基于空间索洛模型的实物资本数学建模

例如，在[8]中，作者使用了一种功能，比如经济有一个技术中心，这可能与地理中心重合。另一方面，在[9]中，假设技术进步可以通过一个与实物资本扩散相耦合的扩散过程来建模。因此，这些作者假设A（x，t）是未知的。在下一节的数值模拟中，我们假设函数A（x，t）有不同的数学表达式，包括空间和时间常数，以及文献中建议的随时间线性或指数变化。关于许多国家的走私活动有很多证据，但是没有可靠的统计数据，这可能会产生误导[6]。下一节将进行数值模拟，以研究不同的经济情景。如前所述，每个国家的参数值都很难估计，一般数值都是假定的，不会失去普遍性。关于初始物理资本分布k（x），我们在数值模拟中使用了四种不同的类型。Firstone是一个常数，但只有当Neumann型边界条件中涉及的函数h（x，t）等于零时，Firstone才是一致的。其他三种类型与h（k，x）6=0一致。第一种是高斯形式，在物理空间的中间，物理资本的价值更高。最后两个函数分部分给出，其中一个由线性形式组成，最后一个更复杂，因为函数h（k，x）明确取决于边界上可用的物理资本。

关于这些数学表达式的更多细节将在下一节中给出。3.数值模拟我们对不同场景的空间索洛模型进行了几次数值模拟，以研究各国边界的物质资本差异的影响。该模型基于抛物偏微分方程，边界条件为Neumann型。数值结果是使用显式有限差分格式和小时间步长获得的，以满足解决方案数值稳定性的Courant-Friedrich-Lewy条件。然而，在[7,9,8]中可以找到数值求解空间索洛模型的无稳定性问题的隐式方法。我们研究了空间索洛经济模型的四个重要因素，如折旧率、技术进步、初始条件和边界条件。对于所有这些因素，我们使用不同的数值或函数类型，以观察每一个因素对实物资本动态的影响。为了观察瞬态和稳态，我们模拟了几个单位时间。值得注意的是，在这项第一次研究中，我们不依赖真实世界的数据，因为我们的第一个主要目标是开发方法学，并分析通过国家边界的实物资本差异的影响。此外，真实世界的数值很难估计，对于某些变量来说，技术水平是不可观察的，需要使用估计值[4]。另一方面，生产函数的估计也是必要的，需要大量的经济面板数据，这超出了本研究的范围。在这里，我们展示了在与国家边界相关的边界条件的不同情况下，实物资本的行为。

对于每种情景，都进行了数值模拟，以了解每种边界条件对物质资本动态的影响。对于我们的数值结果，我们考虑了α=0.0005、β=0.0005、p=4和q=4的S形非洞穴生产函数（7）。最后，值得一提的是，所有数值模拟都使用了L=100的空间尺寸，而不丧失通用性，并且为了简化动力学分析，采用了储蓄率s=1的数值。众所周知，长期储蓄率对经济增长率没有影响[9]。3.1没有有形资本通过边界流动。在第一种情况下，我们考虑经典的空间索洛模型，没有国家边界的影响。此外，我们在这里考虑由均匀分布函数k（x，0）=100给出的物理资本的初始条件，并且不存在技术进步，即a（x，t）=1。物理资本模型（6）的显式边界条件如下：，k（0，t）x=0和k（L，t）x=0。（8） 在这些首次数值模拟中，我们想指出折旧率δ对实物资本动态的影响。从图1中可以看出，当折旧率δ=0.05和δ=0.5时，物理资本减少到零。然而，在后一种情况下，由于折旧，下降率要高得多。重要的是要记住，避免物质资本减少的一个方法是提高国家的技术进步。图1：空间索洛模型的数值解，无实体资本通过国家边界流动。物质资本的初始条件由均匀分布函数k（x，0）=100给出，此处不包括技术进步，即A（x，t）=1。

