波动率指数期货的市场模型

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英文标题：
《A Market Model for VIX Futures》
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作者：
Alexander Badran and Beniamin Goldys
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  A new modelling approach that directly prescribes dynamics to the term structure of VIX futures is proposed in this paper. The approach is motivated by the tractability enjoyed by models that directly prescribe dynamics to the VIX, practices observed in interest-rate modelling, and the desire to develop a platform to better understand VIX option implied volatilities. The main contribution of the paper is the derivation of necessary conditions for there to be no arbitrage between the joint market of VIX and equity derivatives. The arbitrage conditions are analogous to the well-known HJM drift restrictions in interest-rate modelling. The restrictions also address a fundamental open problem related to an existing modelling approach, in which the dynamics of the VIX are specified directly. The paper is concluded with an application of the main result, which demonstrates that when modelling VIX futures directly, the drift and diffusion of the corresponding stochastic volatility model must be restricted to preclude arbitrage.
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中文摘要：
本文提出了一种直接描述波动率指数期货期限结构动态的新建模方法。该方法的动机是直接规定波动率指数动态的模型所具有的可操作性、利率建模中观察到的实践，以及开发一个平台以更好地理解波动率指数期权隐含波动率的愿望。本文的主要贡献是推导了波动率指数和股票衍生品联合市场不存在套利的必要条件。套利条件类似于利率建模中著名的HJM漂移限制。这些限制还解决了一个与现有建模方法相关的基本开放问题，在该方法中，VIX的动态是直接指定的。本文的结论是应用了主要结果，这表明在直接对VIX期货建模时，必须限制相应随机波动率模型的漂移和扩散，以防止套利。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_Market_Model_for_VIX_Futures.pdf (277.57 KB)

2022-5-8 00:49:44 上传

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关键词：指数期货 波动率 Mathematical Restrictions volatilities

VIX期货的市场模型Salexander Badran和Beniamin GoldysApril 3，2015摘要本文提出了一种新的建模方法，直接规定了VIX期货期限结构的动态。该方法的动机是直接规定VIX动态的模型所带来的可操作性、利率建模中观察到的实践，以及开发一个平台以更好地理解VIX期权隐含的实用性的愿望。本文的主要贡献是推导了波动率指数和股票衍生品联合市场之间不存在仲裁的必要条件。这种情况类似于利率模型中著名的HJM漂移限制。这些限制还解决了一个与现有建模方法相关的基本开放问题，在该方法中，波动率的动态是直接规定的。本文最后给出了主要结果的一个应用，该结果表明，当直接对VIX期货建模时，必须限制相应随机波动率模型的漂移和扩散，以防止套利。关键词：波动率指数、波动率指数期货、波动率指数期权、市场模型、HJMContents1简介2预备知识52.1市场惯例。52.2波动率指数的理论定义。62.3指数和波动率指数期货动态。83从指数103.1推导波动率指数的动力学，这是扩散项的另一种表示形式。

144从VIX期货中推导VIX的动态155一致性条件176应用-比例波动率217结论25A命题证明3.1 25B辅助结果281简介芝加哥期权交易所波动率指数，通常称为VIX，是市场对30天内指数波动性的预期的近似值。波动率指数衍生品为市场参与者提供了一种机制，可以投资于市场对波动性的预期，而无需购买指数期权。投资者可以通过追逐VIX期货或VIX期权（近年来越来越流行）来获得波动性敞口。2004年，波动率指数期货开始交易，随后又在2006年对波动率指数进行了操作。由于产品在基础指数和波动率指数上都有交易，因此最好使用一个模型，该模型可以同时在两个指数上产生产品的观察特征，同时避免套利。本文提出了一种直接描述波动率指数期货期限结构动态的新建模方法。该方法的动机是直接规定波动率指数动态的模型所具有的可操作性、利率建模中观察到的实践，以及开发一个平台以更好地理解波动率指数期权隐含波动率的愿望。在现有文献中，已经为联合建模任务提出了许多解决方案。现有方法可根据交易工具市场的假设进行分类。所有现有模型通常可分为以下类别之一：（a）基础指数是主要交易证券。

