波动率指数期货的市场模型

投资者可以通过VIX期货和VIX欧洲期权对VIX指数的价值进行定位，VIX是流动交易工具。VIX期货和VIX期权提供与到期时VIX指数价值相关的现金结算金额。由于VIX指数不可交易的事实，通常在期权及其基础g之间观察到的传统关系对VIX期权没有影响。然而，波动率指数期权和波动率指数期货之间存在关系。有关波动率指数和波动率指数衍生品市场定义的更多信息，读者请参考BOE（2009）白皮书。由于波动率指数的定义比较繁琐，文献中采用了简化方法，以实现数学可处理性。在下一节中，将介绍本文采用的定义和文献中经常观察到的简化。2.2 VIX的理论定义本文根据欧式期权定义VIX。这样做是为了避免一般性的潜在损失，因为没有与这种定义相关的隐式模型假设。该定义独立于关于风险中性度量和无套利的任何假设。在做出额外假设后，可以恢复预期实现差异的表示。然而，在做出假设之前，陈述可能不成立。这是ubtle的观点，在即将到来的Lemm a 2.5中有说明。备注2.1。通篇的惯例是使用一个循环来表示在固定到期日之间的过程，而不使用重音来表示在到期之前的时间段内的过程。备注2.2。对于以下定义，需要进一步假设以确保^vt表现良好。

例如，无本金看跌期权需要像k0一样快速衰减，以确保vt不会爆炸。通常会做出额外的假设，以确保^vt得到充分定义。定义2.2。对于所有T>T，让^Vt（T）：=sT- tZ∞^Θt（k，t；^Ft（t））km（dk），0≤ t<t，（3）式中，^Ft（t）是在时间t到期的指数期货，^t（k，t；^Ft（t））是一个具有行使k和到期t的货币指数期权，而m（·）是一个未指定的度量。备注2.3。^Vt（T）作为TT的行为取决于^Vt（·T；^Ft（T））作为TT的行为。虽然具有数学重要性，但本文并未对这种限制行为进行研究，因为VIX定义为固定的T>T定义2.3。尽管如此，t≥ 0和f或固定τ*> 0，VIX由Vt:=^Vt（t+τ）给出*), t>0。（4） 自τ*是一个自始至终固定不变的常数，将其作为过程V的参数进行抑制不会造成一般性损失。为简单起见，期货合约的依赖性为ont+τ*在接下来的分析中被抑制。根据具体应用，可以选择不同的m（·）。特别是，为了恢复波动率指数的离散走向定义，可以选择某种形式的离散度量，而对于连续走向设置，可以选择勒贝格度量。以下定义的动机是VIX的连续罢工定义，这是文献中观察到的一种普遍简化。定义2.4。假设度量m（·）被选择为asm（·）=N×mL（·），其中N≡ 2×100毫升（·）表示勒贝格量度。那么VIX由vt=sNτ给出*Z∞Θt（k，t+τ）*; Ft（t+τ）*))Kd和该数量被称为波动率指数的连续走向定义。根据定义2中给出的sp规定。4.在对基础指数进行附加假设后，可以推导出VIX的更简单表示形式。

这种展示是大多数模型的典型起点，也是下面引理的主题。引理2.5。假设选择定义2.4中规定的度量m（·）。进一步假设存在一个测度Q，使得指数期货和期权是Q-鞅。然后VIX可以写为vt=s-Nτ*情商自然对数Ft+τ*英尺英尺. （5） 证据。固定时间≥ 0，fixω∈ Ohm. 自Ft+τ*(ω) ∈ R+，ω ∈ Ohm, 对于f（s）=ln（s）和x=Ft+τ*（ω） LemmaB。1 yieldsln（Ft+τ）*（ω） ）=ln（Ft）+E（Ft+τ*(ω) - （E）-Z∞E（Ft+τ）*(ω) - k） +kdk-泽（k）- Ft+τ*（ω） ）+kdk。由于ω是任意的，上述方程适用于任何ω∈ Ohm. 在测量Q下对fts进行条件期望，并重新安排givesZ∞EkCt（k，t+τ）*; Ft）dk+ZEkP（k，t+τ）*; Ft）dk=-等式[ln（Ft+τ）*)|英尺]+ln（英尺）+E（英尺）- E） 。（6） 计算上述方程的E=fta，并将两边乘以2×100/τ*完整的证据。惯例是通过基础指数已实现方差的风险中性预期来近似VIX的平方。时间t的波动率通常用vt近似≈ -√τ*×qEQ（[lnf]t+τ）-[ln F]t|Ft）τ=30天，（7），其中[·]用于表示二次变化，Ft表示在时间t+τ到期的指数期货。随机过程的预期实现方差有许多不同的表示形式，其中一种表示形式，如Lemm a2中的对数表示形式。5，通常用于定义波动率指数。根据预期实现方差定义VIX的一个结果是，模型假设隐含在定义中。这些模型假设是波动率指数起源的基础，然而，波动率指数在任何固定时间点的市场定义都是观察到的市场价格的函数，与之前做出的任何假设无关。

