市场国家的依赖结构

时间序列rk（t）和rl（t）的经验copula密度是变换后的时间序列u=uk（t）和v=ul（t）的二维直方图。准确估计copula密度需要大量数据。因此，对于每个状态，我们计算所有K（K）的copula密度-1） /2个股票对转换后的时间序列的二维直方图，然后在所有股票对上平均COP（i）（u，v）=K（K- 1） K-1Xk=1KXl=k+1cop（i）k，l（u，v），i=1，6，（22）其中上指数i表示州编号。对于我们选择的历史图的箱子大小u=v=0.05。我们注意到，由于每个市场状态的时间序列长度很短，我们无法分别研究每个股票对k，l的完整连接函数。因此，我们不能就完全依赖结构的相似性和离散性做出任何直接的陈述。我们的结果平均只给出了经验依赖结构的陈述。图3显示了六种市场状态中每一种的原始收益（19）的经验成对copula密度。我们观察到依赖结构在不同状态下的变化，尤其是在尾部。在状态1（涵盖1992年至2000年左右的时间段）中，我们发现一个相当明显的copula密度，表明返回对之间存在辉光依赖性。在第二种状态下，我们观察到，特别是在尾部，其与水平系带密度的偏差在第三和第四龄时变得越来越明显。2008年金融危机期间首次出现的国家5表现出强烈的依赖性。在状态6中，依赖性再次降低。图4显示了局部归一化回归的经验成对copula密度（20）。在进行局部归一化后，这六个态的依赖结构基本保持不变。

在左下角和右上角观察到偏差，其中原始收益的copula密度表现出更高的峰值。原因是时变的波动性。在高波动性时期，股票往往有很大的回报，这有助于人口密度的角落。另一方面，在高波动期，股票之间的相关性变得更强。这导致原始回报在依赖结构的各个角落出现更高的峰值。需要注意的是，原始和局部规范化returns的连接词包含不同的语句。原始收益的连接函数描述了整个时间范围内的依赖结构。另一方面，局部标准化收益的连接函数提供了关于局部尺度的统计依赖性的信息。此外，我们观察到经验copula密度相对于相对角是不对称的。我们发现，下尾的依赖性比上尾强，也就是说，大负收益之间的依赖性比大正收益之间的依赖性强。这种不对称性是经验copula密度的一个重要特征，因此我们将在第4.3.4.2节中对其进行更详细的讨论。与K-copula密度的比较我们现在将每个市场状态的经验成对copula密度与K-copula密度进行比较。我们再次考虑原始和局部规范化的Returns。

K-copula密度是通过以下方式获得的：我们根据方程（15）计算K-copula，其中积分是数值执行的。每个大小的容器的K-copula密度u=然后用Cop\'c，N（u，v）=Cop\'c，N（u，v）估计v=0.05- 警察c，N（u，v）- v）- 警察c，N（u）- u、 v）+Cop\'c，N（u）- u、 五- v） 。（23）为了进行比较，我们计算了每种状态的经验和分析copuladensity之间的差异cop（i）（u，v）- cop（i）c，N（u，v），i=1，6，（24）式中，c是所有K（K）的平均相关系数- 1） /2考虑状态的库存对。自由参数N由一个使经验和分析copula密度之间的均方差最小化的系数估计。表1总结了每个市场状态的参数值。图3：原始收益的经验成对copula密度cop（i）（u，v）之间的差异。图4：局部归一化回归的经验成对copula密度cop（i）（u，v）。返回状态1状态2状态3状态4状态5状态6原始\'c 0.046 0.13 0.17 0.25 0.42 0.22N 41.7 11.7 8.4 5.6 2.8 10.0loc。标准化的“c 0.048 0.13 0.19 0.28 0.43 0.25N 70.7 28.6 29.8 15.8 7.4 20.4表1：原始和局部标准化回归的K-copula密度参数。返回状态1状态2状态3状态4状态5状态6原始0.11 0.41 1.22 2.47 5.53 2.84loc。标准化0.047 0.38 0.70 1.43 2.94 1.50表2：经验和K-copula密度之间的均方差异。图5给出了每种状态的经验copula密度和K-copula密度，图6给出了原始状态和局部标准化收益的经验copula密度。总的来说，我们发现经验和分析copula密度之间有很好的一致性。

K copula似乎很好地捕捉了前三种状态的依赖结构。对于状态4和状态6，观察到与K-copula密度的微小偏差。只有状态5的依赖结构不能被K-copula捕获。对于本地标准化回报，我们找到了更好的协议，这反映在较小的均方差异中，见表2。偏差主要出现在copula密度的角上。经验copula密度在尾部表现出更强的依赖性，即k copula低估了极端co运动的概率。重要的是要注意，K-copula仅用一个自由参数就很好地捕捉了经验依赖结构。然而，由于其对称性，它无法解释数据中观察到的不对称性。skewedStudent的t-copula是[43]提出的一种替代方案，它被发现解释了财务数据中的不对称依赖性[44,45]。它比K-copula更好地捕捉原始收益的经验依赖性结构，因为存在一个额外的参数来解释不对称性[26]。然而，在这里，我们将自己定义为经验copula与K-copula的比较，因为我们的目标是在随机矩阵模型中获得一致的图像。下面我们将更详细地讨论不对称性。4.3. 尾部依赖的不对称收益之间的不对称依赖已经被几位作者报道过，见。g、 ，[33,34,35]。我们的研究提供了进一步的证据，表明市场状态的经验copula密度具有更强的低尾依赖性。现在我们来仔细看看这种不对称性。

