ [t，σ*t] 当y<K时∈ [t，σ*t） 因此，最优策略为给定τ*t=σ*t、 θ*t=inf{s≥ t:Ys=γSs}∧ σ*t、 证据。我们首先证明≤ K on s∈ [t，σ*t] 。那么（Y，Z，K1，+，0）就是（2.4）的解。事实上，考虑以下辅助反射BSDE：\'Ys=K+Zσ*ts（ruK）- 如玉）都-Zσ*ts“ZudWu+Zσ*tsd\'K1，+u，\'Ys≥ γSs，代表s∈ [t，σ*t] ，Zσ*tt（\'Yu- γSu）d\'K1，+u=0，这显然有一个唯一的解（\'Ys，\'Zs，\'K1，+s）=（K，0，0）。从那时起≥ max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}和rsK- 瑞茜≥ 反恐精英- 瑞莎。s、 奥恩斯∈ [t，σ*t] ，反映BSDE的比较原则（见[8]）意味着≤\'\'Ys=s上的K∈ [t，σ*t] 。接下来我们展示了s上的Ys<K∈ [t，σ*t） 如果cs小于s上的rsK a.s∈ [t，σ*t] 。如果没有，就有出口∈ [t，σ*t） 这样Y\'s=K。注意，我们必须有Y\'s>γs（否则γs）≥ Y’s=K意味着‘s=σ*t） 。定义θ*\'s=inf{s≥ \'s:Ys=γSs}∧ σ*t、 那么Yθ*\'s=γsθ*\'s≤ K.由于Ys>γs和d\'K1，+s=0，在[\'s，θ*\'s），（2.5）就绪\'s=Yθ*\'s+Zθ*\'s\'s（铜）- 如玉）杜-Zθ*“s”sZudWu。考虑以下辅助BSDE：^Y′s=K+Zθ*\'s\'s（卢比）- 杜汝宇-Zθ*\'s\'s^ZudWu，它显然有一个唯一的解（^Ys，^Zs）=（K，0）。

那么BSDE的严格比较原则（见[7]）意味着Y’s<K。从上述命题来看，如果cs<rsK，则可转换债券的价值远远低于合同终止前的卖方价格K，因此在合同终止于σ之前，公司不会收回债券*t、 投资者总是会首先转换债券。命题2.5假设cs≥ s上的qsK a.s∈ [t，σ*t] 。然后，可转换债券的价值由Vt=Yt给出，其中y解决了以下反映的BSD E：Ys=max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}+Zσ*ts（铜）- 如玉）杜-Zσ*tsZudWu-Zσ*tsdK2，-u、 Y≤ K、 对于s∈ [t，σ*t] ，Zσ*tt（K）- Yu）dK2，-u=0。（2.6）特别是，如果cs>qsK a.s.在s∈ [t，σ*t] ，然后是Ys>s∈ [t，σ*t） 因此，最优策略由τ给出*t=inf{s≥ t:Ys=K}∧ σ*t、 θ*t=σ*t、 证据。我们首先证明≥ γ-s∈ [t，σ*t] 。然后（Y，Z，0，K2，-) 是（2.4）的解决方案。事实上，考虑以下辅助反射BSDE：\'Ys=γSσ*t+Zσ*ts（γ-quSu）- 如玉）都-Zσ*ts“ZudWu-Zσ*tsd’K2，-u、 \'Ys≤ K、 对于s∈ [t，σ*t] ，Zσ*tt（K）-“Yu）d”K2，-u=0，这显然有一个独特的解决方案（\'Ys，\'Zs，\'K2，-s） =（γSs，γσsSs，0）。因为γSσ*T≤ max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}，和γqsSs- 瑞茜≤ qsK- 瑞茜≤ 反恐精英- 瑞森s∈ [t，σ*t] ，比较原则意味着≥\'Ys=γs∈ [t，σ*t] 。接下来我们展示Ys>s∈ [t，σ*t） 如果cs>qsK a.s.在s上∈ [t，σ*t] 。如果没有，就有出口∈ [t，σ*t） 这样Y\'s=γs。注意，我们必须使Y\'s<K（否则γs=Y\'s）≥ K意味着‘s=σ’*t） 。定义τ*\'s=inf{s≥ \'s:Ys=K}∧ σ*t、 然后Yτ*\'s=K≥ γSτ*自Ys<K和d\'K2以来，-[s，τ]上的s=0*\'s），（2.6）re-adsY\'s=Yτ*\'s+Zτ*\'s\'s（铜）- 如玉）杜-Zτ*“s”sZudWu。考虑以下辅助BSDE：^Y′s=γsτ*\'s+Zτ*\'s\'s（γ曲素）- 杜汝宇-Zτ*\'s\'s^ZudWu，它显然有一个唯一的解（^Ys，^Zs）=（γSs，γσsSs）。