外稃2。例如，如果指数是严格的局部鞅，而不是真鞅，则5 m可能不成立。2.3指数和波动率未来动态本节说明了建模框架和关于交易工具类别的假设。设置比较一般；假设资产为连续过程，允许任意大小的有限维变现。考虑交易区间为[0，T]的连续时间经济*] 对于固定的地平线日期T*> 0.设（Wt=（Wt，Wt，…，Wdt））0≤T≤T*上的（d+1）维布朗运动(Ohm, F、 F，P），其中F=（Ft）0≤T≤T*是W生成的P-增强过滤。假设2.6。（A1）对于每个i=0。。。，d、 设σi:[0，T*]×Ohm → Rd+1+和ui:[0，T*]×Ohm → Rbe F-adapted流程，带ZT*|uis|ds<∞ andZT*|σ为| ds<∞, P-a.s。。进程向量（Xt=（Xt，Xt，…，Xdt））0≤T≤T*∈ 假设Rd+1满足yxit=Xi+ZtXisuisds+ZtXisσis·dWPs，（8）对于每个i=0。。。，d、 让F≡ 十、 因此，未来的基本指数（Ft=Xt）为0≤T≤T*假设为一个随机过程，其动力学由ft=F+ZtFsusds+ZtFsσs·dWPs给出。（9） 这种设置的动机是允许在提议的框架内检查现有模型，如随机波动模型。假设2.7。（A2）在任何时候∈ [0，T*], 该市场包含所有股票的看涨期权和看跌期权∈ [0, ∞) 直到到期的时间τ∈ （0，T*- t] 。期权在时间t的价格∈ [0，T*] 与罢工k∈ [0, ∞) 和到期τ∈ （0，T*-t] 是从Xt导出的，被认为是一个确定性函数，用C（k，τ，t，Xt）表示调用，用P（k，τ，t，Xt）表示put。对于所有0≤ T≤ T≤ T*, 设^FV（t，t）表示在时间t到期的VIX期货的价值。以下假设与波动率指数期货的动态有关。

以下假设的目的是为Vix未来提供一个非常一般的规范，并且最初没有提供测量P的解释或背景。假设2.8。（A3）对于所有0≤ T≤ T*, 设ν（·，T）：[0，T]×Ohm → Rd+1+和uV（·T）：[0，T]×Ohm → R是F适应的过程。对于所有0≤ t<t≤ T*, 假设波动率期货的方程组满足^FV（t，t）=^FV（0，t）+Zt^FV（u，t）uV（u，t）du+Zt^FV（u，t）ν（u，t）·dWPu。（10） 备注2.4。关于方程（10）形式的解的存在性和唯一性的结果，读者可参考Morton（1988）第4.6节。进一步假设，对于任何0≤ T≤ T*,ZT|uV（u，T）|du+ZT|ν（u，T）|du<∞, P-a.s.，并且对于所有的0，都很好地定义了极限^FV（t，t）=limTt^FV（t，t）=^FV（0，t）+Zt^FV（u，t）uV（u，t）du+Zt^FV（u，t）·dWPu≤ t<t*, P-a.s。。鉴于上述方程组，我们可以引入以下表示波动率期货隐含的波动率的过程。定义2.9。隐含VIX由EVT给出：=^FV（t，t），对于所有t∈ [0，T*].第3节涉及从基础指数推导VIX的动力学，假设（A1）和（A2）中规定的设置。在第4节中，（A3）的设置是假设的全部。波动率指数的隐含动态是本节的重点，分析独立于任何未定义指数的具体情况。第5节和第6节的重点是（A1）-（A3）的完整框架。3从指数中导出VIX的动力学。本节中，VIX的一般半鞅表示是在度量P下导出的，度量P用于表示真实世界或统计度量。对于大多数市场模型来说，一个典型的出发点是在等效鞅测度下直接指定建模数量的动态。

