多项式项结构模型

，pn）, 然后z^p（z）=cZp（z）+pnzn+1。同样，letD=0 1 00 0 2...0 0 0............所以Dij=iδi，j-尤其是^p′（z）=cDp（z）。有了这个符号，我们得到了公式=b（Z）D+a（Z）D- R（Z）。设L为微分算子，使得lp（z）=b（z）P′（z）+a（z）P′（z）- R（z）P（z）对于多项式P，我们有l^P（z）=cLp（z）+（nb+n（n-1） a- R） pnzn+1+（（n-1） b+（n-1） （n）-2） a- R） pn-1zn+1+（nb+n（n-1） a- R） pnzn+2屋顶。设G满足假设（POLY），使得G（τ，z）=dg（τ）（z）在上面介绍的符号中。注意LG- τG=\\Lg- ˙g+（nb+n（n- 1） a- R） gnzn+2+（nb+n（n- 1） a- R） gnzn+1+（（n- 1） b+（n- 1） （n）- 2） a- R） gn-很明显，如果方程（COEF）和（ODE）成立，则G满足假设（PDE）。相反，假设τG=LG。上述方程的左侧消失，项\\Lg- ˙g最多为n度。因此，zn+2的系数必须消失，从而产生（5）nb+n（n）- 1） a=R类似地，gn的线性独立性-结果表明，两个zn+1项的系数均消失，即Nb+n（n- 1） a=R和（6）（n）- 1） b+（n- 1） （n）- 2） a=r注意等式（5）和（6）一起等于等式（COEF）。最后，我们得到了clg=^˙g，这意味着Lg=˙g正如所声称的那样。3.一些概率结果在本节中，我们包括一些与概率假设有关的结果，即某个随机微分方程有一个非爆炸解。3.1. 有界状态空间。我们现在认为，有充分的理由进一步假设多项式模型中因子过程Z的状态空间I是有界的，至少在一维情况下是有界的。回想一下，我们的目标是通过公式Pt，t=G（t）对到期日为t的零息票债券的价格Pt，t时间t进行建模- t、 Zt）式中，Zt是时间t的经济因素。

由于债券的支付额是其面值PT，T=1，因此可以合理地假设债券的价格是不确定的。事实上，为了避免买卖套利，所有人都必须有Pt，T>0≤ T≤ T此外，假设存在一个持续支付短期利率rt的银行账户，并假设该利率在rt的意义上是有界的≥ -C代表所有t≥ 对于某些常数C>0，则存在买入和持有套利，除非Pt，T≤ e（T）-t） 所有0≤ T≤ T上述讨论促使人们考虑债券价格有界的附加假设：命题3.1。考虑d=1维的非退化多项式模型。然后，下列语句等价于t：（1）函数G（τ，·）对于所有τ都在I上有界≥ 0.（2）函数R在I上有界。（3）区间I R是有界的。如果其中任何一个（以及所有）陈述成立，那么g（τ，z）=E[E-ll（t，Z）的RτR（Zs）ds | Z=Z]∈ R+×I.证明。（1） 暗示（3）。根据假设（POLY），函数G（τ，·）是所有τ的多项式≥ 此外，如果G（τ，·）是所有τ的常数≥ 0，那么对于所有k，gk（τ）=0≥ 1和τ≥ 0，与系数线性独立的假设相矛盾。因此，存在一个τ>0，使得G（τ，·）是非常数的。因为一个实变量中的非常数多项式是无界区间，所以我们就完成了。（2） 暗示（3）。根据定理2.3，函数R是多项式。如果Rwas是常数，那么线性方程组（B）的一个（因此也是唯一）解将是g（τ）=e-Rτ和gk（τ）=0 f或所有k≥ 1和τ≥ 这同样与函数（gk）k的线性独立性假设相矛盾。因此R是一个非恒常多项式，我们完成了。（3） 表示（1）和（2）。