为此，我们在图5中估计了尾部相关性：经验copula密度和K-copula密度之间的差异cop（i）（u，v）- cop（i）c，N（u，v）为原始申报表。图6：经验copula密度和K-copula密度之间的差异cop（i）（u，v）- 局部归一化收益的cop（i）’c，N（u，v）。所有K（K）的角- 1） /2根据toLL（i）k，l=0.2Zdu0的经验成对连接函数。2Zdv cop（i）k，l（u，v），UL（i）k，l=Z0。8du0。2Zdv cop（i）k，l（u，v），UU（i）k，l=Z0。8duZ0。8dv cop（i）k，l（u，v），LU（i）k，l=0.2ZduZ0。8dv cop（i）k，l（u，v），（25），其中上指数i=1，6表示状态号，下指示符表示股票对k，l。在这里，LL和UU分别表示下下角和上角，代表正尾部相关性，而ULand LU分别表示上下角和下上角，代表负尾部相关性。尾部依赖的不对称性现在可以通过差异α（i）k，l=UU（i）k，l来量化- LL（i）k，l，β（i）k，l=LU（i）k，l- UL（i）k，l，i=1，6，（26）式中，α（i）k，l表示正和β（i）k的不对称性，l表示每个股票对k，l的负尾部依赖性的不对称性。图7显示了状态5的对称值的直方图。对于回报，我们发现α（5）k，l的值为负，而β（5）k，l的值集中在零附近。这表明，平均而言，正尾部依赖的不对称性，即同时出现的大负收益比同时出现的大正收益更有可能发生。另一方面，我们在负尾依赖中没有发现这种不对称性。对于局部标准化收益率，我们发现正尾依赖的不对称性要弱得多，而负尾依赖的不对称性再次没有。

我们注意到，不对称值的平均值是相关的量，由于统计因素，每对的不对称值分布在平均值周围。α（5）k，lis0.01和β（5）k，l0的标准偏差。007.事实上，不对称效应非常小。尽管如此，它仍然清晰可见，见图3。接下来，我们研究每个市场状态的不对称值。图8显示了每个市场状态的平均不对称值α（i），通过对给定状态的所有α（i）k，lf进行平均获得。在局部尺度上，正尾依赖的不对称性要弱得多。只有状态5仍然表现出一定程度的不对称性。另一方面，负尾部依赖的不对称性对于原始收益和局部标准化收益来说都很小，可以忽略不计-0.06-0.04-0.020.000.020.040.06Αk，lH5Lpdf-0.06-0.04-0.020.000.020.06Βk，lH5Lpdf-0.06-0.04-0.020.000.020.06Αk，lH5Lpdf-0.06-0.04-0.020.000.020.040.06Βk，lH5Lpdf图7：所有股票对k、l的不对称值直方图，例如第5条。左：正尾部依赖的不对称性α（5）k，l，右：负尾部依赖的不对称性β（5）k，l。顶部：收益率，底部：局部归一化的回报率。红色虚线代表相应的平均值。5.结论我们用copula方法研究了市场状态的依赖结构。为此，我们估计了每种状态的经验成对copula，并将其与二元K-copula进行了比较。二元K-copula是由一个随机矩阵模型产生的，该模型通过随机矩阵的一个样本来考虑相关性的非平稳性。

它是一个对称的椭圆连接函数，依赖于两个参数：在考虑的收益样本中估计的平均相关系数，以及一个自由参数，用于表征该样本中围绕平均相关的函数。我们估计了原始和局部标准化收益的经验成对copulas。局部归一化消除了时变趋势和波动性，同时保留了依赖结构。相应的copula描述了局部范围内的依赖结构，而原始收益的总体提供了全球范围内的依赖结构信息，即整个时间范围内的依赖结构信息。总的来说，K-copula捕捉了市场国家的经验依赖结构。我们发现了一个很好的一致性，特别是对于在局部尺度上估计的copula。因此，我们在随机矩阵模型中得到了一个一致的描述：K-分布描述了重尾收益分布，而K-copula捕获了相应的依赖结构。然而，我们在正尾依赖中发现了一种不对称性，即：市场状态-0.006-0.004-0.0020.0000.002M-市场状态-0.004-0.0020.0000.002M-市场状态-0.004-0.0020.0020.0020.0020.0020.004-市场状态-HiL-市场状态-0.004-0.0020.0000.0020.002M-市场状态-0.0020.0020.0020.0020.平均值：每个市场状态-0.0020.0020.0020.0020.0020.008-市场状态的不对称性。左：正尾依赖性的不对称性α（i），右：负尾依赖性的不对称性β（i）。顶部：用于收益，底部：用于局部标准化收益。尾部相关性更强，表明同时出现极端负回报的可能性更大。我们的模型无法捕捉到这种不对称性。这在全球范围内更加明显。在局部范围内，我们发现不对称性要弱得多。然而，在危机时期，这种不对称仍然明显存在。参考文献[1]A.斯卡拉。

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