具有负参数的多样性加权投资组合

下限为正的最大整数是k=b1/（1）- δ） c，给出（27）。4.1在假设（LF）下，可以尝试使用参数p=r的多样性加权投资组合的变量（在Fernholz（2001）的示例4.2中介绍）构造相对套利∈ R只投资m=m排名最高的股票（因此自然避免投资“崩溃”的股票），即：π#pt（k）（t）=（u（k）（t））rPm`=1（u（t））r，k=1，m、 0，k=m+1，n、 （29）这里，pt（k）是在t时排名为k的股票的指数（通过选择最低的指数，再次“按字母顺序”解决关系），因此upt（k）（t）=u（k）（t）。我们用Lk，k+1（t）表示≡ λΞk（t）连续非负半鞅k（·）：=log在原点处，在时间间隔[0，t]内累积的半鞅局部时间u（k）（·）/u（k+1）（·）, k=1，N- 1.（30）定义2。让我们考虑formlog中所有连续的非负半鞅原点的局部时间u（k）（·）/u（k+r）（·）, k=1，N- r，r≥ 2，并将其称为“高阶碰撞本地时间”。在本节中，我们将假设如下：假设1。所有高阶碰撞本地时间都消失了。读者应参考Banner和Ghomrasni（2008）关于排序半鞅的一般理论，以及Ichiba等人（2011）关于确保高阶碰撞在本地时间消失的有效条件，如假设1所述。当试图用投资组合（29）构建相对套利时，会遇到一个问题。

也就是说，奥芬霍尔兹（2001）定理3.1的一个应用断言，以下主方程适用于这个基于秩的投资组合：logVπ#（T）Vu（T）= logG#r（u（T））G#r（u（0））！+(1 - r） ZTγ*π#（t）dt（31）-ZTπ#pt（m）（t）dLm，m+1（t），其中G#rπ#（·）的母函数；与（26）相比。由于半鞅局部时间的无界性，（31）中的最终项（Fernholz（2001）称为“泄漏”）不允许有明显的几乎确定的界。因此，在合理条件下，π#（·）的市场相对表现不存在下限。由于在实际市场中，该局部时间期限通常很小，我们仍然预计该投资组合会有良好的表现，因此将其纳入我们的实证研究中——见第6.4.2节小型股票的多样性加权投资组合≤ m<n，并通过π[pt（k）（t）定义一个小型股票多样性加权投资组合=0，k=1，m、 （u（k）（t））rPn`=m+1（u（`）（t））r，k=m+1，n、 （32）有了这项新的豁免，（31）中的局部时间项改变了π[（·）的符号（见下面的等式（38）），上一小节中提到的问题消失了。事实上，我们可以证明，（32）中的新投资组合在假设（ND）、（LF）下，对于参数r的某些正值，以及假设（ND）、（NF）下的表现优于市场，当r在负值的适当范围内时。提议1。我们将自己置于市场模型（1）的背景下，并在假设1和条件（ND）下。（i） 如果条件（LF）也成立，则参数为（32）的小型股票多样性加权投资组合∈-log（2）log（（m+1）κ），1m=m- 2（33）是在时间范围内[0，T]相对于市场μ（·）的强相对套利，前提是κ<2（m+1）和T>T[+：=日志N-M- r日志（m+1）κεr（1）- r）2.- （m+1）-rκ-R.

（34）（ii）如果（NF）也成立，则（32）的小型股票多样性加权投资组合具有参数∈日志（n）- m） 对数（（m+1）~n），0（35）是在时间范围[0，T]内相对于市场u（·）的强套利，前提是T>T[-:=-2（n- m） 对数（（m+1）~n）ε（1）- r）N- M- （m+1）rаr. （36）证据。组合（32）由函数gr（x）：=nX`=m+1生成x（`）R1/r，（37）基于等级的（20）变体。以类似于（31）的方式，奥芬霍尔茨（2001）定理3.1暗示了我们的小型股票投资组合表现的以下主方程：logVπ[（T）Vu（T）= 日志Gr（u（T））Gr（u（0））+ (1 - r） ZTγ*π[（t）dt（38）+ZTπ[pt（m）（t）dLm，m+1（t）。我们注意到，当与（29）中的大型股票组合方程的分析（31）并列时，最后一项的符号发生了变化。案例（i）：与r∈- log（2）/log（（m+1）κ），1如（33）所示，我们有κ<2（m+1）==> r>-日志（2）日志（m+1）κ> 0 . （39）回忆（LF）和m=m- 2，我们有以下边界2κr<（u（m-1） （t）r+（u（m）（t））r+nX`=m+1（u（`）（t））r=nX`=m+1（u（`）（t））r=Gr（u（t））r（40）≤nX`=m+1m+1r=（n）- m）m+1-r的生成函数Gr，并导出下边界logGr（u（T））Gr（u（0））> 日志（m+1）κ-rlogN- M. （41）注意，使用（40）和u（k）（t）中的下限≤ 1/k，k=1，n，我们得到π[（1）（t）=（u（m+1）（t））rPn`=m+1（u（`）（t））r<（m+1）-r2κr<1，（42），其中最后一个界来自（39）中的不等式。非简并条件（ND）现在给出了sztγ*π[（t）dt≥εZT1.- π[（1）（t）dt>εT1.-2（m+1）rκr（43）连同第（11）及（42）款。而π[pt（m）（t）的非负性，再加上局域时间Lm，m+1（·）的不衰减，表明ztπ[pt（m）（t）dLm，m+1（t）≥ 0 . （44）我们使用它，并将（41）和（43）应用于基于秩的主方程（38），以获得logVπ[（T）Vu（T）> 日志（m+1）κ-rlogN- M(45)+ε(1 - r） T1.-2（m+1）rκr> 0，P-a.s.，当且仅当（34）中定义的T>T[+时。