这样做是为了避免与风险市场价格的确定和度量的变化有关的复杂性。对现实世界动态进行分析的原因是，VIX经常用于实证调查，因为它是市场情绪的指标。从现实世界的衡量标准开始，也避免了风险中性衡量标准存在的复杂性。然而，最终目标是为衍生品的定价和对冲提供一个框架，这通常是在同等风险中性措施下的框架。本节不讨论此类措施的存在，而是理论5的主题。3和定理5.4在第五节中。本节的结构如下。伊藤-文策尔公式首次应用于确定波动率指数平方的动力学，当定义为具有固定经验的期权时。然后引入了一个关于到期前固定时间的Mu-Sielas参数化，从而可以推导VIX的控制随机微分方程。代表性见提案3.4。在推论3.5中，说明了规范2所暗示的动力学。1.陈述。提议3.1。假设第2节中（A1）和（A2）的设置。1是假设的，也就是说，在时间t，对具有罢工k和在时间t到期的索引的卖出和调用由函数^P（k，t，t，Xt）和^C（k，t，t，Xt）给出。

进一步假设∈ （0，T*],^P（·，T，·，·，·），^C（·，T，·，·）∈ C和^P（·，T，·，·，·），^C（·，T，·，·）∈ 所有（k，T，x）的R+×[0，T）×Rd+1+上的C1,1,2∈ R+×[0，T*) ×Rd+1+，^P（k，·，t，x），^C（k，·，t，x）∈ Con（t，t）*], 为了所有的x∈ Rd+1和0≤ t<t≤ T*,Z∞k^Θ（k，T，T，x）m（dk）<∞,Z∞K^Θt（k，t，t，x）m（dk）<∞,为了所有的x∈ Rd+1,0≤ t<t≤ T*i，j=0。。。，d、 Z∞K^Θxi（k，T，T，x）m（dk）<∞, 安兹∞K^Θxixj（k，T，T，x）m（dk）<∞.那么，尽管如此∈ （0，T*] 和t∈ [0，T），过程的动力学^Vt（T）被赋予n个比亚迪^Vt（T）=-T- t^Vt（t）dt+t- tZ∞K^Θt（k，t，t，Xt）m（dk）dt+t- tdXi=0Z∞K^Θxi（k，T，T，Xt）m（dk）dXit-2（T）- t） Ftd hF，F it+2（t- t） dXi，j=0Z∞K^Θxixj（k，T，T，Xt）m（dk）dXj、Xit、 （11）证据。见附录A。备注3.1。等式（11）中的二次变化项和缺乏对称性是由于put调用奇偶性的应用。由于VIX是针对固定的时间范围定义的，因此引入类似Musiela的参数化是很有用的，这是下面引理的目的。有人可能会说，对于τ来说，这种呈现是不必要的∈ （0，T*- t] ，因为波动率始终在30天的时间范围内确定。然而，这种表述并非毫无价值，因为当定义基于arolling投资组合时，它为波动率指数的动态分析提供了一个起点（见等式（2））。引理3.2。对于所有τ>0，letYt（τ）：=^Vt（t+τ），t>0。（12） ThendYt（τ）=τZ∞KΘt（k，τ，t，Xt）+Θτ（k，τ，t，Xt）m（dk）- Yt（τ）dt-2τFtd hF，F it+τdXi=0Z∞KΘxi（k，τ，t，Xt）m（dk）dXit+2τdXi，j=0Z∞KΘxixj（k，τ，t，Xt）m（dk）dXj、Xit、 P-a.s。。证据

