前固定差分格式的后验误差估计

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英文标题：
《A Posteriori Error Estimator for a Front-Fixing Finite Difference Scheme
  for American Options》
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作者：
Riccardo Fazio
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  For the numerical solution of the American option valuation problem, we provide a script written in MATLAB implementing an explicit finite difference scheme. Our main contribute is the definition of a posteriori error estimator for the American options pricing which is based on Richardson\'s extrapolation theory. This error estimator allows us to find a suitable grid where the computed solution, both the option price field variable and the free boundary position, verify a prefixed error tolerance.
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中文摘要：
对于美式期权估值问题的数值解，我们提供了一个用MATLAB编写的脚本，实现了显式有限差分格式。我们的主要贡献是基于理查森的外推理论定义了美式期权定价的后验误差估计。这种误差估计器使我们能够找到一个合适的网格，在该网格中，计算出的解（期权价格场变量和自由边界位置）验证了一个前缀误差容限。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_Posteriori_Error_Estimator_for_a_Front-Fixing_Finite_Difference_Scheme_for_Ame.pdf (351.75 KB)

2022-5-8 03:23:49 上传

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关键词：误差估计 Mathematical Quantitative Implementing mathematica

美式期权前向固定有限差分格式的后验误差估计Riccardo Fazio摘要：对于美式期权估值问题的数值解，我们提供了一个用Matlab编写的脚本，用于实现显式有限差分格式。我们的主要贡献是基于理查森的六极化理论，定义了美式期权定价的后验误差估计。这种误差估计器使我们能够找到可测量的网格，其中计算出的解决方案（期权价格场变量和自由边界位置）验证了执行前误差公差。指数项美式期权，自由边界问题，有限差分格式，理查森外推，后验误差估计。I.简介在金融衍生品市场中，最重要的问题是所谓的期权估值问题，或者用一句话来说：计算agiven期权的公平价格的问题。美式看涨期权（看跌期权）是以标的资产为标的资产签订的合同，赋予持有人在预先指定的到期日或之前以预先指定的价格或履约价格购买（出售）资产的权利。与持有人只能在到期日行使期权的欧洲期权不同，提前行使的可能性使得美式期权的定价成为随机优化中的一个问题。虽然Black和Scholes[1]和Merton[2]在著名著作中推导出了欧式期权价格的封闭形式解，但美式期权不存在类似结果。其原因可以解释如下：虽然支配微分方程仍然是Black和Scholes[1]得出的微分方程，但McKean[3]和Merton[4]表明，美式期权的价格满足由一个先验未知的边界所支配的边界条件，需要作为解本身的一部分进行计算。

这种问题称为自由边界问题。特别是，Americancall期权问题是一个定义在有限区间上的自由边界问题。另一方面，美式看跌期权问题是一个定义在半有限区间上的自由边界问题，因此它是一个非线性问题，在有限区间上由边界条件复杂化。因此，金融市场的这两种衍生产品都必须用数字分析近似法定价。在分析近似中，麦克米伦[5]和巴龙·阿德西[6]以及惠利[6]定义了美式看跌期权的二次近似。这些方法不是2015年3月15日收到的手稿。这项工作部分得到了墨西拿大学的S.T.I.G.A.F.F.项目和印达姆GNCS的支持。R.Fazio是墨西拿大学数学和计算机科学系副教授，地址：意大利墨西拿州维亚勒·F·斯塔格诺阿尔孔特斯，31-98166。（工作电话：+390906765064；传真：+39090393502；电子邮件：rfazio@unime.it; 主页：http://mat521.unime.it/fazio).他也是金融与风险实验室S.r.l.的成员，请参见www.financeriskLab。它的网站。收敛且难以准确定价长期期权。为了纠正这个问题，Ju和Zhong（1999）根据Barone Adesi和Whaley提出的方法开发了一个近似值。虽然这种改进的方法能更准确地为长期期权定价，但它仍然不收敛。Johnson[8]使用插值方案对美式看跌期权定价，Geske和Johnson[9]推导出了一个以一系列复合期权函数表示的估值公式，出于同样的原因，Bunch和Johnson[10]提出了一种改进的两点Geske-Johnson方法。Carr和Faguet[11]将看跌期权视为受违约风险影响的一系列永续期权价值的极限，并利用这一观点推导出期权价格的近似值。

