市场国家的依赖结构

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英文标题：
《Dependence structure of market states》
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作者：
Desislava Chetalova, Marcel Wollschl\\\"ager and Rudi Sch\\\"afer
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study the dependence structure of market states by estimating empirical pairwise copulas of daily stock returns. We consider both original returns, which exhibit time-varying trends and volatilities, as well as locally normalized ones, where the non-stationarity has been removed. The empirical pairwise copula for each state is compared with a bivariate K-copula. This copula arises from a recently introduced random matrix model, in which non-stationary correlations between returns are modeled by an ensemble of random matrices. The comparison reveals overall good agreement between empirical and analytical copulas, especially for locally normalized returns. Still, there are some deviations in the tails. Furthermore, we find an asymmetry in the dependence structure of market states. The empirical pairwise copulas exhibit a stronger lower tail dependence, particularly in times of crisis.
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中文摘要：
我们通过估计每日股票收益率的经验成对copula来研究市场状态的依赖结构。我们考虑了原始收益率（表现出时变趋势和波动性）和局部标准化收益率（去除了非平稳性）。将每个状态的经验成对copula与二元K-copula进行比较。这个copula模型源于最近引入的随机矩阵模型，其中收益之间的非平稳相关性由一组随机矩阵建模。比较表明，经验连接函数和分析连接函数总体上是一致的，特别是对于局部标准化收益。尽管如此，尾部还是存在一些偏差。此外，我们发现市场国家的依赖结构是不对称的。经验两两连接函数表现出更强、更低的尾部依赖性，尤其是在危机时期。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Dependence_structure_of_market_states.pdf (3.48 MB)

2022-5-8 00:38:27 上传

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关键词：国家的 Quantitative volatilities stationarity Econophysics

市场国家的依赖结构德西斯拉瓦·切塔洛娃、马塞尔·沃尔施莱格和鲁迪·舍法克特大学杜伊斯堡分校埃森分校47048德国杜伊斯堡电子邮件：desislava。chetalova@uni-到期。德，马塞尔。wollschlaeger@uni-到期。德，鲁迪。schaefer@uni-到期。断章取义。我们通过估计每日股票收益的经验成对copula来研究市场状态的依赖结构。我们既考虑原始收益（表现出随时间变化的趋势和波动性），也考虑局部标准化收益（消除了非平稳性）。将每个状态的经验向量copula与二元K-copula进行比较。这种关联式源自最近引入的随机矩阵模型，其中收益率之间的非平稳相关性由一组随机矩阵建模。这一比较揭示了经验和分析总体上的良好一致性，尤其是对于局部标准化收益。尽管如此，尾部还是有一些偏差。此外，我们发现市场国家的依赖结构不对称。经验性的成对copula表现出更强、更低的尾依赖性，尤其是在危机时期。1.引言Sklar在1959年[1,2]引入了连接函数的概念，以研究多元分布函数与其单变量边缘之间的联系。从那时起，连接函数作为一种工具，在许多领域对随机变量的统计依赖性进行建模，变得越来越重要。在金融领域，连接函数的使用相对较新，但它已经在风险管理中得到应用，例如[3,4,5,6,7,8,9]，衍生工具定价，例如[10,11,12,13,14,15]，以及投资组合优化，例如[16,17,18,19]。有关连接函数在金融领域应用的文献综述，请参阅[20,21]。

