可转换债券的Dynkin博弈及其最优策略

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英文标题：
《Dynkin Game of Convertible Bonds and Their Optimal Strategy》
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作者：
Huiwen Yan, Zhou Yang, Fahuai Yi, Gechun Liang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper studies the valuation and optimal strategy of convertible bonds as a Dynkin game by using the reflected backward stochastic differential equation method and the variational inequality method. We first reduce such a Dynkin game to an optimal stopping time problem with state constraint, and then in a Markovian setting, we investigate the optimal strategy by analyzing the properties of the corresponding free boundary, including its position, asymptotics, monotonicity and regularity. We identify situations when call precedes conversion, and vice versa. Moreover, we show that the irregular payoff results in the possibly non-monotonic conversion boundary. Surprisingly, the price of the convertible bond is not necessarily monotonic in time: it may even increase when time approaches maturity.
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中文摘要：
本文利用倒向随机微分方程方法和变分不等式方法，将可转换债券作为一个Dynkin博弈来研究其估值和最优策略。我们首先将这样一个Dynkin对策归结为一个具有状态约束的最优停止时间问题，然后在马尔可夫环境下，通过分析相应自由边界的位置、渐近性、单调性和正则性等性质来研究最优策略。我们确定调用在转换之前的情况，反之亦然。此外，我们还证明了不规则支付导致可能的非单调转换边界。令人惊讶的是，可转换债券的价格在时间上并不一定是单调的：它甚至可能在时间接近到期时上涨。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Dynkin_Game_of_Convertible_Bonds_and_Their_Optimal_Strategy.pdf (339.79 KB)

2022-5-8 00:23:22 上传

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关键词：Dynkin 可转换债券 最优策略 Mathematical Quantitative

可转换债券的Dynkin博弈及其最优策略*严惠文+易法怀周扬葛春亮*摘要本文利用反射后向随机微分方程方法和变分不等式方法研究了可转换债券作为动态博弈的估值和最优策略。我们首先将这样一个Dynkin对策归结为一个具有状态约束的最优停止时间问题，然后在马尔可夫环境下，通过分析相应自由边界的性质，包括其位置、渐近性、单调性和正则性，研究了最优策略。我们确定调用在转换之前的情况，反之亦然。此外，我们还证明了不规则支付可能导致非单调转换边界。令人惊讶的是，可转换债券d的价格在时间上并不一定是单调的：它甚至可能在接近到期时上涨。关键词：可转换债券，Dynkin博弈，最优停止时间问题，反射BSDE，变分不等式，自由边界。数学科目分类：35R35、60H30、91B25。1简介可转换债券通常被宣传为具有上行潜力和有限下行潜力的产品，因为可转换债券通常附有将该债券兑换为给定数量股票的期权。债券持有人决定是保留债券，以收取息票，还是将其转换为公司股票。她将选择一种转换策略来最大化债券价值。另一方面，发行公司有权赎回债券，并可能通过最小化债券价值来实现公司股权价值的最大化。这就创造了一个两人零速的游戏。

可转换债券的核心问题之一是研究这样一种动态博弈，更重要的是，研究相应的最优赎回和转换策略。可转换债券的研究可以追溯到布伦南、施瓦茨[3]和英格索尔[13]。然而，在这些论文中，调用和转换策略都是预先确定的，因此如果早期对流或早期调用是最优的，它们都不需要解决自由边界问题。Sirbu等人*我们感谢总编辑陈光（Goong Chen），一位副主编和两位推荐人的宝贵意见和有益建议，这些意见和建议有助于显著改进论文的呈现方式。这项工作得到了中国国家自然科学基金会（编号11271143、11371155、11326199）、大学博士项目特别研究基金（编号20124407110001）的支持。+广东财经大学数学与统计学院，广州510320，hwyan10@gmail.com华南师范大学数学科学学院，中国广州510631，fhyi@scnu.edu.cn§华南师范大学数学科学学院，中国广州510631，yangzhou@scnu.edu.cn.The通讯作者。伦敦国王学院数学系，英国伦敦WC2R 2LS，格春。liang@kcl.ac.uk[18] 是最早分析永续可转换债券最优策略的公司之一（参见Sirbu和Shreve[19]了解有限期债券）。他们将问题从Dynkin博弈简化为非最佳停止时间问题，并讨论何时调用优先于转换，反之亦然。自那以后，可转换债券的几个更现实的特征被考虑在内。例如，Bielecki等人[1]考虑了可转换债券分解为债券成分和期权成分的问题。