我们的结论是，在这些条件下，π[（·）在短期内的表现强于市场[0，T]。案例（二）：与r∈日志（n）- m） /log（nκ），0在条件（NF）下，我们有以下界限（n- m） （m+1）-R≤nX`=m+1（u（`）（t））r=Gr（u（t））r<（n- m） 对于第一个不等式，我们使用了一个简单的事实，即u（`）（t）≤ u（m+1）（t）≤1/（m+1）表示“=m+1，·n”。然而，从（35）中，我们有π[（1）（t）=（u（n）（t））rPn`=m+1（u（`）（t））r<νr（n）- m） （m+1）-r<1（47），类比（23）。不等式（46）导致下边界对数Gr（u（T））Gr（u（0））> 日志（m+1）~n; （48）和非简并条件（ND），以及（11）和最大组合权重π[（1）（·）的上界（47），给出了ztγ*π[（t）dt≥εZT1.- π[（1）（t）dt>εT1.-（m+1）rаrn- M. （49）同样，我们使用（44）并将（48）和（49）应用于主方程（38），toobtainlogVπ[（T）Vu（T）> 日志（m+1）~n+εT（1）- r）1.-（m+1）rаrn- M（50）>0，P-a.s.，前提是T>T[-如（36）所述。因此，这种小型股票、负参数投资组合π[（·）在短期内表现优于市场[0，T]。5进一步考虑我们现在给出了一些其他结果，其中第一个结果表明，多样性加权投资组合（16）与∈ （0，1）在充分条件下优于其负参数对应物。我们还研究了这两种多样性加权投资组合的特殊组合，表明其表现优于非退化多样性市场——见下文命题3。5.1消极与消极。

正参数在下面的命题2中，除了（ND），我们还将以有界方差假设的形式，对协方差矩阵a（·）的特征值施加上界： K>0，使得：ξσ（t）σ（t）ξ≤ K | |ξ| |， ξ ∈ Rn，t≥ 0 ; P-a.s.（BV）根据Fernholz和Karatzas（2009）的引理3.5，有界方差条件（BV）意味着长期只有投资组合π（·）存在几乎确定的不等式γ*π（t）≤ 2K1.- π（1）（t）,  T≥ 0.（51）提案2。让我们把自己置于市场模型（1）中，在条件（ND）、（BV）和（NF）下。多样性加权投资组合π（p-)（·）带负参数P-∈对数nlog（n k），0则是相对于具有正参数p的多样性加权投资组合π（p+）（·）的强套利+∈maxn0，1-ε（n）- （n k）p-)(1 - P-)4K（n）- 1） o，1, （52）在任何长度[0，T]的地平线上>-2 log（n~n）C.（53）此处正常数C定义为asC:=ε1-（n k）p-N1.- P--2Kn（n）- 1)(1 - p+。（54）证据。为了简化符号，我们分别为π（p±）（·）和gp±写π±（·）和G±。请注意，对于p+>0，（21）中的不等式相反，即n k p+<G+（u（t））p+≤ n1-p+，（55），这再次给出了p=p+的下界（22）。使用（51）和观测π+（1）（t）≥ 1/n，我们知道了*π+（t）dt≤ 2KZT1.- π+（1）（t）dt≤ 2KT1.- （1/n）. （56）因此，回顾（25），我们可以看到，通过（55）和（56），π（·）=π+（·）的主方程（14）可以得到上界对数Vπ+（T）Vu（T）< - 对数（n k）+2（1）- p+）KT1.- （1/n）, P-a.s.（57）结合（26）和（57），我们发现Vπ-（T）Vπ+（T）= 日志Vπ-（T）Vu（T）- 日志Vπ+（T）Vu（T）（58）>2对数（n~n）+CT>0，P-a.s.，前提是CT>-2对数（n k）>0。（59）这里，常数C由（54）给出。一个简单的计算表明，（52）意味着C>0，而（59）中的最后一个不等式来自于φ<1/n。