连接函数允许将随机变量的依赖结构与其边缘分布分开。这有时是有用的非平稳应用，因为依赖结构和边际分布可以分别建模，并结合在一起，产生具有不同行为的新的多元分布。关于连接词应用困难的讨论，读者可参考[22,23,24]。在这里，我们只是简单地将连接词视为研究统计相关性的标准化方法。边际分布映射为均匀分布；在边际累积分布函数中考虑了统计相关性。最近，我们将市场状态识别为类似相关矩阵的集群，并研究了它们相应的相关结构[25]。然而，相关结构并不能完全反映财务回报时间序列之间的统计相关性。在这里，我们选择copula方法来研究市场状态的依赖结构[26]。为此，我们估计了许多股票收益率对的经验copula，并对所有股票收益率对进行平均，以获得每个市场状态的经验成对copula。我们强调，市场状态的识别依赖于相关矩阵，而总体仅用于分析状态，而非定义状态。为了估计经验copula，我们使用原始和局部归一化的收益。原始收益时间序列表现出随时间变化的趋势和波动性[27,28,29]。在将边际分布转化为均匀分布时，必须考虑这些因素。为此，我们采用了局部归一化方法[30]，该方法在保持平稳时间序列之间相关性的同时产生平稳时间序列。由此产生的经验法则提供了不同的信息。

原始收益的连接函数描述了全球范围内的依赖结构，即整个时间范围内的依赖结构，而局部归一化收益的连接函数描述了局部范围内的依赖结构。将每个市场状态的经验成对copula与无变量K-copula进行比较，K-copula源自[31,32]中介绍的随机矩阵方法。它通过一组随机矩阵来模拟真实相关性的非平稳性。该模型根据第二类修正贝塞尔函数，即所谓的K分布，得出多元回报分布。在[25]中，发现K分布很好地描述了每个市场状态的重尾经验收益分布。在这里，我们的目标是在随机矩阵模型中得出一致的描述，研究每个市场状态下K-copula和经验依赖结构之间的一致性。此外，我们的研究为财务回报之间的不对称依赖性提供了进一步的证据[33,34,35]。我们发现经验成对连接函数的尾部依赖性存在不对称性，我们对此进行了更详细的研究。论文的结构如下。在第二节中，我们回顾了copula的基本概念，陈述了copula理论中的主要结果，Sklar定理，我们用它来推导K-copula。在第3节中，我们展示了数据集，并概述了1992年纳斯达克综合市场的市场状态识别- 2013年，如[25]所述。在第4节中，我们研究了每个市场状态的经验copula密度，并将其与K-copula进行了比较。我们总结第5.2节的发现。我们从2.1中对连接词的概念做一个简短的介绍开始。读者们参考了Joe[36]和Nelsen[37]的教科书，以了解关于连接函数的统计和数学基础的更多细节。

在2.2中，我们介绍了在本研究中起核心作用的K-连接函数。我们将自己局限于二元的情况，因为后来我们研究了经验性的成对copula。2.1. 基本概念包括两个随机变量X和Y。X和Y的联合分布包含了它们的所有统计信息。它可以用联合概率密度函数（pdf）fX，Y（x，Y）或联合累积分布函数（cdf）fX，Y（x，Y）表示，其中fX，Y（x，Y）=xZ-∞dxyZ-∞dyfX，Y（x，Y）。（1） 从联合pdf fX，Y（x，Y）可以提取x和Yas FollowFx（x）的单独分布=∞Z-∞dy fX，Y（x，Y），（2）和类似的Y。密度fX（x）和fY（y）被称为边际概率密度函数，以及相应的边际累积分布函数fX（x）和fY（y）描述了随机变量的个体统计行为。当处理相关的随机变量时，人们会对它们的统计相关性感兴趣。皮尔逊相关系数通常被用来衡量依赖性。定义为asCX，Y=Cov（X，Y）σXσY，（3），其中Cov（X，Y）是随机变量的协方差，σX和σ是相应的标准偏差。然而，相关系数仅衡量随机变量之间的线性相关性。连接函数为研究随机变量的统计相关性提供了一种自然的方法。转换ui=Fi（i）i=X，Y（4）导致新的随机变量在单位区间上均匀分布，分别称为X和Y的秩。它们的联合分布称为copula。