这是显而易见的，因为f函数G（τ，·）和R是多项式。修正z∈ 一、 让Z解随机微分方程，Z=Z。同时，时间范围τ>0。正如引言中所提到的，由于G满足微分方程，那么通过它的公式，我们知道过程M=（Mt）0≤T≤τ由mt定义=e-RtR（Zs）dsG（τ- t、 Zt）是一种当地的马丁酒。通过假设（1）和（2），过程M以常数为界。特别地，有界局部鞅M是由支配收敛定理确定的真鞅，henceG（τ，z）=M=E[Mτ]=E[E-RτR（Zs）ds]根据需要。Rem ark 3.2。注意，在高维中，非常数多项式可能是有界的无边界集。例如，考虑多项式alp（z，z）=z- zon the unbounded setI={（z，z）：|z- z|≤ 1}.Rem ark 3.3。对于asCox–Ingersoll–Ross等指数多项式模型，债券定价函数G的有界性并不意味着状态空间I的有界性。提案3.1的以下推论也有点相反：推论3.4。考虑一个维数为d=1的非退化多项式模型，使得函数r在I和g（τ，z）=E[E]上从下有界-所有t的RτR（Zs）ds | Z=Z]≥ 0，z∈ I.那么区间I是有界的，函数R在I证明上是有界的。从公式中可以清楚地看出，函数G从m开始以零为界。由于R从下方有界，函数G（τ，·）从上方有界。结论来自命题3.1在结束本节之前，我们将在有界标量多项式模型的背景下考虑定理2.3的一个结果：命题3.5。考虑一个维数为d=1的非退化多项式模式l，其中区间I有界，G（τ，·）在most n处为deg ree。

设P是mostn和letE[e]的多项式-RτR（Zs）dsP（Zt）|Z=Z]=Q（τ，Z）表示τ≥ 0，z∈ I.那么对于所有τ≥ 0，函数Q（τ，·）最多是一次多项式。假设P可以写成P（z）=Pnk=0pkzk。设q为˙q=Lq，q（0）=p的唯一Rn+1值解。设q（τ，z）=dq（τ）（z）f或τ≥ 0.注意Q解偏微分方程τQ=R+×IQ（0，z）=P（z）上的LQ（z）∈ I.通过命题3.1证明的相同论证，我们得出结论[e]-RτR（Zs）dsP（Zt）|Z=Z]=Q（τ，Z）表示τ≥ 0，z∈ I.如你所愿。3.2. 一个无限的例子。命题3.1的信息是，假设债券价格是有界的，债券价格是标量因子中的多项式，这意味着即期利率是有界的。在这一节中，我们通过例子说明，存在一个多项式模型的例子，其中现货价格和债券价格是无界的。重点不是要表明这个特定的模型是一个很好的真实世界利率模型，而是要表明定义多项式模型的假设本身并不具有隐含性。这就是说，如果想要建立一个模型来暗示有界债券价格，那么有必要将有界性作为一个附加假设。让状态空间为I=（0，∞), 阶数为n=2，系数函数由a（z）=z，b（z）=-z、 R（z）=-z、 债券定价函数beG（τ，z）=1+τz+（eτ）- τ -1） z.注意τG=bzH+azzG- 初始条件为g（0，z）=1的情况下，我们处于定理2.3的设置中。

最后要注意的是，Stochastic微分方程的唯一强解Dzt=-Ztdt+ZtdWt，Z=zis由公式zt=zeWt给出-t/21+zRteWs-s/2ds。因此，根据定义1.1，这些数据构成了一个多项式模型，其中的短期利率是无界的。最后，请注意标识（eRτZsds）=E“1+zZτeWs-s/2ds#= G（τ，z），可通过显式计算进行验证。Rem ark 3.6。这个例子并不违反推论3.4，因为在这种情况下，函数Ris是从上而不是从下界定的。雷姆方舟3.7。我们在这里提到了一个关于上述例子的有趣的观察（尽管有点相切）。很容易看出，引入的过程Z是这样的，即过程Y=ez定义了一个局部鞅，其中dynamicsdYt=Ytlog（Yt）dWt，Y=ez。不太明显的是，过程Y是一个严格的局部鞅。例如，有关结果，请参见古德曼[12]的论文。3.3. 费勒测试的一种形式。如第3.1节所述，考虑多项式模型是有经济原因的，其中因子过程取有界区间内的值。因此，在本小节中，我们考虑了存在于有界状态空间I=（zmin，zmax）中的标量随机微分方程dzt=b（Zt）dt+σ（Zt）dWt的解。此外，根据定理2.3，我们假设系数b和σ是多项式。为了避免琐碎的复杂情况，我们假设σ（zmin）=0=σ（zmax），对于zmin<z<zmax，σ（z）>0。注意，系数b是封闭区间[zmin，zmax]上的Lipschitz，而系数σ是任何区间[zmin+1/n，zmax]上的Lipschitz- 1/N]表示N>1足够大。