折旧率δ的增加意味着物理资本的减少更快，从左侧（δ=0.05）和右侧（δ=0.5）可以看出。3.2在第二种情况下，我们再次考虑经典的空间索洛模型，该模型不影响国家边界。然而，在这种情况下，我们认为技术进步每年（每次）都在增加。关于初始条件，我们设置了一个均匀分布函数k（x，0）=100。对于技术进步，我们考虑两种情况；第一个是线性增加a（x，t）=t，第二个是技术进步指数增加a（x，t）=e0。01吨。在这些场景中，我们想指出技术进步A（x，t）对实物资本动态的影响。这可以在图中看到。2.在这两种情况下，实物资本最初都会减少，但一段时间后，由于技术进步，实物资本开始增加。请注意，在前一种情况下，不包括技术进步，一段时间后实物资本降至零。因此，需要注意的是，该国的技术进步A（x，t）有助于该国的增长，因为该变量与物理资本[1,30,9,32,3]有关。此外，研究还表明，技术进步的空间差异机制允许其他地区的发展，其发展取决于空间距离[9,32]。技术进步可以通过人力资源投资、专业化投资和产业结构投资来实现。图2：无实体资本的空间索洛模型在该国边境流动的数值解。

实物资本的初始条件由均匀分布函数k（x，0）=100给出，此处不包括技术进步，即A（x，t）=e0。01吨。折旧率δ的增加意味着实物资本的更快减少，因为从左侧（δ=0.05）和右侧（δ=0.5）可以看出。3.3实体资本通过边境流动。在这种情况下，我们想利用空间索洛模型研究物质资本通过边界流动的影响。在这种情况下，我们认为技术进步是恒定的，以便专注于资本通过边境流动的影响。为了模拟物质资本的流动，我们关注三种类型的边界条件，因此它们与h（k（x，t））6=0一致。第一种是阿古斯形式，在物理空间的中间具有较高的物理资本价值，以模拟一个国家，通常边境附近的地区更容易受到走私的影响。对于第一种情况，我们考虑以下边界条件：，k（0，t）x=Dk（L，t）x=-D、 （9）其中参数D=10e-（50）/1000衡量流经该国边境的实物资本的数量或强度。关于初始条件，我们设置一个高斯分布函数k（x，0）=100e-（十）-50）/d，其中d是衡量中部地区和边境地区之间差异的参数，其中参数d的大值意味着该地区实物资本的小差异。因此，当我们离开中心时，初始物理资本减少。重要的是要注意，初始条件必须不同于前几例中的恒定均匀分布，以便与通过边境的实物资本流动保持一致。

换句话说，流动会导致实物资本的不均匀分布。这里我们还考虑了两种不同折旧率δ=0.05和δ=0.0005的情况。这可以在图中看到。3.当折旧率较高时，实物资本将稳步下降至零。然而，对于较低的折旧率，实物资本将增加，尽管它会通过边境流动。然而，由于现在的实物资本流动，需要较低的折旧率，以避免资本减少。因此，重要的是要指出，有形资本通过该国边境的流动会破坏该国的增长。图3：物理资本流经该国边境的空间索洛模型的数值解。物质资本的初始条件由高斯分布函数k（x，0）=100e给出-（十）-50）/1000，A（x，t）=1，δ分别为0.05,0.0005。在实物资本流动的第二种情况下，我们认为初始条件由以下函数给出，这些函数由k（x，0）部分给出=mx如果0≤ 十、≤ 10Cmaxif 10≤ 十、≤ 90-m（x）- 90）+Cmaxif 90≤ 十、≤ 100.我们假设Cmax=1000，m=100。需要注意的是，这种物理资本初始条件随边界附近区域的位置而变化，而中心区域的位置假定为常数，以便尽可能接近真实场景。此外，该初始条件与允许有形资本通过边界流动的边界条件一致。对于这种情况，我们考虑以下边界条件，k（0，t）x=m和k（L，t）x=-m、 （10）其中参数m衡量流经该国边境的实物资本的数量或强度。

为了研究这类初始条件的影响，我们还包括折旧率的影响，两个数值分别为δ=0.05和δ=0.005。从图4可以看出，对于最大的折旧率，实物资本将稳定地减少到零。另一方面，对于贬值率的最小值，实物资本增加，尽管它通过边界流动。请注意，由于边界上的流动，中部地区的物质资本比边境地区大。图4：物理资本流经该国边境的空间索洛模型的数值解。物质资本的初始条件由a（x，t）=1和δ分别为0.05和0.005的函数给出。在我们的最后一个场景中，我们引入了一个更复杂的边界条件，以避免长期实物资本的可能负值，并分析实物资本流动、折旧和初始条件对经济（实物资本）的影响。在这种情况下，我们认为初始条件是由k（x，0）部分给出的以下函数=eDxif 0≤ 十、≤ 10e10Dif 10≤ 十、≤ 90分（100分）-x） 如果90≤ 十、≤ 100.我们设置参数D=1。这一初始条件与允许有形资本通过边界流动的边界条件一致。对于这种情况，我们考虑以下边界条件：，k（0，t）x=Dk（0，t）和k（L，t）x=-Dk（0，t），（11），其中参数D测量流经该国边境的实物资本的比例。为了研究折旧率的影响，取两个数值δ=0.05和δ=0.005。这可以从图中看出。