然后严格比较原则意味着Y’s>γs。根据上述命题，如果cs>qsK，可转换债券的价值vt严格大于合同终止前的转换价值γsts，因此投资者在合同终止于σ之前不会转换债券*t、 而企业总是会首先调用债券。通过重复2.4和2.5的证明中的论点，我们可以得出，如果qsK≤ 反恐精英≤ rsK。特别是，如果qsk<cs<rsK，则可转换债券的值vsk在接触终止前的（γSs，K）之间有界。因此，在合同终止之前，投资者不会转换债券，公司也不会收回债券*t、 命题2.6假设qsK≤ 反恐精英≤ rsK a.s.对s∈ [t，σ*t] 。然后，可转换债券的价值由Vt=Yt给出，其中y在[t，σ]上求解以下BSDE*t] ：Ys=max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}+Zσ*ts（铜）- 如玉）杜-Zσ*tsZudWu。（2.7）特别是，如果qsK<cs<rsK a.s∈ [t，σ*t） ，然后是Y∈ s上的（γSs，K）∈ [t，σ*t） 因此，最优策略由τ给出*t=θ*t=σ*t、 3可转换债券的最优策略在本节中，我们通过研究相应的调用/转换基础的性质，进一步考虑了马尔可夫情形下可转换债券的最优策略。假设3.1假设所有系数都是常数：ct=c，rt=r>0，qt=q，t的σt=σ∈ [0，T]。由于上述马尔可夫假设，我们知道存在一个函数V（S，t）S，如vt=V（St，t）。

定义以下域转换域CV={（S，t）∈ (0, ∞) ×[0，T）：V（S，T）=γS}；调用域CL={（S，T）∈ (0, ∞) ×[0，T）：V（S，T）=k6=γS}；连续域CT={（S，T）∈ (0, ∞) ×[0，T）：γS<V（S，T）<K}。转换域CV和延拓域CT之间的连线称为转换边界C（T），而调用域CL和延拓域CT之间的相交线称为调用边界H（T）。根据反射BSDE解和VI粘度解的Feynman-Ka C公式（见[8]第8节），命题2.4意味着≤ qK(≤ rK）然后V（S，t）=V（S，t），其中V使用状态约束解决以下VI：电视+LV=-c、 如果V>γS和（S，t）∈ DT，电视+LV≤ -c、 如果V=γS和（S，t）∈ DT，V（K/γ，t）=K，0≤ T≤ T、 V（S，T）=max{L，γS}，0≤ s≤ K/γ，（3.1），其中lv=σSSSV+（r）- q）SSV- rV，DT=（0，K/γ）×[0，T）。这里，DT是我们问题的有效域（状态约束），因为在[K/γ]域中，∞) ×[0，T），V（S，T）=γS，因此投资者总是会选择转换，[K/γ，∞)×[0，T） 个人简历此外，如果c<qK，命题2.4也意味着V（t，S）=Yt<K on（t，S）∈ DT。