因此，对于每个z∈ （zmin，zmax）随机微分方程有一个唯一的强解嵌套族（Zt，N）t∈[0，TN]带Z0，N=z，其中TN=inf{t>0:Zt/∈ （zmin+1/N，zmax）- 1/N）}。然后确定爆炸时间T为asT=supNTN。我们感兴趣的是在T=∞几乎可以肯定。函数b和σ的经典必要条件和充分条件是Feller爆炸试验。受定理2.3的启发，我们将Feller的测试应用于函数b和σ为多项式的情况。下面的结果可能是众所周知的，但我们无法在文献中找到参考文献。定理3.8。让b和a进行真正的分析。此外，假设a（zmin）=0=a（zmax）和a（z）>0f或zmin<z<zmax。让σ=√a、 随机微分方程Z=b（Zt）dt+σ（Zt）dwt的爆炸强解Z在区间（zmin，zmax）内存在唯一的n，当且仅当if2b（zmin）- a′（zmin）≥ 0≥ 2b（zmax）- a′（zmax）。标量多项式模型的规范参数化。我们现在可以描述存在有界标量多项式模型的容许参数f的范围。根据定理2.1，我们可以假设b的阶数最多为3，σ的阶数最多为4。通过对状态变量进行精细变换，在将状态空间划分为任何有限区间的过程中，不会失去通用性。因此，为了简化一些计算，我们将在本节中设置I=(-1，1），并将其称为该方程中的规范态空间。为了执行条件σ(-1） 我们把σ重写为（1）的乘积-z） 次数最多为2的多项式。提案3.9。

Le tb（z）=b+bz+bz+bzσ（z）=（1）- z） （c+cz+cz）。随机微分方程dzt=b（Zt）dt+σ（Zt）dWtZ=zha是一个在开区间内取值的非经验解(-1,1）对于每个初始条件-1<z<1当且仅当下列条件均成立ob+b+c+c≤ -|b+b+c |c> 0；和o要么| c |- C≤ C≤ 我们通过两个引理证明了这个结果。引理3.10。假设a和b与位置3.9相同。我们有2B(-1) - a′(-1) ≥ 0≥ 2b（1）- a′（1）当且仅当b+b+c+c≤ -|b+b+c |。证据我们有2b（z）- a′（z）=2[b+（b+c）z]+2z[b+c+（b+c）z]- ( 1 - z） （c+2cz），由此迅速得出结论。引理3.11。我们所有人都拥有ec+cz+cz>0- 1<z<1如果且仅当oc>0；和o要么| c |- C≤ C≤ cor c>max{c，c}证明。对于固定三重态（c，c，c），设c（z）=c+cz+cz。为了证明必要性，我们首先假设c（z）>0-1<z<1。注意，c（0）=c>0。此外，通过连续性，我们有c（±1）≥ 0表示c≥|c|- c、 现在考虑c>c.Lettingz=rccwe有0<z<1和c（z）=（c+2）的情况√cc）z.因此条件c>-2.√这是必要的。考虑到c(-z） 我们看到条件c<2√CCI也是必要的。现在，为了证明效率，首先假设c>0和| c |- C≤ C≤ cNote thatc（z）≥ C- |c | | z |+cz≥ C- （c+c）|z |+cz=（c）- |z | c）（1- |z |），因此当| z |小于1时，c（z）>0。最后，假设c>c>0和|c |<2√复写的副本。写入c（z）=c-c4c+cZ-c2c.对于所有z，我们的c（z）>0。命题3.9的证明。这一主张源于两个引理和Feller定理3.8的版本。4.谱表示我们处于标量非退化多项式模型的设置中，因子值在有界的开放区间I内。回顾第2节中的符号L，我们注意到系数函数g=（g。

