多项式项结构模型

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英文标题：
《Polynomial term structure models》
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作者：
Si Cheng and Michael R. Tehranchi
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this article, we explore a class of tractable interest rate models that have the property that the price of a zero-coupon bond can be expressed as a polynomial of a state diffusion process. Our results include a classification of all such time-homogeneous single-factor models in the spirit of Filipovic\'s maximal degree theorem for exponential polynomial models, as well as an explicit characterisation of the set of feasible parameters in the case when the factor process is bounded. Extensions to time-inhomogeneous and multi-factor polynomial models are also considered.
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中文摘要：
在本文中，我们探讨了一类可控利率模型，其性质是零息债券的价格可以表示为状态扩散过程的多项式。我们的结果包括根据菲利波维奇指数多项式模型的最大度定理对所有此类时间齐次单因子模型进行分类，以及在因子过程有界的情况下对可行参数集的明确描述。还考虑了时间非齐次和多因子多项式模型的扩展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Polynomial_term_structure_models.pdf (262.03 KB)

2022-5-8 02:43:39 上传

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关键词：结构模型 多项式 Mathematical Quantitative mathematica

多项式项结构模型——剑桥大学郑和迈克尔·R·德兰丘大学摘要。在本文中，我们探讨了一类可控利率模型，其性质是零息债券的价格可以表示为状态扩散过程的多项式。我们的结果包括根据菲利波维奇指数多项式模型的最大度定理对所有此类时间齐次单因子模型进行分类，以及在因子过程有界的情况下对可行参数集的明确描述。还考虑了对时间非齐次和多因素多项式模型的扩展。1.引言给定一个整数d≥ 1和非空的开放子集I Rd，无风险利率期限结构的d-因子无套利模型可以由四个函数建立，R:I→ R、 G:R+×I→ R、 b:我→ RDA：我→ Rd×d，满足以下假设：假设（PDE）。函数G是两次连续可微的，满足部分微分方程τG=X1≤我≤dbiziG+X1≤i、 j≤戴伊zizjG- R+×I上的RG，所有z的边界条件g（0，z）=1∈ 我假设（SDE）。存在一个函数σ：I→ Rd×msuch a=σσ就这样∈ I随机微分方程dzt=b（Zt）dt+σ（Zt）dW，Z=zha是一个非爆炸性弱解(Ohm, F、 Q；Z、 W）使得过程Z在Iand中取值，其中W是Rm值布朗运动。事实上，考虑到满足上述假设的函数R、G、b和a，我们只需要fix z∈ 一、 设Z为Z=Z的随机微分方程的解，其中zt对经济因素的时间t值进行建模。

然后将time-t即期利率建模为RT=R（Zt），将到期日为t的零息债券的time-t价格建模为asPt，t=G（t- t、 Zt）。日期：2020年12月24日。关键词和短语：期限结构，利率，多项式模型。2010年数学学科分类：91G30、91B25、91G80。注意，PT，T=G（0，ZT）=1，通过边界条件n、It^o公式和部分微分方程，贴现债券价格e-RtrsdsPt，T是所有T的局部鞅≥ 特别是，测度Q是模型的局部鞅测度，因此债券市场不存在套利。通常取给定的函数R、b和a，然后求解R G的偏微分方程。在实践中，这样的方程可以通过数值求解。然而，在本文中，我们将事情扭转过来，并假设函数G具有特定的形式。这项研究的动机来自校准模型的问题。实际上，实践者实际上对函数族（Rθ，Gθ，bθ，aθ）θ感兴趣∈式中θ是未知参数或参数向量。给定一组观察到的初始债券价格P0，TF，用于各种到期债券∈ 然后，我们试图找到θ，以最小化观测价格（P0，T）T之间的距离∈Tand预测价格（Gθ（T，z））T∈一般来说，在计算上，通过数值求解偏微分方程来生成所有或至少一个T的代表性样本的Gθ（T，z）值是非常昂贵的∈ T和θ∈ Θ. 因此，人们一直对开发可转换模型感兴趣，其中函数Gθ具有合理的显式形式。也许最著名的两个可处理因子模型是Vasicek[19]和Cox，Ingersoll&Ross[5]的模型。

