多项式项结构模型

第3.2节讨论了矩阵L不可对角化的一个例子——尽管严格来说，设置略有不同，因为该例子的状态空间是无界的。公式（7）的一个结果是，长期利率可以计算为limτ→∞-τlogg（τ，z）=-所有z的最大λi∈ 一、 除非最大特征值的系数Qi（τ，z）等于零。5.一个例子在本节中，我们将探讨多项式模型的具体实现。本说明的目的是作为概念的证明，而不是对该特定模型的认可。在一般多项式框架中，函数R:I→ R、 将因子过程映射到即期利率，是一个二次函数。在下面的例子中，我们假设R是一个函数。通过变量的一次有效变化，我们可以并且将把汇率本身作为因素过程。请注意，这种准度量的选择不同于第3.4节中介绍的标准选择。以下命题不需要根据定理2.3、主张3.1和定理3.8进行证明。提议5.1。给定实常数α，β，γ，正常数δ，ε，和一个正整数，2（αδ+βγ）≥ (δ + γε)β ≥ αεn（n）- 1)δε= 2.对于in terva l I中的每个ρ=(-γ/δ，1/ε）存在一个唯一的（非解释性的）I-v值强解（rt）t≥0到随机微分方程dRT=（α- βrt）dt+pγ+δrt（1- εrt）dWt，r=ρ，且存在可微函数g，gn:R+→ R就是这样-Rτrsds | R=ρ]=nXk=0gk（τ）ρkforallρ∈ I和τ≥ 此外，函数g=（g，…，gn）是线性常微分方程的唯一解˙g=Lg，g（0）=（1，0。

, 0)式中，（n+1）×（n+1）m矩阵L由以下等式给出：-Z+（αZ- βI）D+（γI+（δ- 2γε）Z+（γε）- 2εδ）Z+ΔγZ）d上述命题可与指数型单项结构模型的以下命题进行比较：命题5.2。给定实常数α，β，γ和非负常数δ，如2（αδ+βγ）≥ δ.对于I定义的区间I中的每一ρ=(-γ/δ, +∞) 如果δ>0(-∞, +∞) 如果δ=0，则存在唯一的（非爆炸性）I值强解（rt）t≥0到随机微分方程dRT=（α-βrt）dt+pγ+δrtdWt，r=ρ，其性质是存在可微分函数h，h:r+→ R就是这样-对于所有ρ，Rτrsds | R=ρ]=eh（τ）+h（τ）ρ∈ I和τ≥ 此外，函数h，h满足耦合的Rigati方程组：˙h=-1.- βh+δh，h（0）=0˙h=αh+γh，h（0）=0.5.3。回想一下，通过设置δ=0，Vasicek利率模型从上述属性的更一般模型中恢复。类似地，Cox–Ingersoll–Ross模型对应于γ=0。Rem ark 5.4。比较命题5.1和命题5.2，我们发现，利率建模中常用的某类指数函数过程的动力学可以通过形式化设置ε=0和n=0从某类多项式模型中恢复∞.参见Cheng最近的论文[4]，从命题5.1.6中展示的示例类别中获取标量多项式TERM结构模型的校准示例。Hull–White类型扩展在本节中，我们考虑多项式建模框架的Hull–White类型扩展。通常，通过加入时间相关参数，我们可以跳过e进行更好的模型校准。我们在因子过程（Zt）的动力学中引入了时间依赖性≥0和系数函数（gk）k。我们首先建立了一个代数结果，在这种情况下与定理2.3和2.1相似。

