波动率指数期货的市场模型

选择E=FTA，并根据产量进行差异化xiZ∞kΘ（k，τ）*, t、 x）dkx=Xt=-xi等式[ln（Ft+τ）|Xt=x]- ln（英尺）.两边乘以N，除以2τ*Vt和积分下的微分，作为支配收敛定理的结果是有效的，完成了证明。备注3.4。市场实践严重依赖于黑色隐含波动率的概念，这是一种传统衍生产品的惯例。传统的隐含波动率已经得到了很好的研究，它有许多被充分证明的复杂性。由于基础指数和波动率指数之间的联系，波动率波动率带来了许多额外的复杂性，而且在数学结果方面几乎没有进展。推论3中扩散项的表示。6为此类分析提供了潜在的第一步。4从波动率期货推导波动率期货的动力学在本节中，关注的对象是波动率期货方程（10）中给出的方程组。波动率指数的隐含动态是本节的重点，分析独立于基础指数的任何规定。要推导波动率指数和股票衍生品联合市场的套利限制，必须首先推导波动率指数期货隐含的波动率指数动态。在以下命题中，波动率指数的动力学来自波动率指数期货的方程组。该程序类似于从远期利率曲线中恢复短期利率，这是利率建模中众所周知的结果。提议4.1。假设第2节中（A3）的设置。假设系数uV（t，t）、ν（t，t）和初始波动率期货期限结构^FV（0，t）相对于t是不同的，有界偏导数uVT（t，t）、νt（t，t）和^FVT（0，t）。

然后用evt=eV+ZtξueVudu+ZteVuν（u，u）·dWPu（21）给出了隐含VIX的动力学，其中ξ表示以下过程ξt=FVT（0，t）FV（t，t）+^FV（t，t）ZtuV（u，t）FV（u，t）du+FV（t，t）Zt（u，t）FV（u，t）vv（u，t）vv（u，t）·dWPu。（22）证据。回想一下，隐含的波动率满足率vt=^FV（t，t）=^FV（0，t）+ZtuV（u，t）^FV（u，t）du+Zt^FV（u，t）ν（u，t）·dWPu。因此，evt=^FV（0，t）+ZtuV（u，t）^FV（u，t）du+Zt^FV（u，u）ν（u，u）·dWPu+Zt^FV（u，t）ν（u，t）-^FV（u，u）ν（u，u）· dWPu=^FV（0，t）+ZtuV（u，t）^FV（u，t）du+ZteVuν（u，u）·dWPu+Zt^FV（u，t）ν（u，t）-^FV（u，u）ν（u，u）· 德普。对于固定的u>0和每个i=0。。。，d、 ^FV（u，t）ν（u，t）-^FV（u，u）ν（u，u）=Ztudds[^FV（u，s）ν（u，s）]ds=Ztuh^FV（u，s）νT（u，s）+^FVT（u，s）ν（u，s）id。目前，英国电信（u，t）du+Zt（u，t）du（u，t）du（u，t）FV（u，t）TV（u，u）·dWPu+ZTTpu（u，u，s）TTTTTZ图什（u，s）FV（u，s）FV（u（u，s）TZTTpu（u（u，u，u，s）TTZTZTpu（u）du（u）du（u（u，u，u，u，s）TZTZT）du（u）du（u，Zt）du（u，u）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u）du（甚至用于交换积分顺序。写出^FV（0，t）=eV+Zt^FVT（0，u）段，并引入等式（22）中定义的过程ξ，完成证明。5一致性条件在本节中，推导出了对波动率指数和波动率指数期货系列过程动力学的限制。这些限制对于波动率指数和股票衍生品的联合市场之间不存在套利是必要的，称为一致性条件。以下两个定义精确描述了这些条件。条件5.1（C1）。P（Vt=eVt）=1，所有0≤ T≤ T*, P-a、 其中ev是等式（21）中给出的过程。条件5.2（C2）。