最近，Zhu[12]推导了期权价格的半封闭形式解，即泰勒级数展开式，由有限项组成，但需要三十项才能得到准确的期权价格。在数值近似中，最流行的美式期权定价方法可分为格点法、蒙特卡罗模拟法和有限差分法。晶格方法最早由Coxet al[13]提出，其收敛性由Amin和Khanna[14]证明。傅[15]，[16]将蒙特卡罗方法和基于梯度的优化技术应用于美式期权定价。Brennan和Schwartz[17]、[18]和Schwartz[19]提出了将有限差分法应用于美式期权定价。Jaillet等人[20]证明了有限差分法的收敛性。Wu and Kwok（1997）、Nielsen等人[21]和Company等人[22]提出了一种计算期权价格的前沿有限差分法。前置法利用变量的变化将自由边界问题转化为固定域上的非线性问题。Nielsen等人[21]还提出了一种对美式期权定价的惩罚方法，通过添加惩罚项消除了未知边界，再次导致了固定域上的非线性问题。在本文中，我们列出了一个用MATLAB编写的脚本，实现了金融市场美式期权模型数值解的有限差分格式。Wei实施了Company等人[22]定义的方法和Nielsen等人[21]开发的方法，发现第一种方法的实施比第二种更有效。我们的主要贡献是定义了美式期权定价的后验误差估计量，它基于理查森的外推理论。

该误差估计器使我们能够找到一个合适的网格，在该网格中，计算的解决方案（期权价格场变量和自由边界位置）验证了预先确定的误差容限。二、美式看跌期权假设在时间t，给定标的资产的价格为S。我们在这里考虑美式看跌期权出售资产的价值P=P（S，τ）的以下数学模型：Pτ=σSPS+rSPs- rP，P（S，0）=最大值（E）- S、 0），S*（0）=E，limS→∞P（S，τ）=0，（1）P（S）*（τ） ，τ）=E- s*(τ) ,PS（S）*(τ), τ ) = -1，P（S，τ）=E- S，0≤ S<S*（τ） 式中τ=T-t、 t表示到期时间t，S*（τ） 是一个自由边界，即未知的早期行使边界，σ、r和E分别被赋予代表标的资产波动性、利率和期权执行价格的常数参数，治理方程定义为0≤ τ ≤ T，S*（τ） <S<∞.为了确定自由边界，我们采用无量纲新变量sx=lnSSf（τ），Sf=S*（τ） E，（2）p（x，τ）=p（xSf（τ），τ）E，见吴和郭[23]。根据（2）定义的变量转换，Sf（τ）映射到固定的直线X=0，0≤ p（x，τ）≤ 1和0≤ Sf（τ）≤ 1.通过使用（2），看跌期权问题（1）可以重写如下Pτ=σPx+R-σP十、- rp+Sf（τ）dSfdτ（τ）Px、 （3）p（x，0）=0表示0≤ x，Sf（0）=1，（4）limx→∞p（x，τ）=0，（5）p（0，τ）=1- Sf（τ），Px（0，τ）=-Sf（τ），（6）必须在0定义的域上求解≤ τ ≤ Tand 0<x<∞.三、 为了数值求解问题（3-6），我们引入了无约束边界x∞, 这是一个合适的大值，可以方便地施加渐近边界条件。换句话说，我们用边条件p（x）代替渐近边界条件（5）∞, τ ) = 0 .