因此，我们有∩ DT=O。同样，命题2.5暗示如果c≥ rK(≥ qK），然后V（S，t）=V（S，t），其中V使用状态约束解决以下VI：电视+LV=-c、 如果V<K和（S，t）∈ DT，电视+LV≥ -c、 如果V=K和（S，t）∈ DT，V（K/γ，t）=K，0≤ T≤ T、 V（S，T）=max{L，γS}，0≤ s≤ K/γ。（3.2）此外，如果c>rK，命题2.5也意味着V（t，S）=Yt>γS在（t，S）上∈ DT，所以CV∩DT=O。最后，如果qK≤ C≤ rK，然后V（S，t）=V（S，t），其中V解决了以下Dirichlet问题：电视+LV=-c、 在DT中，V（K/γ，t）=K，0≤ T≤ T、 V（S，T）=max{L，γS}，0≤ s≤ K/γ。（3.3）此外，强最大原理（见[9]）意味着V（t，S）=Yt∈ （t，S）上的（γS，K）∈ DT（不仅适用于qK<c<rK的情况）。因此，对调用/转换策略的分析归结为嵌入在上述三个P DE问题中的自由边界的性质。[23]研究了c>rK情况下的VI（3.2）。在这种情况下，持有者不会在域（S，t）中转换∈ DT，调用边界H（t）总是单调的（见图3.1）。因此，这个问题是相对标准的。案例qK的PDE（3.3）≤ C≤ rK是微不足道的，因为持有者不会转换，公司也不会调用域（S，t）∈ DT（见图3.2）。我们在附录B中留下了PDE（3.3）的显式解。在本文中，我们主要考虑c<qK情况下的VI（3.1）。这种情况下的情况更加复杂和复杂（见图3.3）- 3.5). 在这种情况下，转换边界C（t）甚至可能由于单数支付而失去单调性。oTooγS<V<KV=γSV=KtSoOoK/γCTCVCLH（T）C（T）γS<V<kv=γSoTtSoOoK/γCT CVC（t）图3.1。c>rK图3.2。qK≤ C≤ rKoTtSoOoK/γCT CVγS<V<kv=γSC（t）oTtSoOoK/γCT CVγS<V<kv=γSC（t）图3.3。

rL≤ c<qK，c>（α+-1） rKα+图3.4。rL≤ c<qK，c≤(α+-1） rKα+oTtSoOoL/γoK/γCT CVγS<V<kv=γSC（t）图3.5。C≤ rL（α）+- 1） /α+3.1转换边界的性质在这一小节中，我们证明了（3.1）的自由边界C（t）的性质，如它的位置、渐近性质、单调性、正则性等。我们首先在定理M3.1中证明了（3.1）：V的解不仅是粘性解，而且是强解∈W2，1p（DT）∩ C（DT），p>1。由于（3.1）是简并的，我们首先通过以下转换将其转换为熟悉的非简并VI：u（x，τ）=V（S，t），τ=t- t、 x=ln S- lnk+lnγ。（3.4）那么，检查u是否受τu- 如果u>Kexand（x，τ），则Lu=c∈ OhmTτu- 鲁≥ 如果u=Kexand（x，τ）∈ OhmT、 u（0，τ）=K，0≤ τ ≤ T、 u（x，0）=max{L，Kex}，x≤ 0，（3.5），其中Lu=σxxu+R- Q-σ徐- 茹，OhmT=(-∞, 定理3.1对于c<qK的情况，VI（3.5）有唯一的强解u∈ W2，1p，位置(Ohm（T）∩C(OhmT） p>1。此外徐∈ C(OhmT） 我们有以下估计：maxKex，cr+rL- cre-rτ≤ U≤ K英寸OhmT、 （3.7）0≤ 徐≤ K exinOhmT.（3.8）如果进一步c≥ rL持有，我们还有以下估计：τu≥ 上午0点OhmT.（3.9）定理3.1的证明相当长且相对标准，因此我们将其证明留在附录中。τxoc=xoc∞CTxu>K exCVxu=K exc（τ）τxoc=xoTCTxu>K exCVxu=K exc（τ）图3.6。C≥ rL，c≤ rK（α）+- 1） /α+图3.7。C≥ rL，c>rK（α）+- 1)/α+τxoc=ln L- ln Koc∞otCTxu>K exvxu=K exc（τ）o图3.8。C≤ rL（α）+- 1） /α+我们通过变换（3.4）将CVx、CTx、c（τ）分别表示为CV、CT、c（t）的对应物。