存在一个等价的鞅测度Q~ P、 对于基础指数和波动率指数，指数上的期货和期权以及波动率指数上的未来都是Qmartingales。第一个条件是限制的结果，即VIX和VIX期货隐含的动态必须是同一过程的版本。这种情况只需要两个不同的过程，一个过程可以得出的波动率是一致的。第二个条件是标准的无仲裁条件，它是通过应用吉尔萨诺夫定理得到的。一致性条件等价于即将推出的定理5。3和定理5.4。定理5.3的起点是一个等价的鞅测度，由此导出漂移和扩散限制。理论5。4从drif t和diffusion限制开始，关注等价鞅测度的存在性。定理5.3。假设存在一个测度Q~ P证明指数期货和波动率指数期货是Q-鞅。然后存在风险的市场价格λ，与RT*|λs|ds<∞, P-a.s.，这样所有的T∈ [0，T*- τ*] 和t∈ [0，T]，uT=- λt·σt，（23）uV（t，t）=-λt·ν（t，t），（24）对于每个j=0。。。，d、 νj（t，t）=dXi=0Xit2τ*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）σi，jt, （25）σi=（σi，1，σi，2，…，σi，d）和2τ*+σt·σt4τ*Vt+Xi，j=0XitXjtw（i）tw（j）tσit·σjt+ λt·dXi=0witXitσit=^FV（t，t）Zt（λt·ν（t，t））^FV（u，t）du-^FVT（0，t）^FV（t，t）-^FV（t，t）Zt（^FV（u，t）νt（u，t）+^FVT（u，t）ν（u，t））·dWPu，P-a.s。。（26）证据。让Q~ P是上的等价鞅测度(Ohm, 英尺*). 那么aλ的存在性，与rt*|λs|ds<∞, P-a.s.是Radon-Nikod\'ym定理的直接结果。比基尔萨诺夫的理论wqt=WPt-Ztλsds（27）定义了Q下的布朗运动。

因此dftft=utdt+σt·dWQt+λtdt=ut+λt·σtdt+σt·dwqtand^Θ（k，t，t，Xt）=^Θt（k，t，t，Xt）dt+dXi=0^Θxi（k，T，T，Xt）dXit+dXi，j=0^Θxixj（k，T，T，Xt）dXj、Xit=^Θt（k，t，t，Xt）dt+dXi=0^Θxi（k，T，T，Xt）Xituitdt+dXi，j=0^Θxixj（k，T，T，Xt）dXj、Xit+dXi=0^Θxi（k，T，T，Xt）Xitσit·dWPt=^Θt（k，t，t，Xt）dt+dXi=0^Θxi（k，T，T，Xt）uit+λt·σtXitdt+dXi，j=0^Θxixj（k，T，T，Xt）dXj、Xit+dXi=0^Θxi（k，T，T，Xt）Xitσit·dWQt。无套利条件，称为条件5。2（C2），意味着∈ [0，T*],ut=-λt·σt，Q- a、 f或所有k>0，每个T∈ （t，t*],Zt^Θt（k，t，s，Xs）ds+dXi=0^Θxi（k，T，s，Xs）Xisuisds+dXi，j=0^Θxixj（k，T，s，Xs）dXj、Xis= -Ztλs·dXi=0^Θxi（k，T，s，Xs）Xisσ是！ds，Q-a、 s。。引入变量T:=T+τ的变化，并将期权价格表示为到期时间的函数，对于所有τ∈ [0，T*] 和t∈ [0，T*- τ] ，givesZtΘt（k，τ，s，Xs）ds+Θτ（k，τ，s，Xs）ds+dXi=0Θxi（k，τ，s，Xs）Xisuisds+dXi，j=0Θxixj（k，τ，s，Xs）dXj、Xis= -Ztλs·dXi=0Θxi（k，τ，s，Xs）Xisσ是！ds，（28）表示所有k>0。推论3。5和方程（28）在τ=τ时计算*暗示DVTVT=-2τ*+σt·σt4τ*Vt+Xi，j=0XitXjtw（i）tw（j）tσit·σjt+ λt·dXi=0witXitσitdt+dXi=0w（i）tXitσit·dWPt。（29）在风险中性度量Q，d^FV（t，t）下，等式（10）中的过程族给出的波动率期货动态满足=uV（t，t）+λt·ν（t，t）^FV（t，t）dt+^FV（t，t）ν（t，t）·dWQt。无套利条件，称为条件5。2（C2），再次暗示，对于所有∈ [0，T]，uV（T，T）=-λt·ν（t，t），Q- a、 s。。

（30）命题4。1和等式（30）意味着VIX满足动态eVt=ξteVtdt+eVtν（t，t）·dWQt，（31），其中过程ξ由ξt=^FVT（0，t）^FV（t，t）定义-^FV（t，t）Zt（λt·ν（t，t））^FV（u，t）du+^FV（t，t）Zt（^FV（u，t）νt（u，t）+^FVT（u，t）ν（u，t））·dWPu。条件5。1（C1）要求波动率和隐含波动率的动力学是同一过程的版本。将等式（29）和等式（31）中的漂移系数和扩散系数设为等式，即可完成证明。定理5.4。假设u、σ、ξ和ν作为F和^FV的函数，满足所有T的方程（23）（26）∈ [0，T*-τ*] 所有这些都不是∈ [0，T]，P-a.s.，对于某些过程λ，带RT*|λs|ds<∞,P-a.s.，安第普EZ·λsdWPsT*F= 1.进一步假设[0，T]上存在一个适应过程F*- τ*] 以及一系列适应过程^FV（·，T），用于所有T∈ [0，T*-τ*], 关于满足方程（9）和方程（10）的[0，T]。然后，xi有一个等价的度量，Q~ P、 英国《金融时报》*, 对于（英尺）0≤T≤T*和（^FV（t，t））0≤T≤T、 尽管如此，T∈ [0，T*], 因此，指数期货和波动率指数期货都是Q-鞅。备注5.1。Dqdp:=E给出了一个这样的度量Z·λsdWPsT*, （32）其中E（·）表示随机指数。证据测度Q的存在性~ P是通过直接应用Girsanov的定理得到的。定理r的证明。4是定理5.3的证明。备注5.2。定理5.4的鞅测度可能不是唯一的，因为可能存在未交易的风险源。从实践角度来看，复制未定权益的能力可能比amodel的理论完整性更令人感兴趣。理论5。定理3和定理5.4提供了一种无套利的表示方法，使VIX期权能够与VIX期货合约直接对冲。备注5.3。