因此，（59）中的第一个不等式等价于（53）中的条件，在这种情况下π-（·）在时间范围内强于π+（·）的性能[0，T]。命题2表明，只要多样性加权投资组合π（p+）（·）与市场投资组合u（·）“非常相似”（因此与π（p+）的“距离”-)（·）），在足够长的时间内，多样性加权投资组合π（p-)（·）带负参数——当然，前提是上述关于股票波动性结构和非失败的条件成立。备注2。与（D）相比，更强的（NF）假设意味着比（17）更短的最小时间范围，在（17）中，参数为p的多样性加权投资组合+∈ （0,1）被有力地保证跑赢市场。也就是说，Gp+（x）≥ 1.十、∈ n+加上（55）意味着1，n~np+≤Gp+（u（t））p+≤ n1-p+。（60）回想第2.4节末尾的内容，（NF）意味着参数δ=（n）的多样性（D）-1)φ. 从（17）可以得出结论，并使用与定理1的证明类似的论点，即正参数多样性加权投资组合在[0，T]范围内是相对于市场的强套利，T>min2对数nεδp，-2原木nδ/（n）- 1)εδ(1 - p）. （61）这是（17）的一个改进，当且仅当φ>n时-1/p+。5.2混合由于无故障假设（NF）在实际市场中不成立，因此有兴趣发现（16）的变体表现出类似的性能，但需要较弱的假设。命题1中基于等级的变体就是一种尝试；下面的提案3是另一个。提议3。

定义portfoliobπ（t）=p（t）π+（t）+（1- p（t））π-（t） ，（62）具有π±（·）=π（p±）（·）多样性加权投资组合，如（16）中所定义，具有p+∈ （0,1）和p-< 0，混合比例p（·）由p（t）=Gp+（u（t））Gp+（u（t））+Gp给出-（u（t））∈ (0, 1). （63）在市场模型（1）中，在假设（ND）和（D）的情况下，投资组合bπ（·）相对于市场u（·）是一个强套利，在时间范围[0，T]内，T>T:=2（1+n（1/p）-)-1） 日志n（1/p+）-1+n（1/p）-)-1.εδ(1 - p+。（64）证据。公文包（62）由函数bg=G++G生成-, g±=Gp±π±（·）=π（p±）（·）的母函数，如（20）所示；letg±（·）=gp±（·）是它们的漂移过程，如（25）所示。组合投资组合bπ（·）的漂移过程是bg（t）=-1bG（u（t））nXi，j=1DijbG（u（t））ui（t）uj（t）τuij（t）=p（t）-12G+（u（t））nXi，j=1DijG+（u（t））ui（t）uj（t）τuij（t）+（1- p（t））-12克-（u（t））nXi，j=1DijG-（u（t））ui（t）uj（t）τuij（t）=p（t）g+（t）+（1- p（t））g-（t） =（1）- p+p（t）γ*π+（t）+（1）- P-)(1 - p（t））γ*π-（t） )；（65）最后一步从（25）开始。我们注意到γ*π-（t）≥ 0，（66），因为这适用于Fernholz和Karatzas（2009）的引理3.3，加上p（t）<1的观察，使得我们能够获得边界bg（t）≥ (1 - p+p（t）γ*π+（t）。（67）我们注意到简单边界1=nXi=1ui（t）≤nXi=1ui（t）p+=G+（u（t）p+≤ n1-p+，（68），并且（21）中的下限即使没有（NF）也成立，所以现在0≤nXi=1ui（t）P-1/p-= G-（u（t））≤ n（1/p）-)-1.（69）利用（68）的下界和（69）的上界，我们得出P（t）=1+G-（u（t））G+（u（t））-1.≥1+n（1/p）-)-1> 0. （70）我们可以很容易地看到，在正参数多样性加权投资组合中，大盘股投资的财富相对于市场投资组合的比例是最小的，小盘股投资的财富比例是增加的；因此π+（1）（t）=（u（1）（t））pPni=1（ui（t））p≤ u（1）（t）。