从（3.8），u- Kexis相对于x减小，因此转换边界y给定为asc（τ）=inf{x≤ 0:u（x，τ）=Kex}，转换区和延拓区可以进一步表征为asCVx={（x，τ）∈ (-∞, 0）×（0，T）：u（x，τ）=Kex}={（x，τ）∈ (-∞, 0）×（0，T）：x≥ c（τ）}；CTx={（x，τ）∈ (-∞, 0）×（0，T）：u（x，τ）>Kex}={（x，τ）∈ (-∞, 0）×（0，T）：x<c（τ）}。本节的主要结果是证明在不同的参数假设下，对流和连续区域具有以下形状（见图3.6）- 3.8 ). 注意，图3.8显示转换边界是非单调的，当时间接近对流边界的起点时，转换边界可能会上升。接下来，我们证明了自由边界c（τ）的位置、渐近性、单调性和正则性。定理3.2（自由边界的位置）对于c<qK的情况，变分不等式（3.5）的自由边界c（τ）具有以下性质：（1）CVx {x≥ 所以CTx {x<x}和c（τ）∈ [X，0]，其中X= ln c- ln K- lnq.（2）对于任意τ，存在一个c（τ）>cf的正常数tsuch∈ （0，t]其中c= 最大{X，ln L-在K}。（3） c（τ）的起点是（c（0），0）和c（0）= limτ→0+c（τ）=c.证明。(1). 根据（3.5），在域CVx中∩ OhmT、 V=kex，必须保持C≤ τV- LV=τ（kex）- L（K ex）=q K ex=> 十、≥ 因此，CVx∩OhmT {x≥ X}。自CLx以来∩ OhmT=O，然后是CTx {x<x}和c（τ）≥ 十、(2). 该证明分为两种情况：情况1：如果c=X（见图3.6和3.7），那么对于任何τ>0的情况，证明c（τ）>X是足够的。我想不会吧。性质（1）意味着存在一个t>0，使得c（t）=X。

我们推断在域N=(-∞, 十） ×（0，t）：u>Kex，u满足τu- Lu=c≥ qKex=τ（Kex）- L（Kex），u（X，t）=Kex | X=X。根据Hopf引理（见[9]），我们得到x（u）- Kex）（X，t）<0。另一方面，定理3.1暗示徐∈ C(OhmT） 。意思是xu连续穿过自由边界c（τ），并且x（u）- Kex）（X，t）=0。因此，我们有一个矛盾。案例2：如果c=ln L- 在K（参见图3.8）中，则证明存在一个正常数tsuch thatc（τ）>ln L- 在K， τ ∈ （0，t）。我们需要证明的是，存在一个正常数t，使得u（lnl- ln K，τ）>K ex | x=ln L-ln K=L， τ ∈ （0，t]。（3.10）实际上，我们将w表示为PDE（B.1）的解，然后w采用（B.2）的显式形式。因此，A-B-P最大原理（见[20]）意味着≥ w英寸Ohm为了证明（3.10），我们使用（B.2）的显式形式来估计w（Lnl）的渐近行为-lnk，τ）asτ→ 0+. 不难检查为τ→ 0+，我们有如果x>0，Φ（x，τ，t）=Φ（x，τ，t）=1+o(√τ），如果x<0，Φ（x，τ，t）=Φ（x，τ，t）=o(√τ），如果x=0，Φ（x，τ，t）=-σ α√2π√τ - t+o(√τ），如果x=0，Φ（x，τ，t）=-σ (α+1)√2π√τ - t+o(√τ），w（ln L）- lnk，τ）- L=o(√τ）+L-σ α√2π√τ+o(√τ )- L-σ (α+ 1)√2π√τ+o(√τ )=σL√2π√τ+o(√τ ).因此，有一个正常数tsatis fies（3.10）。(3). 既然我们已经证明了（2）的性质，就有必要证明→0+c（τ）≤ c、 如果我们可以证明，对于任何固定的x>c，都存在一个正常数δ，那么上述不等式是显而易见的*使得u（x，τ）=kex | x=x， τ ∈ [ 0, δ*]. （3.11）实际上，对于任何固定的x>c，我们构造了一个函数，使得w（x，τ）=Kex+δ（x）- x） ，（x，τ）∈ N△= [x]- δ、 x+δ]×[0，δ*],式中δ，δ*是要测定的正常数。我们首先假设δ很小，所以x-δ>坎德x+δ<0。接下来，我们展示≤ W酒店。