定理5.3和定理5.4对指数和波动未来的漂移和扩散系数进行了限制。鞅测度的非唯一性通过漂移限制中λ的存在进入定理。然而，由于乘法项是度量不变的，因此应用Girsanov定理并不影响效率。对差异系数的分析不依赖于关于市场完整性和风险市场价格的任何假设。由于Vt一词的存在，对差异术语的限制相当不标准，解释也不明确。6关注理论的含义。定理3和定理5.4关于th eVIX的扩散项。在介绍该定理之前，考虑以下关于差异项的假设。函数形式是从为VIXfutures指定模型的角度出发的。指数的微分系数取决于Vt的原因是，这可能是VIX期货假设动态的隐含结果。假设5.5。扩散系数σ是过程X和V的函数，而过程ν是波动率期货曲线^FV的函数，因此σt=σ（t，Xt，Vt），而ν（t，t）=ν（t，t，^FV（t，t））。以下定理中的偏微分方程（PDE）限制了微分系数σ和dν的选择，因此关节动力学一致。其结果在某种程度上是一个投资问题；给出了方程的解，但系数未知。定理5.6。假设测量值m（·）被选为定义2中规定的值。4.

那么，就不存在理论意义上的联合套利了。3和定理5.4，对于所有t≥ 0和x∈ Rd+1+，dXi=0xiσi，j（t，x，ph（t，x））Hxi（t，x）=2h（t，x）νj（t，t，ph（t，x）），j=0。。。，d、 （33）h（t，Xt）=Vt.证明。定理5.3中的等式（25）表明，对于每个j=0。。。，d、 νj（t，t，Vt）=dXi=0Xit2τ*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）σi，jt, （34）带σi=（σi，1，σi，2，…，σi，d）T.回忆推论3。6，其中说明了扩散项2τ的以下替代表示*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）=-N2τ*及物动词xi等式[ln（Ft+τ）|Xt=x]- ln（英尺）.外稃2。5和马尔可夫性质意味着VIX可以表示为vt=-Nτ*情商自然对数Ft+τ*英尺Xt=x=: h（t，x），对于某些函数h:[0，t*] ×Rd+1+→ R+，因此νj（t，t，ph（t，x））=dXi=0xi2h（t，x）σi，j（t，x，ph（t，x））Hxi（t，x）, j=0。。。，d、 （35）两边乘以2h（t，x）就完成了证明。6应用-比例挥发本节提供了主要结果的应用。研究了波动率期货的一类期限结构模型，并给出了相应的理论。6是用来推导模型假设对未贴现指数动态的影响，从而使联合市场不存在套利。这个例子表明，在对基础指数和波动率指数期货的联合动态进行建模时，不可避免地会涉及复杂性，必须小心避免套利。该模型是满足第5节所述限制的模型的特例，但假设风险中性度量Q已被执行，并且在该度量下直接规定了动力学。VIX期货期限结构的最简单非负模型是几何布朗运动。

随机性的影响是以乘法的方式将整个期货期限结构向上或向下移动，期权通过直接应用布莱克公式定价。该示例很好地说明了建模方法的含义，以及VIX隐含波动率分析的第一步，因为这些波动率是使用Black公式计算的。在下文中，假设基础指数由单因素随机波动率模型驱动。更准确地说，让u：[0，∞) → R和σ：[0，∞) → R可以是两个函数。我们假设指数过程（Ft）的动力学由一个方程组定义dFtFt=pXtdWtdXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dZt，（36），其中W和Z是度量Q下的相关F-适应布朗运动。我们假设每X=X≥ 0和F=F≥ 系统（36）存在唯一的强解（Ft，Xt），使得P（Xt>0）=1，对于所有t≥ 特别是Zt|u（Xs）|ds+Zt|σ（Xs）|ds<∞ Q- a、 美国推论6.1。假设波动率期货满足方程族d^FV（t，t）=β（t，t）^FV（t，t）dZt，0≤ t<t≤ T*, （37）对于某些β：U→ R+式中U={（t，t）|0≤ t<t≤ T*}, 基础指数的动态由随机波动率模型给出（36）。那么，为了不存在套利，β（t，t）、u（x）和σ（x）必须满足β（t，t）≡ γ和u（x）=σ（x）σx（x）- γ,有一段时间∈ R+和t≥ 0和x≥ 0.证明。根据推论2。5.波动率满足率vt=s-Nτ*情商自然对数Ft+τ*英尺英尺.方程（36）中规定的动力学进一步表明vt=s-Nτ*情商Zt+τ*TFSDF-Zt+τ*t2Fsd hF，F为英尺=sN2τ*情商Zt+τ*TXSD英尺=sN2τ*情商Zt+τ*TXSDXt=x=:ph（x），对于某些函数h:R+→ R+。