在这些模型中，因子是标量的，并与即期利率一致，因此在上面的符号中，d=1，R（z）=z，而函数b和a是有效的，函数G是指数函数f或Mg（τ，z）=eh（τ）+h（τ）z，众所周知，当偏微分方程简化为耦合的Riccati常微分方程组时，边界条件变为h（0）=h（0）=0。此外，相应的随机微分方程总是有唯一的局部解。虽然Vasicek随机微分方程的局部解实际上是唯一的全局解，但Cox–Ingersoll–Ross随机微分方程的情况更为微妙：对于某些参数值，局部解可能会在有限时间内通过击中状态空间的边界而爆发。Duffee&Kan[8]研究了因子过程为任意维d的指数模型≥ 1.相应的Tochastic微分方程具有非爆炸性解的发现条件。随后，人们对这些指数模型的性质进行了大量研究。对这篇文献的一个显著贡献是杜菲、菲利波维奇和夏切迈耶[7]对指数有效期限结构模型的一般描述。指数二次模型可被视为指数二次模型族的特例。Longsta off[16]提出了一个二次模型的早期示例，此后，Jamshidian[13]、Leippold&Wu[15]和Chen、Filipovi’c&Poor[3]等人开发并推广了Has模型。人们可能想知道是否存在非平凡指数立方（或更高阶）模型。菲利波维奇的回答是否定的，他证明了一元多项式模型的最大阶必然是两个。

也就是说，指数二次模型确实是指数多项式模型中最普遍的一类。在本文中，我们考虑一类相关的债券定价函数，其中函数g（τ，·）本身是一个多项式。我们引入以下假设：假设（POLY）存在一个整数n≥ 1使得函数G的形式为G（τ，z）=Xk++杜兰特≤ngk（τ）zk表示所有（τ，z）∈ R+×I，其中k=（k，…，kd）∈ Zd+和z=（z，…，Zd）∈ Rd，单项式zk定义为zk=zk··zkdd，其中函数（gk）是可微分的。我们现在准备好定义我们的研究对象：定义1.1。多项式项结构模型是函数R、G、b、满足假设（PDE）、（SDE）和（POLY）以及一系列弱解的集合(Ohm, F、 Q；Z、 W）以初始点Z=Z为索引∈ I.如果系数（gk）是线性无关函数，则多项式模型是非退化的。这项工作的灵感来自西格尔[18]的利率模型。他向所有人展示了这一点≥ 1存在显式函数R和显式二次函数b，使得假设（PDE）由函数G满足，使得G（τ，·）是所有τ的函数≥ 0.注意在这种情况下zizjG完全消失，因此函数a=σσ无需指定来验证偏微分方程。此外，对于σ的某种选择，相应的随机微分方程在有界状态空间i=（（z，…，zd）：对于所有i和xizi<1，zi>0）中有一个非爆炸解。我们还提到了布罗迪-休斯顿比率模型[2]。在客观测度P下，状态价格密度被建模为Vt=α（t）+β（t）mt，其中α和β是确定性函数，M是P-鞅。

Akahori–Hishida–Teichman–Tsuchiya[1]、Filipovi\'c-Larsson–Trolle[11]和Macrina[17]等都扩展了此类国家有效模型。我们在第6节中展示了Brody–Hughston模型在我们的时间非齐次多项式框架中的作用。正如上面描述的布罗迪-休斯顿模型和西格尔模型一样，本文中的大多数多项式模型（但不是全部——见第3.2节）都具有短期利率有界的性质。这与许多熟悉的模型形成了对比，比如瓦西塞克和考克斯-英格索尔-罗斯模型。尽管如此，即期利率的范围可以很容易地用模型参数的术语来表示，因此该范围可以校准到任何所需的（确定的）宽度。最后，Cuchiero，Keller Ressel&Teichmann[6]的一项相关工作，他研究了一类时间齐次马尔可夫过程Y，其性质是第n（混合）阶矩最多可以表示为初始点Yof阶的一个多项式。实际上，考虑d=1的情况，让Fn成为至多n:Fn=（p:p（z）=nXk=0pkzk，pk∈ R） 。他们研究的过程Y的性质是，对于Y阶n和任何多项式∈ Fn，f或全部t≥ 存在一个多项式Q∈ 使e[P（Yt）|Y=Y]=Q（Y）。相比之下，在这项工作中，我们研究的过程Z的性质是，对于固定的degreen和固定的函数R，对于所有的t≥ 存在一个多项式P=G（t，·）∈ fn如此-RtR（Zs）ds | Z=Z]=P（Z）。特别是，他们的结果并不意味着我们的结果，反之亦然。关于多维多项式保持过程的结果的进一步存在性，请查阅最近的Filipovi’cand L arsson[10]一文。在本文的剩余部分中，安排如下。

