具有负参数的多样性加权投资组合

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英文标题：
《Diversity-Weighted Portfolios with Negative Parameter》
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作者：
Alexander Vervuurt and Ioannis Karatzas
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We analyze a negative-parameter variant of the diversity-weighted portfolio studied by Fernholz, Karatzas, and Kardaras (Finance Stoch 9(1):1-27, 2005), which invests in each company a fraction of wealth inversely proportional to the company\'s market weight (the ratio of its capitalization to that of the entire market). We show that this strategy outperforms the market with probability one, under a non-degeneracy assumption on the volatility structure and the assumption that the market weights admit a positive lower bound. Several modifications of this portfolio, which outperform the market under milder versions of this \"no-failure\" condition, are put forward, one of which is rank-based. An empirical study suggests that such strategies as studied here have indeed the potential to outperform the market and to be preferable investment opportunities, even under realistic proportional transaction costs.
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中文摘要：
我们分析了Fernholz、Karatzas和Kardaras（Finance Stoch 9（1）：1-27，2005）研究的多样性加权投资组合的一个负参数变量，该变量将财富的一小部分投资于每家公司，与该公司的市场权重（其资本化与整个市场资本化的比率）成反比。我们证明了在波动率结构的非简并性假设和市场权重允许正下限的假设下，该策略优于概率为1的市场。对该投资组合进行了几次修改，在这种“无失败”条件的温和版本下，其表现优于市场，其中一次修改是基于排名的。一项实证研究表明，即使在现实的比例交易成本下，本文研究的此类策略确实有可能超越市场，成为更好的投资机会。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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关键词：投资组合 多样性 proportional Quantitative Mathematical

具有负参数的多样性加权投资组合*Alexander Vervuurt+Ioannis Karatzas2015年7月2日摘要我们分析了Fernholz、Karatzas和Kardaras（Finance Stoch9（1）：1–27，2005）研究的多样性加权投资组合的一个负参数变量，该投资组合投资于每家公司的财富比例与公司的市场权重（其资本与整个市场的资本比率）成反比。我们证明，在波动性结构的非简并假设和市场权重允许正下限的假设下，该策略在足够长的时间范围内以概率1优于市场。本文提出了该投资组合的几种修正，在较温和的无故障条件下，其表现优于市场，其中一种是基于排名的。一项实证研究表明，即使在现实的比例交易成本下，本文研究的这些策略确实有可能超越市场，成为更好的投资机会。*作者非常感谢Adrian Banner、Robert Fernholz、Thibaut Lienart、Michael Monoyios、Vassilios Papathanakos、Julen Rotaetxe、Johannes Ruf和ananonymous仲裁人对手稿的仔细阅读，以及他们提出的许多有见地和有益的建议。+牛津大学数学研究所，安德鲁·威尔斯大厦，英国牛津伍德斯托克路拉德克利夫天文台区，牛津大学，OX2 6GG（电子邮件：vervuurt@maths.ox.ac.uk)Alexander Vervuurt感谢博士。

来自工程和物理科学研究委员会、野村证券和牛津曼定量金融研究所的学生美国纽约哥伦比亚大学数学系，邮编：NY 10027（电子邮件：ik@math.columbia.edu)，以及美国新泽西州普林斯顿市帕默广场441号套房Intech投资管理公司（电子邮件：ik@enhanced.com).由国家科学基金会（NSF-DMS-14-05210.1 Introduction）资助的inpart研究。随机投资组合理论为股票市场中的投资组合选择提供了一种相对新颖的方法，旨在——除其他外——构建在给定时间范围内以概率1表现优于指数或基准投资组合的投资组合，只要有可能。读者参考了R.Fernholz的专著（Fernholz，2002年），以及Fernholz和Karatzas（2009年）最近的综述。Fernholz等人（2005年）的研究表明，在满足某些假设的市场模型中，这种表现优异的投资组合在相当长的时间内都存在；即弱多样性和非简并性。这种投资策略之一就是所谓的多元化加权投资组合。通过将市场投资组合的权重全部提高到某个给定的幂p，可以重新校准市场投资组合的权重∈ （0,1）然后重新正常化；见Fernholz等人（2005年）。我们在这里研究这种策略的一种变体，即负参数p<0的多样性加权投资组合。该策略向每家公司投资一定比例的财富，该比例与公司资本与整个市场资本的比率成反比（该比率称为公司的市场权重）。