Cr\'epey和Rahal[5]研究了具有看涨期权保护的可转换债券，这通常取决于路径，最近，Chen等人[4]共同考虑了可转换债券的税收收益和破产成本。为了获得完整的文献综述，我们参考了上述论文以及其中的参考文献。在本文中，我们首先使用反射后向随机微分方程（简称反射BSDE）方法研究了可转换债券的Dynkin博弈。我们采用简化的方法，假设企业的股票价值遵循一般的外部It^o过程，而不是将股票价值上的可转换债券视为企业价值和债券价值之间的差异，这是内生决定的。有趣的是，与[18]和[19]类似，我们还可以将Dynkingame简化为具有状态约束的最佳停止时间问题，即将具有两个障碍的反射BSDE简化为具有一个障碍和状态约束的反射BSDE。这种表示结果的一个重要结果是允许我们识别调用在转换之前的时间，反之亦然，这符合[19]。也就是说，我们在命题2.4-2.6中表明，当票面利率高于利率乘以退保价格时，债券持有人总是首先转换债券；当票面利率低于股息率乘以附加价格时，公司总是会首先降低票面利率；当票面利率介于上述两个界限之间时，债券持有人和公司将同时终止合同。

我们证明，上述表示结果适用于一般It^o过程设置，该设置不一定是马尔可夫的，后者是[18]和[19]中的标准假设。在马尔可夫情形下，研究可转换债券最优策略的一种方法是分析相应变分不等式（简称VI）的自由基的性质。尽管如此，与美式期权的研究相比，对自由边界分析以理解可转换债券的最优策略的研究很少，因为美式期权对应的自由边界已经得到了很好的研究。其中一个主要原因是c对应的Dynkin博弈（变量不等式）太复杂，无法研究。利用上述表示结果，我们可以将相应的Dynkin遗传算法简化为具有状态约束的最优停止时间问题，这为研究相应自由边界的性质铺平了道路。目前的作者已经在一些特殊情况下走上了这条道路（见[23,25,27]）。例如，在[27]中，作者假设发行人无权调用。在[25]中，作者只考虑退保价格和最终指定价格完全相等，因此相应的自由边界总是单调的。[23]只考虑票面利率低于利率乘以退保价格的情况。在本文中，我们试图填补以前的空白，并对不同情况下的自由边界进行了完整的分析，包括自由边界的位置及其渐近性、单调性和正则性等。特别是，我们集中讨论了支付不规则的情况（假设2.2）。自由边界有几个有趣的性质，如我们在第3节中所证明的。

首先，众所周知，自由边界的渐近性比方程解的渐近性更难获得，因为解的共收敛性并不意味着自由边界的收敛性，而且很难通过偏微分方程（简称PDEfor）估计来推导后者。在定理3.3中，我们设法获得了解和自由边界的渐近性。后者的主要思想是：我们求解相应的永续问题，然后利用其解构造有限ho Rizon问题的子解序列和超解序列，并通过这两个序列显示自由边界的渐近行为。其次，在某些参数假设下，VI（3.1）中的自由边界是非单调的（参见定理3.4和图3.5）。这是由于奇异的终端支付导致价格的时间导数在奇点附近的到期日附近膨胀。自由边界的非单调性导致可转换债券价格的非单调性。特别是，价格可能在接近成熟时上涨。为了证明这种非单调性，我们讨论了它的终端渐近行为和随着时间的推移它的初始渐近行为，并证明了终端值大于初始值，但小于某个中点的值。第三，证明自由边界光滑性的标准假设是，解与VI下障碍物之间的差异随时间增加（见[10]）。如果没有这种单调性，就很难实现[2,17]中讨论的规则性。

除非组合利率高于orem 3.5中规定的最终支付价格的利率倍，否则这种单调性条件不成立，自由边界的光滑性也不明显。在定理3.6中，我们通过使用微妙的坐标变换和VI的比较原理，证明了即使单调性条件失效，自由边界的光滑性。论文的其余部分组织如下：在第2节中，我们使用反射BSDE方法将可转换债券的定价模型作为Dynkin博弈。在第三节中，我们通过分析相应自由边界的性质来研究可交换键的最优策略。附录中给出了有关VI可解决性的一些技术细节。2可转换债券的Dynkin博弈在本节中，我们使用反射BSDE方法将可转换债券的定价问题表述为一个零和Dynkin博弈。我们在这一部分的主要结果是证明这样一个Dynkin对策可以归结为一个具有状态约束的最优停止时间问题。对于固定时间范围T>0，假设W是过滤概率空间上的一维布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}，P）满足通常条件，其中F是由布朗运动W生成的增强滤波，P被解释为风险中性概率测度。以一家公司为例，该公司发行的可转换债券的利率为c，到期日为T。