在第2节中，我们展示了一个分析假设，即价格函数G满足某个偏微分方程，以及一个代数假设，即G可以表示为因子的多项式，这迫使利率函数R和因子动力学系数b，a成为因子的低阶多项式。此外，我们关注维度d=1，以明确说明这两个假设对这些多项式系数的线性约束。在第3节中，我们提供了一个完整的分类标量多项式模型，满足相应随机微分方程在有界区间内具有非爆炸解的概率假设。在第4节中，我们给出了标量多项式模型下债券价格的谱表示。在第5节中，我们考虑一个参数化多项式模型族的具体例子，它在某种意义上推广了指数函数模型。最后，在第6节中，我们简要讨论了一种全白型扩展，在这种扩展中，系数可以随时间变化。附录包含一个易于检查的费勒随机微分方程爆炸试验公式，该公式适用于具有分析系数的随机微分方程，可能有独立的兴趣。2.代数结果本节包含本文的主要结果之一，即满足分析假设（PDE）的模型分类，即定价函数G解特定的偏微分方程，此外还具有假设（POLY）的额外结构性质，即G（τ，·）是一个固定次数的多项式。为了更清楚地了解论点的结构，我们在本节中只考虑时间同质的情况。第6节考虑了时间不均匀的情况。下面的定理是纯代数性质的。

事实上，我们正在等待，直到下面的第3节，以执行概率假设（SDE）。定理2.1。假设函数R，G，b，a满足假设（PDE）和（POLY），其中G（τ，·）的阶数最多为n≥ 1.此外，假设系数函数（gk）是线性独立的。案例n=1。函数R是一个至多一次的多项式，对于每个i，函数b是一个至多二次的多项式，函数a是不受限制的。案例n≥ 2.函数R是一个不超过2次的多项式，对于每个i，函数B是一个不超过3次的多项式l，对于每个i，j，函数ai，jis是一个不超过4次的多项式。备注2.2。根据菲利波维奇关于指数多项式模型的最大度定理，多项式模型的n次不受约束可能会令人惊讶。证据修理≥ 1，并定义以下一组指标k={k∈ Zd+：k+…+杜兰特≤ n} 。假设（PDE）产生条件（1）Xk∈K˙gk（τ）zk=Xk∈Kngk（τ）Ak（z）表示所有（t，z）∈ R+×i在这里，代表k∈ K、 函数定义为asAk（z）=X1≤我≤dbi（z）zizk+X1≤i、 j≤daij（z）zizjzk- R（z）zk。正如在引言中，对于m≥ 0定义符号Fm=（P:I→ R、 P（z）=Xk∈Kmpkzk，pk∈ R） 是d变量中总次数小于或等于m的多项式族。由于I是等参的但不是空的，函数P的值∈ fm唯一地确定了它的系数（pk）k。首先，我们证明了函数Ak∈ Fn是所有k的多项式∈ 千牛。让N=n+dn是指数集K的基数。由于函数（gk）是线性独立的，我们可以找到N个不同的时间τ，τnino依赖于f z，使得具有第i列的矩阵由向量（gk（τi），k）构成∈ K） 是非单数的。现在乘以任意z，我们可以将条件（1）改写为一组N个未知量为Ak（z）的联立线性方程组。