它描述了随机变量X和Y与其边缘分布分离的依赖结构。copula理论的一个核心结果是Sklar定理，它使我们能够将任何多元分布函数分为两部分：每个随机变量及其copulaFX，Y（x，Y）=CopX，Y（FX（x），FY（Y））的边缘分布。（5） 如果边际分布函数是连续的，满足方程（5）的copula由copx，Y（u，v）=FX，Y（F）给出-1X（u），F-1Y（v）），（6）其中F-1X和F-1表示逆累积分布函数，即所谓的分位数函数。该方程允许直接从联合分布函数中提取依赖结构。从copula（6）可以计算copula密度，如下copx，Y（u，v）=UvCopX，Y（u，v）。(7)2.2. K-copula K-copula源于[31]中介绍的随机矩阵模型，用于模拟金融时间序列之间的时变相关性[38,39]。在[26]中首次使用它，发现它比高斯copula更好地描述了金融数据中的经验相关性。考虑一个由K股组成的市场。在每个时间t（t=1，…，t），我们假设返回向量r（t）=（r（t），rK（t））来自多元正态分布，协方差矩阵∑tg（r |∑t）=√det 2π∑texp-r+∑-1tr, （8） 我们抑制r的参数t来简化我们的符号。现在，我们用Wishart随机矩阵AA+对依赖时间的协方差矩阵∑tb进行建模，其中K×N模型矩阵a是从具有pdfw（a |∑，N）=rN2πKN的高斯分布中得出的√det∑Nexp-Ntr A+∑-1A. （9） 这里，∑表示在allr（t），t=1，…，的样本上估计的平均协方差矩阵，T

因此，依赖时间的协方差矩阵由Wishart矩阵AA+的集合建模，该集合围绕样本平均值∑展开。用Wishart系综上的随机协方差矩阵a+对多元正态分布（8）求平均，得到多元回归函数的K分布gi（r |∑，N）=Zd[a]w（a |∑，N）g（r | AA+）=（2π）KΓ（N/2）√det∑∞Zdz锌-1e-zrπNzKexp-N4zr+∑-1r=√2.-N√NKΓ（N/2）pdet（2π∑）KK-N√Nr+∑-1r√Nr+∑-1rK-N、 （10）其中Kν是第二类阶的修正贝塞尔函数ν=（K- N） /2。它仅取决于在整个样本上估计的平均协方差矩阵∑=σCσ，其中C是平均相关矩阵，σ=标准偏差的对角矩阵∑=diag（σ，…，σK），以及一个自由参数N，它控制Wishart集合变量（[AA+]kl）=∑kl+∑kk∑llN的方差，（11）其中∑kl是平均协方差矩阵∑的第K个元素。因此，它表征了所考虑样本中平均协方差矩阵周围的波动强度。N越大，∑周围的波动越小，最终在极限N内变化→ ∞.K-copula是K-分布（10）的依赖结构。对于二元情况K=2，向量r=（r，r）readsfc，N（r，r）=hgi（r |∑，N）=Γ（N/2）的pdf∞ZdzzN/2-1e-Z√1.- cN4πzexp-N4zr- 2crr+r1- C.（12） 这里，我们使用协方差矩阵∑=σσcσcσ=1 cc 1, （13） 其中c表示整个样本的平均相关系数。我们选择标准差，σ=σ=1，因为copula与边际分布无关。那么，边际分布密度是相同的，f（r）=f（r），其中f（r）=∞Z-∞drfc，N（r，r）=Γ（N/2）∞Zdz-zN/2-1e-zrN4πzexp-N4zr.