指数期权、波动率指数期货和波动率指数期权的定价与标的指数相关。（b） 基本指数和连续的方差互换是主要的交易证券。指数期权、波动率指数期货和波动率指数期权是相对于这些产品定价的。（c） VIX是直接建模的。VIX期货和VIX期权的定价是相对于VIX的。对于属于（a）类的模型，基础指数的动态在定价度量下是特定的，衍生工具的贴现价格表示为局部鞅。波动率指数的平方被定义为指数的预期实际方差，波动率指数上某个变量的贴现价格被表示为相同度量下的局部鞅。关于波动率指数衍生品的大部分文献都属于这一类。Zhang and Zhu（2006）假设Heston（1993）随机波动率动力学，给出了VIX期货的一个表达式。Lin（2007）提出了一个基于凸性修正的波动率期货近似公式，当标准普尔500指数由赫斯顿扩散过程建模时，该公式随后被用于对波动率期货进行定价，该过程伴随着标普500指数和波动率过程（SVJJ）的同时跳跃。朱和廉（2012）给出了一个更一般的结果，他们假设标准普尔500 asLin（2007）具有相同的动力学，并推导出了VIX未来合约的精确定价公式。关于VIX期权的文献通常与VIX期货的文献相似：通常假设基础指数存在有效的随机波动性动力学，这使得在推导期权定价公式时能够保持一定的可操作性。Sepp（2008）中，标准普尔500指数的演化考虑了具有方差跳跃和时间相关参数的平方根随机方差模型，而Lian和Zhu（2013）给出了SVJJ动力学下的期权定价公式。

Sepp（2011）和Papanicolaou and Sircar（2013）试图捕捉VIX期权隐含倾斜的经验观察特征。前者考虑了一系列参数和非参数模型，而后者则采用了一种制度转换随机波动模型。在巴尔多和巴德兰（2014年）中，考虑了一个非3/2 plus jumpsmodel。推导了波动率衍生工具的定价公式，数值结果表明，3/2模型是波动率衍生工具和股票衍生工具联合建模的良好候选模型。对于属于第二种方法的模型，假设方差互换市场的流动性足以证明将方差互换作为模型输入的合理性。扩展市场使模型能够更好地捕捉方差和波动性市场中观察到的期限结构特征。与前一类模型类似，VIX是根据主要工具定义的，VIX上衍生工具的贴现价格表示为本地鞅，其定价方法与指数上衍生工具的定价方法相同。参见Bergomi（2005年）、Bergomi（2008年）、Buehler（2006年）和Gathereal（2008年），进一步讨论本课程中的模型。提出任何模型的第一步是对交易工具的类别做出假设。在方法（a）和（b）中，假设指数工具和可能的变量互换是流动交易。假设液体交易仪器的动力学模型，从而导出VIX的表达式。通过构造，这些方法可以保证波动率指数的假设动态与基础证券的假设动态一致。然而，在这个框架下对冲VIX衍生品是一项不平凡的工作。

与其他与波动性相关的产品不同，由于定义中使用的非线性变换，波动率指数不可交易，也不能完全适用，这使得波动率指数实际上在方法（a）和（b）的设置中是一个非常重要的练习。本文提出的一种与波动率相关的建模方法是（c）类，其中波动率的动态是直接指定的。在定价措施下假设了动态性，衍生工具的定价是对其未来收益的贴现预期。文献中有几种这种方法的例子。Grunbich-ler和Longsta off（1996）考虑了波动率指数演变的均数回复平方根过程，并给出了波动率指数衍生品的封闭式定价公式。Psychoyios等人（2010年）得出结论，波动率时间序列数据和波动率导数的封闭式公式支持了带跳跃的阿美回复对数微分。Kaeck和Alexander（2010）考虑了各种型号s的特性。作者评估了各种风险管理和衍生品定价应用模型的性能。inGoard和Mazur（2013）对VIX的一维扩散进行了实证分析，作者得出结论，纯扩散3/2模型最适合捕捉VIX的动态。然后，在这种情况下，衍生工具的定价相对于波动率指数。Drimus和Farkas（2012）试图在线性均值回复动力学假设下，复制源自杜皮尔（1993）的VIX衍生品局部波动面概念。

作者认为，相对于VIX期货，VIX市场已经足够成熟，可以对VIX期权进行定价和对冲，这是市场实践，因此有理由忽略基础指数的动态性。这些模型有几个复杂性。第一个挑战在于确保基础指数和VIX衍生品之间的联合市场不存在套利。为了确保市场无套利，需要对波动率指数的动态进行限制，这是一个文献中尚未解决的问题。在其他金融领域，确保无动态套利的限制的推导是一个众所周知的问题。在利率建模中，HJM漂移条件（Heath et al.（1992））确保直接对远期利率建模时不存在套利。方差互换市场的方差曲线模型类似于利率市场的远期利率模型。Buehler（2006）推导了方差曲线套利条件，并解决了有限维实现和模型一致性问题。通过直接规定动态toBlack-Scholes隐含波动率（参见Sch–onbucher（1999）、Brace et al.（2001）和Schweizer and Wissel（2008））为期权市场模型提供了许多类似结果的尝试。然而，由于状态空间的高维性和Black-Scholes隐含的非线性，期权的情况要复杂得多。本文的主要贡献是理论5。定理3和定理5.4，其中陈述了波动率指数和股票衍生品联合市场之间不存在套利的必要条件。与这种建模方法相关的另一个复杂性在于风险市场价格的适当规定。