因此，该战略在公司股票价值增加时出售，在公司股票价值减少时购买。1.1预览我们在第2节中建立模型并介绍必要的定义。我们的第一个主要结果是，这种负参数多样性加权投资组合在长期内也优于市场，但现在处于无失败状态。这假设所有的市场权重都是由一个正常数从下方统一确定的——见第3节。无故障条件比多样性更强大。第4节显示了对该投资组合（仅投资小资股）的基于排名的修正，以超越市场，同样是在“无失败”的假设下。对于某些正参数sp∈ （0,1），这种基于排名的投资组合在温和且更现实的条件下表现优于市场，即有限失败。该条件仅对m<n的市值最大的公司设定了统一的市场权重下限，其中n为市场中的股票总数。我们在第5节中给出了另外两个结果。第一个结果表明，在市场协变量结构的附加有界性假设下，负参数多样性加权投资组合的表现优于正参数多样性加权投资组合；这就假定，基础It^o模型中卵巢矩阵的特征值在时间上是一致的，从上面有界的。

我们的第二个结果研究了这两种多样性加权投资组合的组成，并表明，在多样性条件下，这种“组合”几乎肯定在足够长的时间范围内比市场表现更好。我们在第6节对构建的投资组合进行了实证研究，证明如果在1990年1月1日至2014年12月31日的25年期间对指数成分进行调整，我们对多样性加权投资组合的调整将大大超过标准普尔500指数。在这项研究中，我们纳入了0.5%的按比例交易成本、因破产而终止的股份、合并和收购，以及股息等分配。我们计算了这段时间内我们投资组合的相对回报，以及与市场指数相关的夏普比率。我们将在第7.2节“预备工作”2中讨论结果和未来可能的工作。1模型我们的市场模型是随机投资组合理论（Fernholz，2002）的标准模型，其中股票资本化是在It^o过程中建模的。即n个股票资本化过程的动力学Xi（·），i=1，n由dxi（t）=Xi（t）给出bi（t）dt+dXν=1σiν（t）dWν（t）, T≥ 0，i=1，N（1） 这里是W（·），Wd（·）是带d的独立标准布朗运动≥n、 Xi（0）>0，i=1，n是初始资本化。我们假设所有过程都定义在概率空间上(Ohm, F、 P），并适应过滤F={F（t）}0≤t<∞这满足了通常的条件，并且包含了由“驱动”布朗运动产生的过滤。收益率bi（·），i=1。

，n和挥发率σ（·）=（σiν（·））1≤我≤n、 一,≤ν≤d、 F-可逐步测量并假设满足可积性条件nxi=1ZT吗|bi（t）|+dXν=1（σiν（t））dt<∞, P-a.s。； T∈ (0, ∞), （2） 以及非简并条件 ε>0，使得：ξσ（t）σ（t）ξ≥ ε||ξ||,  ξ ∈ Rn，t≥ 0 ; P-a.s.（ND）2.2相对套利我们使用投资组合研究（1）中描述的股票市场投资。这些是Rn值和F-逐步可测过程π（·）=π（·），··，πn（·）, 式中，πi（t）代表时间t时投资于股票i的财富比例。我们将自己限制为只做多的投资组合。它们只投资于股票，即πi（t）≥ 0，i=1，n，andnXi=1πi（t）=1， T≥ 0 ; （3） 特别是，没有货币市场。投资者实施π（·）的相应财富过程Vπ（·）被视为如下发展（将初始财富标准化为1）：dVπ（t）Vπ（t）=nXi=1πi（t）dXi（t）Xi（t），Vπ（0）=1。（4） 我们将主要根据市场指数来衡量绩效。这是由向量过程u（·）给出的买入并持有投资组合产生的财富过程Vu（·）=u（·），··，un（·）市场权重ui（t）：=Xi（t）X（t），i=1，n，其中X（t）：=nXi=1Xi（t）。（5） 定义1。在时间范围[0，T]内，当实数T>0时，相对于投资组合ρ（·）的相对套利是一个投资组合π（·），这样pVπ（T）≥ Vρ（T）= 1和PVπ（T）>Vρ（T）> 0

