具有负参数的多样性加权投资组合

（80）此外，我们计算每个投资组合的以下绩效指标：eγπ：=γπStdDev（Rπ）·，（81）即总增长率除以样本标准偏差。前者估计为γπ=logVπ（T）Vπ（1）. （82）图1展示了与我们的投资组合相对应的财富过程。从表1和图1中，我们可以看到，无论是在市场相对回报率方面，还是在夏普比率方面，所有投资组合的表现都远远超过市场（然而，只有在2000年之后）。我们还注意到，财富过程的模拟实现比市场更具波动性；这些投资组合似乎能更好地利用市场增长，但当市场表现不佳时，也会更快地失去价值。此外，我们研究的负参数投资组合在研究期间的表现似乎比其正参数版本更好。读者会注意到，p=0.5的正参数投资组合π（p）（·）和混合投资组合bπ（·）给出了相同的结果，这是因为正参数多样性加权投资组合的权重（63）总是非常接近1（即1）-p（t）~ 1e-11）。最后，我们希望强调的是，上述投资组合和阈值参数仅经过试探性优化，因此有相当大的改进空间（即通过更系统的优化）——投资组合的性能对这些参数以及交易成本水平非常敏感。

因此，我们的实证研究仅仅是对小投资者投资组合的潜在市场表现的证明。7讨论和对未来研究的建议我们希望指出，我们的所有结果都需要对市场的波动性结构以及表1的行为进行一定的假设：在1990年1月1日至2014年12月31日之间对标准普尔500指数的组成部分进行交易时，所研究投资组合的一些绩效指标，该市场的平均年回报率为9.7190%。对于等权投资组合πEi（·）=1/n，i=1，…，我们写出πE（·），n、 参数“TV Threshold”决定了我们在（77）中重新平衡的TV值，我们在样本中通过试错来确定。投资组合电视阈值市场RR夏普比率eγπu（·）N/A 0%0.60477 8.1678πe（·）0.0005 2.2331%0.70428 9.7127π（p）（·），p=0.50.0022 1.6125%0.76766 10.949π（p）（·），p=-0.5 0.0015 4.9655%0.78558 10.910π#（·），r=-0.5，m=4700.0025 2.5778%0.76979 10.873π[（·），r=0.5，m=30 0.0001 0.9578%0.64713 8.8215π[（·），r=-0.5，m=30 0.0100 1.7645%0.674129.2114bπ（·），p+=0.5，p-= -0.50.00221.6125%0.76766110.949Γ（·），k=0.65，θ=1e-40.00203.6336%0.681609.0796B（·），α=1e-4，β=20.00021.8701%0.67919.2920市场权重。无故障条件（NF）在实际市场中并不适用，因为通常一些公司会崩溃。较弱（LF）假设是对这一点的一种改进，可以认为m不太接近n——不过，据作者所知，没有一种机制可以支持这一点，因为多样性假设（D）可以通过反垄断监管实施。

关于这一点，请参见Strong和Fouque（2011年），以及Karatzas和Sarantsev（2014年）最近的一篇论文，其中允许公司数量的变化——由于公司的拆分和合并。V.Papathanakos（私人通信）提出，从从业者的角度来看，在大规模实施负参数多样性加权投资组合时存在若干限制。其中之一是，通常要求任何头寸所持股份都不超过（比如）证券流通股的1%；我们的投资组合图1：与表1中的投资组合对应的财富过程，即：市场投资组合u（·）；多样性加权投资组合π（p）（·），其中p=0（即同等加权投资组合），p=0.5，p=-0.5; r=-0.5，m=470和π[（·），其中r=0.5，m=30，r=-0.5，m=30；来自（62）的混合投资组合bπ（·），其中p+=0.5，p-= -0.5; 投资组合（75）和（76），k=0.65，θ=1e-4，α=1e-4，β=2。大力投资小型股。另一个制约因素与流动性有关：以可预测的方式进行定期再平衡（所有功能生成的投资组合都暗示了这一点）会产生非常高的交易成本。对这些现象及其对投资组合绩效的影响进行建模是有用的。更一般地说，在随机投资组合理论的框架下发展一种交易成本理论将是非常有意义的，它将允许人们在给定某个投资组合的情况下改进甚至优化再平衡规则。（Fernholz，2002年，第6.3节）对此进行了首次尝试，其中R。