（14） 根据方程（6），二元K-copula由copc给出，N（u，v）=Fc，N（F）-1（u），F-1（v）），（15）其中c和N是copula的参数，Fc，N表示二元分布（12）的累积分布函数，F-1由Fc给出的边际cdf的逆分布函数，N（r，r）=rZ-∞dξrZ-∞dζfc，N（ξ，ζ）=rZ-∞dξrZ-∞dζ∞ZdzΓ（N/2）zN/2-1e-Z√1.- cN4πzexp-N4zξ- 2cζ+ζ1- C=rZ-∞dξrZ-∞dζNqN（ξ-2cζ+ζ）1-cN-2πΓ（N/2）√N√1.- cK2-NrN（ξ）- 2cζ+ζ）1- C（16） andF（r）=rZ-∞dξf（ξ）=rZ-∞dξΓ（N/2）∞Zdz-zN/2-1e-zrN4πzexp-N4zξ=rZ-∞dξ√NpNξN-1.√πΓ（N/2）√N-1K1-NpNξ. （17） 通过微分copc，N（u，v），可以从K-copula（15）中获得K-copula密度=Copc，N（u，v）Uv=fc，N（F）-1（u），F-1（v）f（f-1（u）f（f-1（v））。（18） 它只取决于平均相关系数c和自由参数N，它表征了∑附近的函数。图1显示了不同参数值的K-copula密度。平均相关系数c越强，参数N越低，极端协同运动的概率越高。此外，我们注意到K-copula是一个对称copula。它基于椭圆分布（10），因此它属于椭圆连接函数类。3.市场状态识别我们现在展示数据集，并将市场状态识别为具有类似相关性结构的相关矩阵集群，如[25]所述。这些市场状态将是我们下一节实证研究的对象。我们认为，从1992年1月到2013年12月的22年间，纳斯达克综合指数的K=258只股票交易[40]，相当于5542个交易日。对于每个股票k，我们计算返回时间序列Sk（t）=Sk（t+（t）- Sk（t）Sk（t），k=1。

，K，（19），其中Sk（t）是时间t和t是我们选择的一个交易日的收益区间。经验回归时间序列具有时变漂移和波动性。相关系数（3）是这些时间相关参数的平均值，这会导致相关性的估计误差。为了消除这种误差，我们采用了局部归一化的方法[30]。对于每个返回时间序列k，我们将局部平均值除以局部标准偏差^rk（t）=r（t）-hr（t）输入hr（t）输入- hr（t）in，（20）其中h。indenotes表示最近n个采样点的本地平均值。对于日常数据，我们使用[30]中讨论的n=13。局部归一化消除了局部趋势和变量波动，同时保留了时间序列之间的相关性。使用局部标准化的每日收益率，我们现在获得了一组131个相关矩阵，这些矩阵是在22年观察期的不相交的两个月间隔上估计的。图1：不同参数值的K-copula密度copc，N（u，v）。顶部：N=5，（左）c=0和（右）c=0.5，底部：c=0.2，（左）N=3和（右）N=30。为了确定市场状态，我们基于partitioningaround medoids算法[41]进行聚类分析，其中聚类数通过gapstatistic[42]进行估计。聚类分析根据相关结构的相似性将131个相关矩阵分为六组。每个组都与一个市场状态相关联。我们指出，市场状态的识别是事后进行的，聚类算法具有所有时间的相关矩阵。图2显示了六种市场状态的时间演变。我们观察到市场在各州之间来回变化。

有时它长时间处于静止状态，有时它快速跳转到另一个状态，然后返回或继续前进。在更长的时间尺度上，市场向新的状态演化，而之前的状态则消失。在下一节中，我们将研究每个市场状态的统计相关性。为了获得每个状态的返回时间序列，我们按照以下步骤进行：我们取完整的返回时间序列r（t）或^r（t），并将其划分为一系列不相交的两个月间隔。我们根据聚类分析合并属于给定状态的所有区间。我们注意到，六种市场状态的回报时间序列不同于市场状态图2：1992年观察期内市场的时间演变- 2013年。每个点代表一个在两个月时间窗口内测量的相关矩阵。长度。4.实证结果我们在4.1中给出了每个市场状态的经验成对copula密度，并将其与4.2中的K-copula密度进行了比较。在4.3中，我们更详细地研究了经验copula密度的尾部依赖性的不对称性。4.1. 每个市场状态的经验成对copula为了估计两个收益时间序列rk（t）和rl（t）的经验成对copula，我们首先必须将它们转换为均匀分布的时间序列。为了实现这一点，我们采用了经验分布函数UK（t）=Fk（rk（t））=TTXτ=11{rk（τ）≤ rk（t）}-2T，（21）其中1是指示函数，T表示时间序列的长度，系数1/2确保转换后的时间序列uk（T）的值位于区间（0，1）。