（7） 选择x∞关于相关数值解的准确性，我们可以参考Kangro和Nicolaides[24]的研究。另一方面，通过使用非标准有限差分格式，可以精确地执行边界条件，这已在[25]中的所谓永久美式期权的数值解中得到证明。接下来，通过设置整数J和正值u，我们可以确定步长x=x∞Jt=ux、 （8）整数NN=TT, （9） 其中d·e:IR+→ IN是上限函数，它将面积数映射为大于或等于该数的最小整数。因此，u是网格比率u=Tx、 （10）因此，在有限域内，我们可以引入一个网格点Sxj=jx，tn=nt，（11）对于j=0，1，J和n=0，1，N我们想定义一个数值方案，允许我们计算网格值pnj≈ p（xj，tn），（12）表示j=0，1，J和n=0，1，N- 1，N和自由边界值ssnf≈ Sf（tn），（13）表示n=0，1，N- 1，N.为此，让我们考虑一下明确的有限差分模式pn+1j- pnjt=σpnj-1.- 2pnj+pnj+1(十）++R-σpnj+1- pnj-12x+（14）+Sn+1f- SnftSnfpnj+1- pnj-12十、- 对于j=1，2，J- 1和n=0，1，N- 1.针对我们的具体问题，给出了pnjand和Snafre，我们的目标是计算pn+1jand和Sn+1f。如果我们应用一些简单的代数，那么我们可以重写显式有限差分格式aspn+1j=apnj-1+bpnj+cpnj+1+Sn+1f- SnftSnfpnj+1- pnj-12x、 （15）对于j=2，3，J- 1和n=0，1，N- 1，其中=uσ-R-σ十、b=1- uσ- Rt（16）c=uσ-r+σ十、.现在，我们必须考虑到附带条件。从两个初始条件（4）中，我们得到Pj=0，Sf=1，（17）对于j=0，1，J.根据边界条件（7），wegetpnJ=0，（18）对于n=0，1，N

从两个边界条件（6）出发，利用中心有限差分公式，我们推导出- pn-12x=-Snf，pn=1- Snf，（19）其中x-1= -x是计算领域之外的一个有效点。此外，通过考虑x=0时的控制微分方程（3），τ>0，并考虑边条件（6），我们得到了一个新的边界条件：σPx（0+，τ）+σSf（τ）- r=0，（20）参见吴和郭[23]，张和朱[26]或郭[27，p.341]，及其中心有限差分离散化σpn-1.- 2pn+pnx+σSnf- r=0。（21）现在，我们可以消除pn的值-1从方程（19）和（21）到getpn=1+rxσ-1 + x+十、Snf。（22）如果我们计算j=1的数值格式（15），并考虑n=n+1的数值格式（22），那么自由边界Sn+1j可以由n+1f=dnSnf定义。（23）对于n=0，1，N- 1，其中DN=1+rxσ-apn+bpn+cpn-pn- pn2十、pn- pn2x+1 + x+十、Snf。（24）我们现在准备好定义算法：1）输入σ、r、E、T、J、u和x∞;2） 定义网格（xj，x、 tn，t） 根据等式（8）和（11）；3） 对于j=0，1，2，J do pj=0结束，设置Sf=1；4） 根据（16）计算a、b和c；5） 对于n=0，1。N- 1，根据（24）计算Dn，根据（23）计算Sn+1，并应用自由边界条件Spn+1=1- 序号+1f，序号+1=1+rxσ-1 + x+十、Sn+1f，计算=a-Sn+1f- Snf2xSnf，cn=c-Sn+1f- Snf2对于j=2，4，…，xSnfand，J-1根据topn+1j=anpnj计算pn+1j的值-1+bpnj+cnpnj+1。结束，设置pnJ=0，结束。该算法在MATLAB中的实现已用于获得下面报告的数值结果。附录中列出了脚本文件。四、 正性、单调性和稳定性在这一部分中，我们回顾了使显式差分格式适用于美式看跌期权数值研究的理论结果。