由于Xt的马尔可夫结构，函数h（x）与t无关，这可以通过引入变量h（x）=N2τ的简单变化来观察*等式“Zt+τ”*TXSDXt=x#=N2τ*等式“Zt+τ”*tXs-tdsX=X#=N2τ*等式“Zτ”*XrdrX=X#。接下来，引入函数h（t，x）：=N2τ*等式“Zτ”*tXrdrX=X#，0≤ T≤ τ*, （38）使H（0，x）≡ h（x）和函数h（t，x）是柯西问题的唯一解（见定理7.6 inKaratzas和Shreve（1991））Ht（t，x）+u（x）Hx（t，x）+σ（x）Hx（t，x）+x=0，0≤ t<τ*,H（τ）*, x） =0。微分方程（38）并取极限t0意味着Ht（0+，x）=-x、 在t=0时评估上述方程意味着h（x）满足u（x）Hx（x）+σ（x）Hx（x）=0。（39）理论5。6意味着σ（x）和h（x）必须共同满足σ（x）Hx（x）=2β（t，t）h（x），（40）对于所有t≥ 0和dx≥ 0.使用h（x）在时间上是常数这一事实意味着β（t，t）≡ γ、 对于某些γ>0。关于x产量的微分方程（40）σx（x）Hx（x）+σ（x）Hx（x）=2γHx（x）和σ（x）Hx（x）=σ（x）Hx（x）2γ -σx（x）= γh（x）2γ -σx（x）. （41）等式（39）-（41）暗示2γh（x）u（x）σ（x）+γ-σx（x）= 0（42），因此u（x）σ（x）+γ-σx（x）=0。求解u（x）就完成了证明。在以下推论和示例中，推论6.1的假设适用于非平凡的波动率σ。推论6.2。假设σ（x）=xσ（x），其中σ：R→ R是连续不同的和supx∈R |σ（x）|+σ′（x）< ∞, 十、∈ R然后，对于每一个X>0，方程dxt=σ（Xt）存在唯一的全局非负解σ′（Xt）- γdt+σ（Xt）dZt。（43）此外，方程（36）中定义的过程F对于每F>0是正鞅。证据推论的假设给出了方程（43）每x的解的存在性和唯一性∈ R

此外，Xt=expZtσ（Xs）σ′（Xs）- γ -σ（Xs）ds+Ztσ（Xs）dZs.这很容易检查ZTXsds< ∞,因此（Ft）是一个平方可积鞅。实例对于某个α>0，考虑σ（x）=α的等式（43）√x、 为了x≥ 0.那么方程的形式为dxt=αdt+αpXt(-γdt+dZt）。回想一下，方程Dyt=αdt+αpYtdZt，Y>0，有一个非常强的解，它瞬间反映在零，因此P（Yt≥ 每t>0=1。利用等价的测度变化，方程（43）有一个唯一的弱解X，使得P（Xt≥ 每t>0=1。由于γ>0且E（Xt）+αγZtE（pXs）ds=E（X）+αt，（Ft）的鞅性质如下。推论6。1.瞬时方差过程的合理动力学源自波动率指数期货期限结构的相关动力学。Invor和Sun（2007）在方差互换的背景下进行了相似分析。作者提出了另一个通用框架，在该框架中对基础指数和单一方差互换进行建模。推导了瞬时方差过程的合理风险中性动力学，从而使标的资产的动力学与方差互换的动力学一致。然而，由于关注的对象是varianceswap，而不是VIX，因此他们的限制与此处获得的限制不同。作者研究了方差交换逼近时的极限情况，并结合P DE参数，从一个相当普遍的设置中获得了有趣的限制。推论6中提出的类似论点。1对于VIX，也要使用PDEarguments，但是，在方差交换使用限制参数的情况下，使用了时间不变量参数，因为VIX是在固定的时间范围内定义的。7结论本文提出了一种新的建模方法，对波动率指数期货的期限结构进行了动态描述。