可转换债券写在公司的基础股票s上，风险中性概率测度下的价格过程由s=St+Zst（ru）给出- qu）Sudu+ZstσuSudWu，（2.1）表示0≤ T≤ s≤ T，其中r，q，σ分别表示无风险利率，股息率和波动率。假设2.1息票利率c、无风险利率r、股息率q和波动率σ为F-可测量且一致有界。此外，波动率为正σt>0，对于t∈ [0，T]。考虑一位投资者在纽约时间从发行人手中购买一股可转换债券∈ [0，T]。假设该公司没有违约。通过持有可转换债券，她将继续从发行人处收取票面利率c，直到合同终止。在合同到期之前，投资者有权将其债券转换为公司股票，而公司有权赎回债券并迫使债券持有人将其债券交给公司。因此，合同将在三种情况下终止：（1）如果公司在某个F-stop时间τ首先调用债券，债券持有人将在时间τ收到预先指定的退保价格K；（2） 如果投资者选择在某个F-stop时间θ首先转换债券，或者两个参与者选择同时终止合同，债券持有人将在时间θ以预先指定的转换率γ转换债券，从而获得γsθ∈ (0, +∞); （3） 如果双方在合同期内均未采取任何行动，则在到期日T时，投资者必须以预先规定的价格L将其债券出售给该公司，或以转换率γ将其转换为该公司的股票，她将获得最大{1，γST}。

总之，投资者将在s开始时间t获得以下折扣报酬∈ [0，T]：P（τ，θ）=Zτ∧θtR（t，u）cudu+R（t，τ）ki{τ<θ}+R（t，θ）γSθI{θ≤τ、 θ<T}+R（T，T）max{L，γST}I{τ∧θ=T}，（2.2）式中τ，θ∈ Ut，T，所有F的集合-停止时间取[t，t]中的值，R（t，u）=exp{-Rutrsds}是风险中性世界中从t到u的发现率。投资者将选择θ∈ Ut，t最大化P（τ，θ），而企业将选择τ∈ Ut，ep（τ，θ）。因此，我们有上限值和下限值，分别为Vt=ess。infτ∈噢，苔丝。supθ∈Ut，TE[P（τ，θ）|Ft]；Vt=ess。supθ∈噢，苔丝。infτ∈Ut，TE[P（τ，θ）|Ft]对应的Dynkin对策（se e[6]用于定义Dynkin对策）。这个游戏的价值是存在的，如果存在一些过程，例如Vt=Vt=Vt，a.s.代表t∈ [0，T]，vt是根据无套利原则计算的可转换债券的时间T值（见[21]第36章）。如果存在纳什均衡点（τ*t、 θ*（t）∈ Ut，T×Ut，Tsuch thatE[P（τ*t、 θ）| Ft]≤ E[P（τ）*t、 θ*t） |英尺]≤ E[P（τ，θ）*t） |Ft]，τ，θ的a.s∈ Ut，T，那么对策V的值o存在，由vt=E[P（τ）给出*t、 θ*t） |英尺]。（2.3）纳什均衡点（τ）*t、 θ*t） 被称为这种可转换债券的最优策略，其中τ*tandθ*分别给出了最优呼叫策略和转移策略。转换支付fγS通常被称为下障碍，退保价格K被称为上障碍。假设2.2无风险利率不低于股息率：rt≥ qt≥ 0，a.s.堡∈ [0，T]，且退保价格大于到期付款：K>L>0。第一个假设是≥ qt≥ 0是自然的。如果K<L，那么预先规定的价格L是不相关的，因为企业可以在到期前随时以退保价格K进行调用，以避免支付更多（见[19]）。

如果K=L，如[27]所示，则对应的积水VI的有效域（状态约束）中的终值仅为常数K，因此该问题的研究相对标准，相应的自由边界总是单调的。在本文中，我们主要考虑K>L的情况，这会导致在自由边界上出现奇异的终值，这使得问题更加复杂和复杂。此外，在这种情况下，自由边界不一定是单调的。在下面，我们表示最优策略（τ*t、 θ*t） 以及反映BSDE的解决方案中可转换债券的价格。请注意，转换支付（较低障碍）γS并不总是由退保价格（较高障碍）K决定的，因此我们必须求助于具有如下状态约束的反射BSDE。引理2.3 Let（Y，Z，K+，K-) 是以下关于[t，σ]的BSDE的唯一解决方案*t] :Ys=max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}+Zσ*ts（铜）- 如玉）杜-Zσ*tsZudWu+Zσ*tsdK+u-Zσ*tsdK-u、 γSs≤ Y≤ K、 对于s∈ [t，σ*t] ，Zσ*tt（Yu）- γSu）dK+u=Zσ*tt（K）- Yu）dK-u=0，（2.4），其中σ*t=inf{u≥ t:苏≥ K/γ}∧ T.然后可转换债券的价值由Vt=yt给出，最优策略由τ给出*t=inf{s≥ t:Ys=K}∧ σ*t、 θ*t=inf{s≥ t:Ys=γSs}∧ σ*t、 上述表示结果和（2.4）适定性的证明与定理4相似。Cvianic和Karatzas[6]中的1个，固定到期日T被随机到期日σ取代*t、 因此，我们省略了证据，并参考[6]了解详细信息。本节的主要结果是将（2.4）简化为具有状态约束的非最优停止时间问题。首先要注意的是，如果≥ K/γ，即。