为了简单起见，让我们定义时间层面的数值解向量tnas pn=（pn，pn，…，pnJ）T引理1：（由于Company等人[22]）如果t和验证这两个不等式十、≤σ| r- σ/2|t，r6=σ/2（25）T≤xσ+rx、 （26）那么系数a、b和c是非负的。如果r=σ/2，则在条件（26）下验证这些系数的非负性。这两个不等式源自与显式有限差分格式相关的正性保留考虑。该理论框架与Friedrichs[28]研究平流方程的保正有限差分格式时使用的框架类似，另见Fazioa和Jannelli[29]。此外，pn+1i的系数，fori=j- 1，j，j+1，在我们的差分方案（15）中，在T→ 0，作为概率值。事实上，它们的总数为1-R通过施加它们的正性，我们得到了两个不等式（25）-（26）。定理1：（由于公司等[22]。）设{pnj，Snf}为计算的数值解，由方程（24）定义，然后在引理1的假设下，对于足够小的x、 我们有：o{Snf}对于n=0，1，…，是正的，非递增单调的，N、 o矢量Pn有n=0，1，…，的正分量，N、 o对于每个固定的n=0，1，…，向量Pn相对于j是非递增单调的，N.关于显式有限差分模式的稳定性，我们可以引入定义：数字模式被称为k·k∞-稳定的如果，对于计算域[0，x]中的everymesh∞] ×[0，T]，存在一个正常数C，使得kpnk∞≤ C表示n=0，1，N，（27）其中C独立于Tx和n，见公司简介。[30].定理2：（由于公司等。

[22].) 在定理1的假设下，固定域问题（3-6）的显式有限差分模式为k·k∞-稳定的V.感兴趣的标量U的后验误差估计，无论是解的值Pnjor还是自由边值Snf，数值误差e可以定义为bye=U- U，（28）其中U是确切的，通常未知的值。当数值误差主要由离散误差引起时，在足够光滑解的情况下，全局误差可以分解为Nu=UN+C的逆幂和Np+CNp+CNp+··，（29）式中C，C，C。系数依赖于u及其导数，但独立于N和p，p，p。是离散化误差的真实顺序，参见Schneiderand Marchi[31]和其中引用的参考文献。每个PKI通常是一个p<p<p<p的正整数，它们一起构成ratiop的算术级数-p、 pis的值称为方法或数值精度的渐近阶或理论阶。通过替换为方程（29）N=Ng和N=Ng+1，并减去第二个得到的方程中的时间（1/q）p，q=Ng+1/Ng，我们得到了第一个外推公式u≈ Ug+1+Ug+1- Ugqp- 1，（30）精度的前导阶等于p。这种外推是由理查森[32]，[33]提出的。根据等式（30），我们可以得出结论，由第一理查森外推得出的误差估计值为er=Ug+1- Ugqp- 1，（31）其中pis是用于计算数值解的数值方法的顺序。因此，（31）给出了数值解误差的真实值，而不知道精确解。与（31）相比，一个更安全的误差估计器可以定义为“是”=Ug+1- Ug。

（32）当然，Pc可以用公式来估算≈日志（| Ug- u |）- 日志（| Ug+1- u |）log（q），（33），其中u再次是精确解（或者，如果精确解未知，则是使用合适的大值N计算的参考解），并且u和Ug+1在Ug的相同网格点处进行评估。在上述框架内，为了通过仅使用少量网格节点来提高数值精度，我们可以推广（30）引入以下重复外推公式Ug+1，k+1=Ug+1，k+Ug+1，k- Ug，kqpk- 1，（34）其中g∈ {0,1,2，…，G- 1} ，k∈ {0,1,2，…，G- 1} q=Ng+1/ngi是网格匹配比，pki是离散化误差的真实顺序。如果我们使用均匀网格，则公式（34）在极限范围内是一致精确的。我们注意到，要获得U+1的每个值，k+1需要两个相邻网格中的两个计算解U，即外推级别k的g+1和g。对于任何g，级别k=0表示无任何外推的U的数值解。我们记得，数值Ug，k的理论精度顺序，以及N=N和k外推，验证了关系pk=p+k（p- p） ，（35）式中，该方程对k有效∈ {0,1,2，…，G- 1}.图1。N=100、u=27和x的不稳定性∞= 1.VI.数值结果我们对下面定义的有限差分模式进行数值测试。为此，我们考虑具有以下参数的美式看跌期权问题（3-6）：r=0.1，σ=0.2，E=T=1。（36）首先，我们有兴趣确定截断边界x的合适值∞. 然后，我们从数值上研究了x值的选择∞影响数值解。采用简单的方法，我们可以监控最终的边界计算值SNf。