因此，解存在且唯一，可以写成单项式zk的线性组合。特别地，所有的Ak（z）都是d变量中的多项式，其总阶小于或等于n。下面，让{e，…，ed}作为Rd的标准基，所以向量EI的第i个分量都是1，其他分量都是0。案例n=1。因为我们必须有Ak（z）∈ 所有的一切∈ K={0，e，…，ed}，我们可以得出任何1的结论≤ 我≤ dA（z）=-R（z）∈ FAei（z）=bi（z）- 齐尔（z）∈ 这意味着R是一个函数，因此bi（z）=Aei（z）+ziR（z）对于所有i是二次的≥ 2.因为我们必须有Ak（z）∈ FNK∈ K、 我们可以得出任何结论≤ i、 j≤ dA（z）=-R（z）∈ FnAei（z）=bi（z）- 齐尔（z）∈ FnAei+ej（z）=bi（z）zj+bj（z）zi+aij（z）- zizjR（z）∈ 因此，我们可以得出以下结论：∈ fnbi=Aei+ziR∈ Fn+1和aij=Aei+ej+zizjR-bizj+bjzi∈ Fn+2。特别是函数R（z）、bi、aijare多项式。另一方面，sinceAnei（z）=nzn-1Bi（z）+n（n）- 1） 锌-2AIII（z）- zniR（z）∈ fn通过取消zn-我们可以推断出（2）nzibi（z）+n（n）- 1） 所有（z）- 齐尔（z）∈ F通过考虑A（n-1） 和A（n）-2） ei，我们得到（3）（n）- 1） 子笔（z）+（n）- 2） （n）- 1） 所有（z）- 齐尔（z）∈ F（4）（n）- 2） 子笔（z）+（n）- 2） （n）- 3） 所有（z）- 齐尔（z）∈ F从方程式（3）中提取方程式（2）并从方程式（4）中减去方程式（3）yieldszibi（z）+（n- 1） 所有（z）∈ Fzibi（z）+（n）- 2） 所有（z）∈ 再吸一次就会产生所有∈ F、 因此bi∈ F.将其代入等式（2）中，得到R∈ F.最后，考虑A（n-1） ei+ejas高于产量（n- 1） zizjbi（z）+zibj（z）+（n- 2） （n）- 1） zjaii（z）+（n）- 1） 齐亚伊（z）- zizjR（z）∈ 从中得出结论∈ 福洛斯。现在，我们将注意力限制在标量情况下，以明确描述定理2.1：定理2.3中出现的各种多项式的系数约束。

假设维数为d=1，函数G满足假设（POLY），其中G（τ，·）的阶数最多为n≥ 1.进一步假设R（z）=R+Rz+Rz，b（z）=b+bz+bz+bzan，a（z）=a+az+az+az+az。如果（COEF）R=nb=-n（n）-1） a和R=nb+n（n-1） a.和（g，…，gn）解线性常微分方程组˙gk=（k）- 2） b+（k- 2） （k）- 3） a- Rgk-2+（k）- 1） b+（k- 1） （k）- 2） a- Rgk-1+kb+k（k-1） a- Rgk（颂歌）+（k+1）b+k（k+1）agk+1+（k+2）（k+1）agk+2，代表0≤ K≤ n、 gk（0）=1如果k=00如果k≥ 1我们解释g的地方-2=g-1=gn+1=gn+2=0。相反，如果函数R、G、b、满足假设（PDE）和函数（gk）彼此独立，则多项式R、b、满足方程（COEF）和多项式G的系数（gk）满足方程（ODE）。为了更好地理解定理2.3的陈述，我们引入了一些符号，我们将在证明和续集中使用这些符号。修理≥ 设L=（Li，j）ni，j=0为（n+1）×（n+1）矩阵，中心为Lj+k，j=jbk+1+j（j-1） ak+2- 当k<0时，Rk=bk=ak=0；当k>2时，Rk=bk+1=ak+2=0。当n≥ 4.矩阵的形式为=-澳大利亚储备银行-Rb- R2b+a3a-Rb- R2b+a- R3b+3a6ab- R2b+a- R3b+3a- R4b+6a。。。2b+a- R3b+3a- R4b+6a- R.如果我们定义Rn+1值函数g=（g，…，gn）然后方程（ODE）变成˙g=Lg，g（0）=（1，0，…，0）.为便于将来参考，设I为（n+1）×（n+1）单位矩阵，设Z为由Z定义的（n+1）×（n+1）矩阵=0 0 01 0 0...0 1 0............,所以Zij=δi，j+1，其中δ是克罗内克δ。请注意，如果我们定义opera t ion^：Rn+1→ fn通过公式p（z）=nXk=0pkzk=（1，z，…，zn）p表示列向量p=（p。