前固定差分格式的后验误差估计

表I中报告了一些样本结果，表明我们可以设置x∞= 1.t=t时的自由边界位置。十、∞N=10 N=20 N=4010.8676354534435 0.8655750222427 0.864386633629752 0.8676354534435 0.8655750222427 0.864386633629754 0.86763534435 0.8655750222427 0.86438663362975图。1显示了不稳定的计算。为了清晰起见，在图1中，我们只显示了初始条件和t=t时的数值解，这是最后一次迭代。和往常一样，不稳定性表现为正负值之间的大幅波动。因此，就我们的显式有限差分格式而言，我们必须在准确性和稳定性之间找到折衷方案。当然，从现在起，为了验证稳定性不等式（25）-（26），将定义所选网格间距。从表I中列出的结果中，我们意识到，截断边界x的固定值∞, 网格步长不同值的NF计算值仅在前两位小数点处一致。然后，我们决定通过进行网格匹配来提高数值精度。此外，我们采用重复的理查森外推来提高数值精度。让我们再次证明，对于场变量和自由边值，显式差分格式在时间上是一阶的，在空间上是二阶的，即截断误差是(t） +O(Tx） 。当我们执行网格匹配时，我们将使用下面的结果，保持网格比率不变，即u，这样我们最终得到二阶截断误差Tnj=O(t） 因此，在时间上，全局误差是一阶的，即上面定义的P值等于1。我们注意到，在我们的例子中，qpk的序列，fork=0，1，由4，16，64，256，1024，也就是q=4，pk=k+1，对于k=0，1。

在表II中，我们报告了基准值SNF的样本数值结果。在同一个表中，我们报告了在t=t时自由边界值的IIRICHARDSON重复外推得到的结果。N Ug，0Ug，1Ug，2Ug，3Ug，45 0.87162120 0.865575 0.86356080 0.863700.863075 0.863043320 0.863071 0.862861 0.862847 0.8628441280.862859 0.862788 0.862783 0.862782 0.8627825120 0.862788 0.862764 0.862763 0.862762 0.862762。我们注意到，表II的下一个外推值为U5,5=0.862762，因此我们的基准值为SNf≈ 0.862762. 该值可与SNf值进行比较≈ 尼尔森等人[21]和SNf计算的0.86222≈ 0.8628由公司发现。[22].接下来，我们将说明如何使用等式（31）或等式（32）定义的误差估计器。让我们假设我们的目标是在给定的容忍度下解决美国的看跌期权问题, 其中0<  1.为此，我们应两次解决给定问题，两个网格定义为给定值Jg=J和Jg+1=2Jof空间间隔，但网格比u的值相同。相应的时间间隔G和Ng+1验证关系q=Ng+1/Ng。因此，我们可以（按分量）将误差估计公式（31）或（32）应用于pn和snf。然后，我们可以验证，对于n=1，2，N，ker（pn）k∞≤  |呃(Snf)≤  . （37）如果这两个不等式（37）成立，对于n=1，2，N、 然后我们可以接受在Jg+1和Ng+1定义的网格上计算的数值解，否则我们必须增加这两个整数并重复计算。图2显示了通过设置计算的误差估计结果 = 0.005. 我们确定u=20，从J=5和J=10开始，如果没有达到要求的精度，则通过将空间网格间隔的数量加倍来重复计算。

当J=80时，我们的算法停止。对于u=20，这意味着N=320。为完整起见，在图3中，我们绘制了Pnjversusxjan和Snfversus tn，这些结果是通过有限差分方案获得的，其中N=320，u=20。从图2所示的数值结果中，我们可以很容易地意识到，在几个时间步内发现最大的误差。这表明，在不使用理查森外推的情况下，通过开发显式有限差分格式的自适应版本，可以获得更好的精度。图2：。数值估计误差er（pn）和er（Snf）与tn的关系。图3。数值结果：顶框pnjvs xj，底框Snfversus tn.appendix MATLAB脚本文件这里我们列出了用MATLAB编写的基本算法。该脚本文件称为APOefds。m，它可以很容易地进行修改，以应用公式（31）定义的后验误差估计器APOefds。[0，xinf]上的m%APO方程，时间上向前%，空间上居中%x中的%J间隔，t%mi中的N间隔=k/h^2，k时间步长，h空间步长全部清除；帮助APOefdsr=.1；%参数ST=1；%尼尔森等人。

2002年西格玛=0.2；E=1；xinf=1；J=80；mi=20h=xinf/Jk=mi*h^2N=ceil（T/k）x=0:h:xinf；Stab1=sigma^2/（abs（r-.5*sigma^2））-hStab2=h^2/（sigma^2+r*h^2）-kif（Stab1<0 | Stab2<0），break，endw=0（J+1,1）；s（1）=1；t（1）=0；A=.5*mi*（σ2-（r-.5*σ2）*h）；B=1-mi*sigma^2-r*k；C=.5*mi*（σ2+（r-.5*σ2）*h）；A1=1+r*h^2/西格玛^2；B1=1+h+.5*h^2；对于n=1:n%时间循环dp1=0.5*（w（3,1）-w（1,1））/h；D=（A1-（A*w（1,1）+B*w（2,1）+。。。C*w（3,1）-dp1/（dp1+B1*s（n））；s（n+1）=D*s（n）；如果（s（n+1）<0 | s（n+1）>1，则中断，endw（1,2）=1-s（n+1）；w（2,2）=A1-B1*s（n+1）；AM=A-.5*（s（n+1）-s（n））/（h*s（n））；CM=C+.5*（s（n+1）-s（n））/（h*s（n））；对于j=3:j%空间环w（j，2）=AM*w（j-1,1）+。。。B*w（j，1）+CM*w（j+1,1）；endw（J+1,2）=0；w（：，1）=w（：，2）；t（n+1）=t（n）+k；端图（t，s，\'LineWidth\'，2.5）轴（[0T.861]）；gridxlabel（“t”）ylabel（“S_f^n \\近似S_f（t^n）”参考[1]f.Black和M.Scholes，“期权定价和公司责任”，J.Polit。经济。，1973年，第81卷，第637-654页。[2] R.C.默顿，“理性期权定价理论”，贝尔·J·经济学。马纳。Sci。，1973年，第4卷，第141-183页。[3] 小H.P.McKean，“附录：由数学经济学中的一个问题引起的热方程的自由边界问题”，Ind.Manag。牧师。，1965年，第6卷，第32-39页。[4] R.C.默顿，“跨期资本资产定价模型”，《计量经济学》，第43卷，第867-887页，1973年。[5] L·W·麦克米伦。“美国期货价格的分析近似值”，广告《期货期权研究》，第一卷，第119-139页，1986年。[6] G.巴龙·阿德西和R.E.沃利。“美式期权价值的有效分析近似值”，《金融杂志》，第42卷，第301-320页，1987年。[7] N.朱和R.钟。“美国期权定价的近似公式”，《衍生工具杂志》，第7卷，第31-40页，1983年。[8] H.E.约翰逊，“美国价格的解析近似值”，J.菲南。定量。肛门。，1983年，第18卷，第141-148页。[9] R·格斯克和H·E。

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