Fernholz估计多样性加权投资组合的营业额。另一个想法是用这些假设的概率版本取代几乎确定的假设（D）、（LF）和（NF），其中市场权重的相应界限保持在接近但小于1的概率。很有意思的是，看看是否可以构建概率相对套利，这种套利具有一定的“超越”市场的可能性——这方面的第一项研究见Bayraktar等人（2012年）。人们还可以加入关于预期的漂流和破产的额外信息，以改进本文中提出的简单投资组合。Pal和Wong（2013）的方法可能会用于实现这一点。此外，开发在功能生成的投资组合类别中寻找最佳相对套利的方法也很有意义；Pal和Wong（2014年）对此进行了尝试，Fernholz和Karatzas（2010年）和Fernholz和Karatzas（2011年）也尝试了更一般的策略。最近的论文Wong（2015）对某些投资组合存在相对套利进行了限制。确认沃顿研究数据服务公司（WRDS）用于准备本文的数据。本服务及其可用数据构成WRDS和/或其第三方供应商的宝贵知识产权和商业秘密。参考Adrian D.Banner和Daniel Fernholz。短期相对套利的非意愿稳定了市场。安。《金融》，4:445–4542008。阿德里安·D·班纳和拉乌夫·古姆拉斯尼。排序连续半鞅的局部时间。《随机过程及其应用》，118（7）：1244–12532008。二汉·贝拉克塔尔、黄玉瑞和宋清硕。以给定的概率超越市场投资组合。安。阿普尔。Probab。，22(4):1465–1494, 2012.Daniel Fernholz和Ioannis Karatzas。

关于最优套利。安。阿普尔。Probab。，20(4):1179–1204, 2010.Daniel Fernholz和Ioannis Karatzas。模型不确定性下的最优套利。安。阿普尔。Probab。，21(6):2191–2225, 2011.罗伯特·费恩霍尔兹。投资组合生成函数。金融市场定量分析，新泽西州River Edge。《世界科学》，1999年。罗伯特·费恩霍尔兹。由排名市场权重函数生成的股票投资组合。金融斯托赫。，5:469–486, 2001.罗伯特·费恩霍尔兹。随机投资组合理论。斯普林格，2002年。罗伯特·费恩霍尔兹和伊奥尼斯·卡拉萨斯。随机投资组合理论：综述。《数值分析手册》编辑阿兰·本索桑和张强。第十五卷。特别卷：《数值分析手册》第15卷：金融中的数学建模和数值方法。爱思唯尔/北荷兰，阿姆斯特丹，2009年。罗伯特·费恩霍尔茨、伊奥尼斯·卡拉萨斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯。股票市场的多样性和相对套利。金融斯托赫。，9(1):1–27, 2005.Ichiba Tomoyuki、Vassilios Papathanakos、Adrian Banner、Ioannis Karatzas和Robert Fernholz。混合阿特拉斯模型。安。阿普尔。Probab。，21(2):609–644, 2011.Ioannis Karatzas和Andrey Sarantsev。具有分裂和合并的竞争布朗粒子的不同市场模型。arXiv预印本XIV:1404.07482014。J¨org R.Osterrieder和Thorsten Rheinl¨ander。通过非等效度量变化，在独立市场上获得套利机会。安。《金融》，2:287–301，2006年。Soumik Pal和Ting Kam Leonard Wong。能量、熵和套利。arXiv预印本arXiv:1308.53762013。Soumik Pal和Ting Kam Leonard Wong。相对套利的几何结构。arXiv预印本arXiv:1402.37202014。安德烈·萨兰采夫。关于一类多样化的市场模式。安。《金融》，第10（2）：291-3142014页。温斯洛·斯特朗和让·皮埃尔·福克。监管分拆模式中的多样性和套利。安。《金融》，2011年7:349-374。王廷锦。

相对套利的优化。安。《金融》，第1-38页，2015年。