方程（11）和方程（12）暗示了动力学Y（τ）=Y（τ）+ZtdYs（τ）=Y（τ）+Ztd^Vs（s+τ）+Zt^VsT（s+τ）ds=Y（τ）-Ztτ^Vs（τ）ds+ZtτZ∞K^Θt（k，s+τ，s，Xs）m（dk）ds+dXi=0ZtτZ∞K^Θxi（k，s+τ，s，Xs）m（dk）dXis+dXi，j=0ZtτZ∞K^Θxixj（k，s+τ，s，Xs）m（dk）dXj、Xis-ZtτFsd hF，F为+ZtTτZ∞k^Θ（k，s+τ，s，Xs）m（dk）ds。将期权价格作为到期时间和积分下微分的函数，这是支配收敛定理yieldsYt（τ）=Y（τ）的结果-ZtτYs（τ）ds+ZtτZ∞KΘt（k，τ，s，Xs）+Θτ（k，τ，s，Xs）m（dk）ds-2τZtFsd hF，F为+dXi=0ZtτZ∞KΘxi（k，τ，s，Xs）m（dk）dXis+dXi，j=0ZtτZ∞KΘxixj（k，τ，s，Xs）m（dk）dXj、Xis、 用相应的微分方程形式表示上述方程就完成了证明。定义3.3。让我来*t=Yt（τ）*). 自τ*是一个固定的，依赖于Y的*吨τ*被压制。关注的对象是VIX，而不是VIX的平方，下面的命题提供了VIX的动力学。提议3.4。让v（y）：=√Yy>0。因此Vt=v（Y*t） ,，t>0，vt的动力学由dvt=u（1）tVtdt+u（2）tVtd-hF，F it+dXi，j=0u（i，j）tVtd给出Xj、Xit+dXi=0w（i）tVtdXit，（13），其中V的漂移和扩散系数由方程su（1）t=-2τ*+2τ*VtZ∞KΘt（k，τ）*, t、 Xt）+Θτ（k，τ）*, t、 Xt）m（dk），（14）u（2）t=-4τ*VtFt（15）u（i，j）t=4τ*VtZ∞KΘxixj（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）-w（i）tw（j）t，（16）w（i）t=2τ*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk），（17）P-a.s.，所有t>0。证据

根据伊藤公式，dVt=五、y（y）*t） dY*t+五、y（y）*t） d-hY*, Y*它，在哪里五、y（y）*t） =2Vtand五、y（y）*t） =-4Vt。因此，dVT=2τ*VtZ∞KΘt（k，τ）*, t、 Xt）+Θτ（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）- 及物动词dt-4τ*VtFtd hF，F it+4τ*VtdXi，j=0Z∞KΘxixj（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）DXj、XiT-8(τ*)VtdXi，j=0Z∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）Z∞KΘxj（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）DXj、Xit+2τ*VtdXi=0Z∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）dXit，P-a.s。。引入方程（14）-（17）中定义的u（1）t、u（2）t、u（i，j）和w（i）t，完成了证明。推论3.5。第2.1节（A1）中规定的指数动态意味着vtsatiesdvtvt=utdt+dXi=0w（i）tXitσit·dWPt，（18）其中V的漂移和扩散系数由方程sut=dXi=0w（i）tXituit给出-2τ*+2τ*VtZ∞KΘt（k，τ）*, t、 Xt）+Θτ（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）-σt·σt4τ*Vt+dXi，j=0XitXjt4τ*VtZ∞KΘxixj（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）-w（i）tw（j）t！σit·σjt（19） andw（i）t=2τ*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）。（20） 证据。结果是命题的直接结果。方程（8）和方程（9）。备注3.2。考虑到系数的形式，方程（18）是否存在解并不明显。然而，在非常温和的假设下，V是一个严格正过程，因此具有局部解的半鞅表示。为了确保V具有全局解决方案和有限的预测，这对于实际目的是有用的，需要额外的假设。备注3.3。许多建模方法都是从假设VIX的半鞅表示开始的。为了从第一原则中获得这种表述，必须对期权价格过程进行假设，以确保基本数量存在并得到充分定义，如本节中进行的分析所示。

尽管表面上看起来很简单，但本节的结果表明，存在与VIX直接建模相关的隐藏复杂性。在直接模拟VIX时，进行了许多涉及基本量的隐式假设。3.1分歧术语命题的另一种表述3。4为指数期货和指数期权提供了波动率指数动态的表示。在下文中，差异系数的另一种表示形式为w（i）t=2τ*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 公式（17）中给出的Xt）m（dk）是建议的。下面的分析不受吉尔萨诺夫定理应用的影响，因为乘法项是度量不变的，并且独立于关于市场完整性和风险市场价格的任何假设。以下推论提供了扩散项的另一种表示形式，并要求在第5节进行未来分析。推论3.6。假设度量m（·）被选为定义2中的规格。4.进一步假设存在测度Q，使得指数期货和期权是Q鞅。那么VIX的扩散项可以表示为w（i）t=-N2τ*及物动词xi等式[ln（Ft+τ）*)|Xt=x]- ln（英尺）.证据这个证明与引理2几乎相同。5.定理2证明中的等式（6）。5意味着∞EkC（k，τ）*, t、 Xt）dk+ZEkP（k，τ）*, t、 Xt）dk=-等式[ln（Ft+τ）*)|英尺]+ln（英尺）+E（英尺）- E） 。右边的条件期望可以用时间t的过程X的值来表示，这是马尔可夫性质的结果。