然后我们将展示，当度为n=1时，Brody–Hughstonrational模型可以被视为该框架的一个实例。定理6.1。允许 = {（t，t）：0≤ T≤ T}和我 RDO必须是非空的o笔集。假设函数R:R+×I→ R、 H: ×I→ R、 b:R+×I→ rda和a:R+×I→ Rd×dare使得G（t，t，·）对所有（t，t）是两次连续可微的∈  而G（·，T，z）对所有（T，z）都是连续可微的∈ R+×I满足偏微分方程tG+X1≤我≤dbiziG+X1≤i、 j≤戴伊zizjG=RG on x i带边界条件sg（T，T，z）=1表示所有（T，z）∈ R+×I.此外，假设存在一个n整数n和函数gk： → 因此g（·，T）对所有T都是不同的≥ 0和g（t，t，z）=Xk++杜兰特≤ngk（t，t）zk证明函数（gk）是线性独立的。那么情况n=1。对于所有的t>0，函数R（t，·）是一个至多一次的多项式，对于每个i，函数bi（t，·）是一个至多二次的多项式，而a（t，·）是不受限制的。案例n≥ 2.尽管如此≥ 0，函数R（t，·）是一个至多二次的多项式，对于每个函数bi（t，·）是一个至多三次的多项式，对于每个i，j，函数j（t，·）是一个至多四次的多项式。此外，在d=1的情况下，如果R（t，z）=R（t）+R（t）z+R（t）z，b（t，z）=b（t）z+b（t）z+b（t）z+b（t）zand a（z）=a（t）+a（t）z+a（t）z+a（t）z，则系数为R（t）=nb-n（n）-1） a（t）和R（t）=nb（t）+n（n-1） a（t）和（g，…，gn）解线性常微分方程组-tgk=gk-2.（k）- 2） b+（k- 2） （k）- 3） a- R+ gk-1.（k）- 1） b+（k- 1） （k）- 2） a- R+ gkkb+k（k-1） a- R+ gk+1（k+1）b+k（k+1）a+ gk+2（k+2）（k+1）aon[0，T]gk（T，T）=1如果k=00如果k≥ 1，我们在这里解释g-2=g-1=gn+1=gn+2=0。该证明与定理2.3和定理2.1基本相同，因此省略。6.1.

布罗迪——休斯顿理性模型。在Brody&Hughston的论文[2]中，讨论了以下理性模型。设M是客观测度P下的正martinga le，且支持M=1。SetVt=α（t）+β（t），其中α和β是正的、连续可微分的确定函数。我们的想法是，V是州价格密度的一个模型。因此，债券价格由公式pt给出，T=VtEP（VT | Ft）=α（T）+β（T）Mtα（T）+β（T）Mt。请注意，债券价格是随机变量Mt的理性函数，该模型因此而得名。此外，通过设置t的α（t）+β（t）=P（t）≥ 0，该模型可以匹配初始利率期限结构。另一方面，请注意，我们可以写出债券价格asPt，T=g（T，T）+g（T，T）zt，其中系数由g（T，T）=β（T）β（T）和g（T，T）=α（T）β（T）定义- β（T）α（T））β（T），其中我们设zt=vt为因子过程。特别是，这是一个有效的单因素模型，因此应该由定理6.1描述。现在，我们在假设Dmt=ν（t，Mt）mtdbtw的情况下进行验证，其中B是P-布朗运动，而ν是有界的。在这个框架中，我们可以定义spo t率asrt=-TPt，T | T=T=-˙α（t）+β（t）Mtα（t）+β（t）Mt=R（t）+R（t）zt其中R（t）=-˙β（t）β（t）和R（t）=˙β（t）α（t）- ˙α（t）β（t）β（t）。注：tdVt=˙α（t）+˙β（t）Mtdt+β（t）dMt=-Vt（rtdt+λtdBt），其中λ是由λt定义的风险市场价格=-β（t）ν（t，Mt）Mtα（t）+β（t）Mt=ν（t，Mt）（α（t）Zt- 1） 因为过程（λt）为0≤T≤在有界的情况下，我们可以通过DQDP=eRTtrsdsVt=e定义等效的风险中性价格测量值Q-RTλtdt+RTλtdbt恢复通常的定价公式，T=EQ[e-RTtrsds |英尺]。最后，我们考虑因子过程Z=V的动力学-1.