由于波动率指数不可交易且不可复制，因此通常不会观察到将衍生工具与其基础资产联系起来的通常关系。VIX期货不受传统的套利成本关系的限制，与现货相比，VIX期权违反看跌期权平价关系。通过直接对波动率指数期货建模（与波动率指数本身相反），避免了适当选择风险市场价格所涉及的复杂性。这类似于利率模型中s短期利率模型与前向曲线模型的比较。与直接的波动率相比，波动率指数期货建模的最终驱动因素是波动率指数期权隐含波动率的概念。为了正确理解VIX期权隐含波动率的数学特征，需要一个将VIX期货的动态与基础指数联系起来的框架。Cox和Hobson（2005）和Roper（2010）对传统期权和隐含波动率表面的无套利限制进行了全面的解释。为此，作者们依赖于等价鞅测度的概念。为了将这些概念扩展到波动率指数和股票衍生品的联合市场，需要具备存在此类措施的必要条件。本文的剩余部分如下。本文的市场惯例、建模框架和数学预备知识在第2节中有详细说明。在第3节中，我们推导了VIX指数的一般半鞅表示。动力学在命题3中陈述。4.表示法相当繁琐，推论3中提供了简化设置中差异项的另一种形式。6.第4节涉及直接对波动率指数期货的期限结构建模的影响。

命题4中推导了代表VIX函数方程组所暗示的VIX过程的动力学。1.第5节涉及基础指数和波动率指数期货期限结构联合建模的影响。第3节和第4节中对动态的限制是为了避免波动率指数和股票衍生品的联合市场之间存在套利。这些限制在定理5中有说明。3.本文以第6节作为结论，其中给出了主要定理的应用。该应用表明，通过直接对波动率指数期货建模，必须限制相应的短期波动率模型的d裂痕和差异，以排除套利。2.本节介绍了本文中采用的初步市场惯例和建模框架。首先说明了波动率指数的市场定义，然后是波动率指数的理论定义以及关于交易工具动态的假设。2.1市场惯例波动率指数试图为投资者提供一个无模型的标准普尔500指数30天波动率市场预期指标。波动率指数的市场定义基于期权合同中预期实现的差异，如下所述。定义2.1。

CBOE VIX的计算公式为]V IXmrkt（T）：=vuuut2er（T）-t） t- tXj∈IΘjkjkj-T- TFP-CPk- 1.× 100; （1） 哪里-t：是时间范围（通常为30天）。r：指从时间t到时间t的无风险利率。k：是一种“在钱的时候”的罢工，罢工的目的是最大限度地减少在时间t的输入和看涨期权价格之间的差异，在时间t到期。kj：是JTH攻击，kj<kj+1。Θj：是指在时间t，行使期限在时间t到期的现金期权的价格，计算为买卖价差的平均值。如果使用j<0看跌期权，如果使用j>0看涨期权，对于j=0，则使用看跌和看涨价格的平均值。I：是由罢工命令的所有j的集合，对于这些j，市场上存在报价罢工，并提供：–如果Θjis的投标价格为零，则j/∈ 一、 －如果满足两个连续的零出价，则总和停止。kj：是中心对称差（kj+1）- 千焦-1） ，除了第一次和最后一次出现的单边差异，以kj为准- 千焦-1或kj+1- 使用适当的kjis。FP CP：是远期指数水平，使用gFP CP:=k+er（T）计算-t） （C）- P） ，其中，可以将t时间的看涨期权和看跌期权的中间价与t时间的终止价和到期价进行比较。如果期权到期前30天内没有期权，通常情况下，BOE会在两个最接近的到期日计算的CBOE VIX squ之间插值，即V IXmrkt:=s（T）- t） ]V IXt（t）NT- 30元- NT+（T- t） ]V IXt（t）30- 新界北- 新界（2） 其中t<t<t+30天<t表示从t到时间t的天数。由于CBOE VIX始终在30天的时间范围内定义，因此忽略了对T的依赖性。VIX是使用流动报价指数期权定义的，但ind-ex本身是不可交易的。