5.与最小值的情况相比，最大折旧率下的物理资本减少率更低。再次注意，由于边界上的流动，中部地区的物质资本比边境地区大。这样，正如前面提到的，有形资本通过边境的流动是一个经济问题，可能会影响各国的经济增长及其增长。图5：物理资本流经该国边境的空间索洛模型的数值解。物质资本的初始条件由a（x，t）=1和δ分别为0.05和0.005的函数给出。4结论在这项研究中，我们为spatialSolow模型提出了Neumann类型的特定边界条件，以解释和理解通过国家边界的物质资本扩散的影响。物质资本一直被认为是一个国家经济增长的重要变量。在过去十年中，通过委内瑞拉边境走私燃料、药品、机械和食品一直是委内瑞拉经济面临的一个问题。此外，在过去12个月里，委内瑞拉的走私问题急剧增加，这主要是因为非官方汇率现在是官方汇率的十倍多。在这里，我们使用了经济索洛模型的扩展来描述燃料、机械、货物和其他要素的走私如何影响这些国家的经济增长。在这项研究中，我们依赖于非凹的生产函数，而不是经典的柯布-道格拉斯生产函数。

提出的模型基于一个抛物线部分微分方程，该方程描述了物质资本的动态，边界条件为诺依曼类型，以模拟一个国家边界上的物质资本扩散。数值结果是使用一个明确的有限差分方案得出的，该方案显示了物质资本向边境国家的扩散是如何影响这些国家经济增长的一个重要问题。我们可以使用折旧率、技术进步、初始条件和边界条件等四个重要因素来总结结果。我们发现，在没有实物资本外流的情况下，该国将需要较少的变量贬值率、技术进步来实现资本增长。另一方面，当资本流动被认为是一个国家的全部边界时，增加实物资本的要求就更高了，因为较低的折旧率和对技术进步的增加作用可能是该国经济增长所必需的。最后，我们发现，物理资本分布的初始条件与边界条件相结合，对物理资本的长期动力学有一定的影响。这一事实与没有流量的情况不同，因为从长期来看，物理流量是均匀分布的。因此，重要的是要指出，物质资本通过该国边境的流动可能会破坏该国的增长。此外，数值模拟表明，由于边界上的流动，中部地区的物质资本大于边境地区。

通过这种方式，我们可以得出结论，物质资本通过边界的流动是一个可能影响委内瑞拉经济及其增长的经济问题。对这一经济问题的进一步研究应有助于提高对许多国家面临的经济问题的理解。此外，我们的研究结果还可以帮助ZF经济机构和民众应对并提出经济政策，以应对通过该国边境的物质资本流动，如燃料、机械和食品走私。该模型还给出了未来可能的结果以及替代经济政策的影响。这项研究的自然延续是对拉姆齐模型的扩展和不同生产函数的引入。附录为了计算问题（6）的数值模拟，我们将区域离散定义为Ohm= [0，L]×[0，T]。我们将这个领域离散化Ohm以下形式：我们选择正整数N，Tsuch，空间步长由x=L/N，而时间步长为t=t/t，我们把xj=jx、 tn=nt、 0≤ J≤ N、 0≤ N≤ T.我们在这些网格点上寻求近似解，这些近似值将用knj表示≈ k（xj，tn）。通过将一阶导数和二阶空间导数替换为经典差商，可以得出以下结论：k（田纳西州xj）t=k（xj，tn+1）- k（田纳西州xj）t+O(t） ,，k（田纳西州xj）x=k（xj+1，tn）- 2k（xj，tn）+k（xj-1，tn）x+O(x） 。（12） 为了简单起见，我们定义了差分算子δnj:=knj+1- 2knj+knj-1.x、 一,≤ J≤ N.（13）使用（12）和（13），它得到了问题（6）的显式标准数值格式，使得对于0≤ N≤ T、 0≤ J≤ N、 kn+1j=（1）- tδ）knj+tδnj+tsAnj+f（knj），Ohm ×[0，T]，kj=k（xj），xj∈ Ohm. （14） 现在，要计算j=0和j=N的运算符δnjin（13）的值，需要调用实际值kn-1和knN+1。