根据它的公式wehavedZt=Zt[（rt+λt）dt+λtdBt]=（b（t）Zt+b（t）Zt）dt+σ（t，Zt）dwt其中b（t）=-˙β（t）β（t）b（t）=˙β（t）α（t）- ˙α（t）β（t）β（t）σ（t，z）=νt、 一,- zα（t）zβ（t）（α（t）z- 1） zand，其中流程（Wt）为0≤T≤根据Girsanov定理，定义为Bt=Bt+Ztλ的Tde为Q布朗运动。特别要注意的是，漂移在Z和b（t）=R（t）中是二次的，如定理6.1所预测的，而波动率由函数ν.7决定。附录：特殊Feller测试召回证明，即Feller测试isP（t=∞) = 1.<=> v（zmin）=∞ = v（zmax），其中Feller的测试函数由v（x）=Zxz=cZxy=za（z）eRzy2b（w）a（w）dwdy dz定义，对于zmin<x<zmax，其中c=（zmin+zmax）。例如，参见卡·拉扎斯和什里夫的书[14]第5章。只要将v在x=zmin附近的行为考虑在内，就足够了，因为x=zmaxis附近的行为是类似的。通过改变变量，我们现在研究了积分v（zmin）=Zczminp（z）a（z）p′（z）dzis有限或in有限的情况，其中p（z）=ZzzmineRcy2b（u）a（u）dudy。是与比例函数相关的。现在，假设函数a和b是多项式，因此，对于常数α>0和β6=0以及整数a，b，可以将函数a和b近似写成a（t+zmin）=αtA+1+O（tA+2）b（t+zmin）=βtB+O（tB+1）≥ 0

请注意，使用此符号2b（zmin）- a′（zmin）=β1{B=0}- α1{A=0}。因此，我们必须证明v（zmin）=∞ 关于{A>0，B=0，β>0}∪ {A>0，B>0}∪{A=0，B=0，2β≥ α} v（0）<∞ 关于补码{A>0，B=0，β<0}∪ {A=0，B>0}∪ {A=0，B=0，2β<α}。我们有计算zct+zmin2b（s）a（s）ds=常数+O（t）如果B≥ A+1-2βαlogt+const+O（t）如果B=A2βα（A-B） t-（A）-B） +O（t1-A+B）如果B≤ A.- 1和hencep′（t+zmin）=常数（1+O（t））如果B≥ A+1t-2β/α（常数+O（t））如果B=Ae2βα（A-B） t-（A）-B） （1+O（t））如果B≤ A.-1和t在这里p（t+zmin）a（t+zmin）p′（t+zmin）=αt-A（1+O（t））如果B≥ A+1∞ 如果B=A，则为2β≥ α2βt-A（1+O（t））如果B=A，2β<α∞ 如果B≤ A.- 1，β>02βt-B（1+O（t））如果B≤ A.- 1, β < 0.从这里，我们可以看到v（zmin）=∞ 正好在{B≥ A+1，A≥ 1} ∪ {B=A，2β≥ α} ∪ {B=A≥ 1, 2 β < α}∪ {A≥ B+1，β>0}∪ {A≥ B+1≥ 2，β<0}，由此得出结论。8.致谢SC感谢曼恩集团学生奖学金和剑桥金融研究基金会MRT的财政支持。这项工作已在巴黎的Labex-Louis Bachelier-SIAM-SMAI金融数学会议、圣彼得堡的随机微积分、鞅和金融建模会议、安格斯的数学金融高级方法会议和普林斯顿的第十一届剑桥-普林斯顿会议上发表。我们要感谢与会者提出的有用的意见和建议。最后，我们要感谢多杰·布罗迪和莱恩·休斯顿对这项工作的讨论及其与他们论文的关系[2]。参考文献[1]J.Akahori、Y.Hishida、J.Teichman和T.Tsuchiya。利率模型的热核方法。日本工业与应用数学杂志31:419–439。（2014）[2]D.C.布罗迪和L.P.休斯顿。

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