（6） 表达这一概念的一种等效方法是，在时间范围内，投资组合π（·）优于投资组合ρ（·）[0，T]。我们称之为相对套利强势，如果事实上是PVπ（T）>Vρ（T）= 1.有时我们可以这样表述，在时间范围内，投资组合π（·）比投资组合ρ（·）表现得更好[0，T]。我们介绍了Rn×n值协变量过程a（·）=σ（·）σ（·），并且，对于Rn中的单位向量，相对协方差τuij（t）：=u（t）- 工程安装a（t）u（t）- ej, 1.≤ i、 j≤ n、 （7）最后，我们定义了超额增长率γ*投资组合的π（·）作为γ*π（t）：=nXi=1πi（t）aii（t）-nXi，j=1πi（t）aij（t）πj（t）. （8） 我们将使用由θ（1）（t）=max1递归定义的逆序统计符号≤我≤n{θi（t）}（9）θ（k）（t）=max{θ（t），…，θn（t）}\\{θ（1）（t），…，θ（k）-1） （t）}, k=2，对于任意Rn值过程θ（·）。在这里，联系是按字典顺序解决的，总是倾向于最低的索引i。因此我们有θ（1）（t）≥ θ（2）（t）≥ . . . ≥ θ（n）（t）。（10） 在引理3的强度上，非简并条件（ND）意味着。4在Fernholz和Karatzas（2009）（最初在Ofernholz et al.（2005）的附录中证明）中，对于任何仅长期投资组合π（·），我们有概率1：γ*π（t）≥ε1.- π（1）（t）,  T≥ 0 . （11） 2.3功能生成的Portfolio一类特殊的投资组合，称为功能生成投资组合，由Fernholz（1999）介绍和研究。考虑一个函数G∈ C（U，R+），其中U是n+=十、∈ Rn:x+…+xn=1，0<xi<1，i=1，N, （12） 这样x7→ xiDilog G（x）是有界的n+表示i=1，n、 可以说，g是给定投资组合π（·）的母函数，对于i=1，n，通过πi（t）：=Dilog G（u（t））+1-nXj=1uj（t）Djlog G（u（t））· ui（t）。

（13） 在这里和整篇文章中，我们写了关于Ith变量的偏导数的Di，以及关于Ith和JTh变量的二次偏导数的Dij。Fernholz（1999）的定理3.1断言，当相对于市场进行测量时，与π（·）对应的财富过程的表现满足分解（通常称为“Fernholz主方程”）对数Vπ（T）Vu（T）= 日志G（u（T））G（u（0））+ZTg（t）dt，P-a.s.（14）数量g（t）：=-12G（u（t））nXi，j=1DijG（u（t））ui（t）uj（t）τij（t）（15）被称为组合π（·）的漂移过程。2.4多样性加权投资组合我们现在考虑带参数p的多样性加权投资组合∈ R、 如Fernholz等人（2005）的（4.4）所定义：π（p）i（t）：=（ui（t））pPnj=1（uj（t））p，i=1，n、 （16）在条件（ND）下，证明模型（1）中存在相对关联性的一个条件是多样性（见Fernholz（2002）的推论2.3.5和示例3.3.3）。这就假定，nosingle公司的资本可以占整个市场的一定比例以上。更正式地说，一个市场在时间范围[0，T]内是多样的，对于一些实际数字T>0，如果 δ ∈ （0，1）使得：u（1）（t）<1- δ ,  T∈ [0，T]= 1.（D） 形式（1）的模型满足性质（D）并允许局部鞅变量，在Fernholz等人（2005）的备注6.2中明确显示存在。Osterriederand Rheinl¨ander（2006）和Sarantsev（2014）提出了其他施工方案。Fernholz等人（2005年，见等式（4.5））表明，在满足（ND）和（D）的市场中，投资组合（16）在任何p∈ （0,1）和加班时间[0,T]与T∈2对数nεδp，∞.