（71）非简并条件（ND）意味着（11），由（71）和多样性假设（D）得出γ*π+（t）≥ε1.- π+（1）（t）≥ε1.- u（1）（t）>εδ . （72）最后，将（67）应用于主方程（14），然后使用边界（68）、（69）和（70）、（72），我们得出Vbπ（T）Vu（T）≥ 日志G+（u（T））+G-（u（T））G+（u（0））+G-(u(0))+ (1 - p+）ZTp（t）γ*π+（t）dt>- 日志n（1/p+）-1+n（1/p）-)-1.+ε1.- p+δT1+n（1/p-)-1> 0，P-a.s.（73），前提是T满足（64）。我们已经证明，在非简并性和多样性的假设下，在足够长的时间范围内，仅长期投资组合（62）的表现远远优于市场。正如Fernholz等人（2005年）的附录所证明的，这是投资组合π+（·）本身也具有的一个属性。我们还注意到，由于（64）的“阈值”T在p中严格降低-, 下限（73）在p中严格增加-对于fixedt，负参数p越接近，我们的结果越强-回到原点。当我们拿p-↑ 0，我们恢复了众所周知的结果，即bπ（·）=π（p+）（·）是相对于市场的强套利。备注3。命题3的陈述可以通过将多样性条件（D）弱化为地平线上的弱多样性[0，T]来加强。这一概念在Fernholz等人（2005）的方程式（4.2）中定义为： δ ∈ （0，1）使得：TZTu（1）（t）dt<1- δ= 1.（WD）在这种较弱的假设下，很容易看出（72）的以下修改将成立，从而保持证据的有效性：ZTγ*π+（t）dt≥εZT（1）-π+（1）（t））dt≥εZT（1）-u（1）（t））dt>εδt（74）5.3任意时间范围我们应该注意，由于（NF）和（LF）条件都是复杂多样的，Fernholz et al.（2005）的引理8.1和示例8.3得出结论，存在短期相对套利。

也就是说，使用Fernholz、Karatzas和Kardaras的“镜像投资组合”，可以构建一个在任何时间范围内都优于市场的投资组合[0，T]。5.4两个具有阈值的投资组合我们提到了brie fly投资组合（16）的另外两个变量，p<0，在中高端市场权重方面表现出类似的行为（即他们投资于相对市场价值下降的股票，并在公司的市场权重增加时出售股票），但一旦公司的市场权重降至某个阈值以下，就开始出售股票。这个阈值背后的想法是，它代表了一个价值，如果低于这个价值，投资者会担心公司破产，并希望清算公司的头寸，以最大限度地减少损失。我们提出的两个投资组合的权重Γi（t）=ui（t）ke-ui（t）/θPnj=1uj（t）ke-uj（t）/θ，i=1，n（75）和bi（t）=ui（t）α（1）- ui（t））βPnj=1uj（t）α（1- uj（t））β，i=1，N（76）这里，k，θ和α，β都是正常数；投资组合权重变为市场权重递增函数的阈值分别为θk和α/（α+β）。到目前为止，我们关于这些投资组合的结果仍然局限于实证结果（见第6节）。Γ（·）投资组合的理论结果可能与Banner和Fernholz（2008）中的命题1类似。6实证结果我们通过使用历史市场数据对投资组合的绩效进行实证研究，来检验理论结果的有效性和适用性。更准确地说，我们通过在1990年1月1日至2014年12月31日期间T=6301个连续交易日，根据本文研究的S&P 500指数n=500日成分股的投资组合进行反向测试。我们从Compustat和CRSP数据集获得这些数据（这些数据集可从网站上获得）http://wrds-web.wharton.upenn.edu/wrds/)。

我们有合并、收购和清算等公司合并和终止。我们的目标是尽可能真实地模拟投资者在没有任何额外信息的情况下实施我们的投资组合的财富演变，并因此对每笔交易施加等于0的比例交易成本。交易总额绝对值的5%。我们使用简单的总方差标准重新平衡投资组合，也就是说，我们只在总方差“距离”TV（eπ（t），π（t））=nXi=1eπi（t）时重新平衡投资组合eπi（t）- πi（t）（77）在目标投资组合π（·）和投资组合eπ（·）之间，变得大于某个阈值，我们通过试错经验确定该阈值——也就是说，我们只需尝试每个投资组合的几个阈值，然后选择在整个持有期内为该特定策略提供最高回报的阈值。这里，eπ（t）是当投资者在时间t不重新平衡时，投资于股票的财富比例的向量，即iseπi（t）=πi（t）- 1） V′π（t）- 1） V′π（t）Xi（t）Xi（t）- 1） ，i=1，n、 t=2，T、 其中π（T）-1） 是在上一个时间步骤中实际实现的投资组合。我们使用R来编程我们的模拟——代码可根据要求提供。我们在表1中总结了我们的发现，其中显示了超过市场的平均年相对回报率（表示为“市场RR”），以及我们使用的整个25年期间投资组合的夏普比率；后者的计算公式是：在这里，Rπ={Rπ（t），t=1，…，t}是投资组合π的每日收益率，平均值为π，名称为π（t）=Vπ（t）Vπ（t）- 1)- 1，t=2，T、 （79）对于任何数字序列x，…，样本标准偏差StdDev定义如下：，xk∈ R与平均值x:StdDev（x，…，xk）:=K- 1kXi=1（xi- x） 。