，gn）是微分方程组的解˙g=Lg，g（0）=（1，0，…，0）或等价地g（τ）=eLτg（0）。原来矩阵L有一个很好的性质：命题4.1。letl=b（Z）D+a（Z）D- R（Z）。其中R（z）=R+Rz+Rz，b（z）=b+bz+bz+bzand a（z）=（1）-z） （c+cz+cz）且系数满足oR=nb=-n（n）-1） a和R=nb+n（n-1） a；o|b+b+c|≤ -（b+b+c+c）；oc> 0；和o要么| c |- C≤ C≤ cor c>max{c，c}特征值λ，λnof L为实且满足λi≤ -infz∈IR（z）。为了证明命题4.1，我们首先证明了一个可能有独立兴趣的不变测度存在的结果。提议4.2。假设函数b，a是多项式，那么ob(-1） >0>b（1）和oa(-1） =0=a（1）和oa′(-1） >0>a′（1）和a（z）>0oa（z）>0-1<z<1。然后存在一个正的、可积的函数，用边界条件slimz满足微分方程bf=（af\'）↓-1a（z）f（z）=0=limz↑1a（z）f（z），Rem ark 4.3。如果函数f被归一化，那么r-1f（z）dz=1，则f是具有漂移b和波动率σ的扩散z的唯一不变密度=√a、 也就是说，如果初始条件zi随密度f分布，那么zt对所有t具有相同的分布≥ 0.证明。现在微分方程的任何正解的形式为f（z）=Ca（z）eRz2b（s）a（s）ds。对于| z |<1，其中C>0是一个常数。在定理3.8的证明中，我们关注左手端点z=-1.我们必须证明这样的f是可积的a和a（t）- 1） f（t）- 1) → 0作为t↓ 0.写入b（t）- 1） =β+O（t）a（t- 1） =αt+O（t），其中β，α>0，常规计算表明f（t- 1） =O（t2βα）-1） 由此得出结论。命题4.1的证明。

由于L随模型参数不断变化，因此假设参数满足o| b+b+c |<-（b+b+c+c）；oc> 0；和o要么| c |- c<c≤ cor c>max{c，c}根据命题4.2，存在一个不变密度f。考虑由HP定义的Rn+1d上的内积，qi=nXi=0nXj=0piqjZ-1zi+jf（z）dz=z-1^p（z）^q（z）f（z）dz，其中在^之前的a s是线性算子，或^p（z）=nXk=0pkzk。回想一下tcLp=a^p′+b^p′- R^p.通过部件集成我们有HP，Lqi=-Z-1[a^p′q′+R^p^q]f dz=hLp，qi，其中我们使用了边界条件limz↓-1a（z）f（z）=0=limz↑1a（z）f（z）。在第八部分中，我们看到L相对于内积是对称的，因此所有的值都是实的。不平等≤ -Z-1R^pf dz≤ - inf-1<z<1R（z）hp，Pi表示光谱上声称的上限。Rem ark 4.4。当然，矩阵L的特征值是n+1次特征多项式的零点。由于存在四次多项式的根的公式，至少在原则上，在标量多项式模型中，当n≤ 3.当n≥ 4.关于模型参数，函数G的显式公式几乎没有希望。然而，请注意矩阵L是稀疏的，即每行最多有五个非零矩阵条目。特别是矩阵Xp的一元eLτ和向量（1，0，…，0）的乘积可以高效地计算，因此lackof显式公式不一定是一个令人望而却步的缺点。命题4.1的证明表明，当存在不变密度f时M=mlm，其中M=（Mij）ij是（n+1）×（n+1）正定义矩阵，其中entriesMij=ZIzi+jf（z）dz。假设矩阵L的n+1实特征值为λ，λn。

然后矩阵lHa是谱分解l=nXi=0λiVi，其中ui是右特征向量，vit是与特征值λi相关联的左特征向量，按一定比例缩放，使得viuj=1如果i=j0如果i 6=j。为方便起见，我们选择标准状态UiMui=1，且无te表明左右特征向量由vi=u相关感应电动机。现在给定第i个右特征向量ui，我们可以形成多项式^ui（z）=Pnk=0ui，kzk。注意，^ui是微分算子L的特征函数，第i个左特征向量Vi与^uivi有关，k=ZIzk^ui（z）f（z）dzil，债券定价函数采用公式g（τ，z）=nXi=0Qi（z）eλiτ，其中函数qi是（最多）n次多项式qi（z）=^ui（z）ZI ui（s）f（s）d，也就是说，债券价格可以被看作是n+1模型的债券价格的线性组合，利率r=-λi，其中组合系数取决于因子过程。注意，通过设置τ=0，我们得到nxi=0Qi（z）=1，因此很容易想到数字（Qi（z））的概率；然而，对于某些i和z，一般Qi（z）<0∈ 一、 因此，这种解释并不总是有效的。在一般情况下，当参数不存在不变密度时，矩阵L不一定是可对角化的。在这种情况下，债券定价公式必须修改为（7）G（τ，z）=nXi=0Qi（τ，z）eλix，其中现在的权函数是x和z中的Qiare多项式，可以通过Jordan分解计算。