（17） 在下面的定理1中，我们证明了在具有以下无失效条件的市场中，具有负参数p的多样性加权投资组合具有类似的性质： φ ∈ （0，1/n）使得u（n）（t）>~n， T∈ [0，T]= 1.（NF）我们注意到，这个条件意味着参数δ=（n）的多样性- 1） 主要结果这是本文的主要结果。定理1。在市场模型（1）中，在假设（ND）和（NF）下，多样性加权投资组合π（p）（·）与参数p∈对数nlog（n k），0（18） 在时间范围内[0，T]相对于市场u（·）的强套利，对于任何实数而言-2n对数（n~n）ε（1）- p）N- （n k）p. （19） 证据。我们应用功能生成投资组合理论，如第2节所述。3.对于任何P6=0，检查组合（16）是否由函数GP:X7生成-→nXi=1xpi！1/p.（20）我们应用拉格朗日乘子的方法，使函数gpp<0时最大化，前提是toPni=1xi=1；这使得xi=1/n，i=1，n、 因此，我们可以这样写，在（NF）下，生成函数接受上下限sn1-p=nXi=1NP≤nXi=1ui（t）p=Gp（u（t）因此，对于任何T∈ (0, ∞), 我们有下限Gp（u（T））Gp（u（0））> 对数（n k），（22）为负数。使用假设（NF）和（21）的下限，我们得到π（p）（1）（t）=（u（n）（t））pPni=1（ui（t））p<φpn1-p=（n~n）pn<1，（23），其中最后一个（严格）不等式从（18）开始。结合（23），不等式（11）给出了sztγ*π（p）（t）dt≥εZT1.- π（p）（1）（t）dt>εT1.-（n~n）pn. （24）最后，简单的计算表明，（15）中定义的Portfolio（16）的漂移过程对于所有p是相等的∈ R togp（·）=（1- p） γ*π（p）（·）。

（25）我们现在将（25）、（22）和（24）应用于费恩霍尔茨的主方程（14），并得出结论，π（p）（·）在[0，T]上相对于市场的相对性能由log给出Vπ（p）（T）Vu（T）= 日志Gp（u（T））Gp（u（0））+ (1 - p） ZTγ*π（p）（t）dt（26）>log（n~n）+（1）- p） εT1.-（n~n）pn> 0，P-a.s.，提供了令人满意的结果（19）。因此，投资组合π（p）（·）在足够长的时间范围内表现强于市场[0，T]，如（19）所示。4基于秩的方差真实市场通常不满足（NF）假设（因为股票可能崩溃），因此需要削弱定理1的这一条件。（NF）的一个可能解释是，假设“无故障”仅适用于资本化程度最高的m股，对于某些固定的2<m<n，即 κ ∈ （0，1/m）使得u（m）（t）>κ， T∈ [0，T]= 1.我们称之为有限失效条件，因为它假定不超过n- m公司将在T时“破产”。在这种情况下，i公司在时间范围[0，T]内的破产被定义为事件{ T∈ [0，T]使得ui（T）≤ κ}. 我们还注意到（LF）包含参数（m）的分集条件- 1)κ .备注1。正如V.Papathanakos（私人通信）所指出的，具有参数δ的分集条件（D）∈ （0，1）依次表示（LF）和参数=1.- δκ=1- （m）- 1)(1 - δ） n- （m）- 1） <m，（27），其中bxc是小于或等于x的最大整数∈ R.为了看到这一点，我们注意到，只要（k- 1)(1 - δ） <1，代表1<k≤ n、 我们得到了μ（k）的含义-1） （t）<1- δ => u（k）（t）>1- （k）- 1)(1 - δ） n- （k）- 1). （28）我们将（28）右边的不等式定义为（LF）的一个版本。