事实上，在域N中很容易检查WSatiesτW- LW=qKex- δ[σ+（2r）- 2问-σ） （十）- 十）- r（x）- x） ]≥ qKex-δ- δ[σ+（2r+2Q+σ）δ]>c- δ[σ+（2r+2q+σ）δ]，其中我们使用了x- δ>c≥ 最后一个不平等。选择足够小的δτW- 此外，很明显w（x±δ，0）>Kex（x±δ，0）=u（x±δ，0）。回忆你∈ C（OhmT） 我们推断出存在一个正常数δ*使得w（x±δ，τ）≥ u（x±δ，τ）， τ ∈ [ 0, δ*].因此，我们感到满意(τW- LW≥ c、 W≥ 基克斯，西北部≥ u、 在请注意。A-B-P最大原理（见[20]）意味着≤ 在域名中。特别是，美国≤ W=Kexon直线x=x，τ∈ (0, δ*]. 把你≥ Kex，我们得到（3.11）。接下来，我们分析fr-ee-b边界的渐近行为和VI（3.5）asτ的解→ ∞:定理3.3（自由边界的渐近性）对于c<qK的情况，自由边界c（τ）和VI（3.5）的解u（x，τ）具有以下渐近性质：（1）如果≤ rK（α）+- 1） /α+成立，其中α+在引理A.1中定义，那么我们有（见图3.6和图3.8）limτ→+∞c（τ）=c∞= 自然对数α+α+- 1crK,limτ→+∞u（x，τ）=u1，∞（十）=Kα+expnα+x+（1）- α+c∞o+cr，x<c∞,凯克斯，c∞≤ 十、≤ 0.（2）如果c>rK（α+- 1） /α+保持不变，则存在正康斯坦特，使得自由边界c（τ）在点（0，T）处结束（见图3.7），即c（τ）=0，表示τ∈ [T，T]，CTx (-∞, 0）×[T，T]，limτ→+∞u（x，τ）=u2，∞（十）= Keα+x+cr（1）- eα+x），x≤ 0.备注3.1事实上，上述结果意味着有限视界问题的解u（x，τ）和自由边界c（τ）收敛于解u1，∞（或u2，∞) 自由边界c∞（或0）随着时间的推移，相应的永久性问题。证据

证明分为五个步骤：步骤1：构造VI（3.5）的上解和子解。对于任何固定的t>0，我们将UTA表示为Wp，loc(Ohm) ∩ C（Ohm ) 以下VI的解决方案：-Lut=c+re-rt/2，如果ut>Kexand x∈ Ohm , (-∞, 0),-卢特≥ c+re-rt/2，如果ut=kex和x∈ Ohm,ut（0）=K。（3.12）我们将在步骤2中给出VI（3.12）的显式解。表示W=ut+ert/2-rτ- E-rt/2。我们认为，如果t足够大，W是VI（3.5）的超解。事实上，这并不难验证τW- LW≥ c和W≥ Kex，W（0，τ）≥ K=u（0，τ），0≤ τ ≤ t、 W（x，0）≥ K+ert/2- E-rt/2≥ K≥ max{L，Kex}=u（x，0），x≤ 0.（注意r>0）通过应用VI的比较原理（见[22]），我们推导出u≤ W=ut+ert/2-rτ- E-rt/2。（3.13）接下来，表示UTA为Wp，loc(Ohm) ∩ C(Ohm ) 以下VI的解决方案：-Lut=c- 重新-rt/2，如果ut>Kexand x∈ Ohm,-卢特≥ C- 重新-rt/2，如果ut=kex和x∈ Ohm,ut（0）=K。（3.14）我们将在步骤2中给出VI（3.14）的显式解。W=ut- ert/2-rτ+e-rt/2。重复上面同样的论点，我们推断出≥ w=ut- ert/2-rτ+e-rt/2，（3.15），前提是t足够大。第二步：我们求解VIs（3.12）和（3.14）。这有助于解决以下问题：-Lv=c*, 如果v>kex和x∈ Ohm,-吕≥ C*, 如果v=kex和x∈ Ohm,v（0）=K（3.16）。很明显，如果我们让c*= c+re-rt/2和c*= C-重新-分别为rt/2。（1） 在案例c中*≤ rK（α）+- 1） /α+，我们首先找到（3.16）的下列关联自由边界问题的有界解：(-Lv=c*> 0，x∈ (-∞, 十、*),xv（x）*) = v（x）*) = 凯克斯*.（3.17）不难检查（3.17）的溶液应为v=aeα+x+beα的形式-x+c*r、 x<x*,α在哪里-在引理A.1中定义。因为v有界且α-< 0，那么B=0。