指数OU模型下的最优多次交易时间

（4.15）首先，请注意，J（x）等于0，因此满足等式（r）- 五十） ~J（x）=0。（4.16）以证明J（x）- （V（x）- 血红蛋白（x））≥ 0，我们看不相交的间隔(-∞, B*) 和[b]*, ∞)分别地为了x≥ B*, 我们有V（x）- 血红蛋白（x）=-（cb+cs），这意味着J（x）- （V（x）- hb（x））=cb+cs≥ 0.当x<b时*, 不等式J（x）- （V（x）- 血红蛋白（x））≥ 0可以重写ashb（x）F（x）=ex+cbF（x）≥电子束*- 脑脊液（b*)=房协（b）*)F（b）*). （4.17）为了确定这一点的必要条件，我们考虑（4.2）的LHS的导数：hbF′（x） =W（x）F（x）Zx-∞ψ（s）（L）- r） hb（s）ds=W（x）F（x）Zx-∞ψ（s）esfb（s）ds。（4.18）如果fb（x）=0小时没有根，那么（L- r） hb（x）对所有x都是阴性的∈ R.另一方面，如果只有一个根x，那么（L- r） hb（~x）=0和（L）- r） 对于所有其他x，hb（x）<0。无论哪种情况，hb（x）/F（x）都是严格递减函数，（4.2）是真的。否则，如果fb（x）=0有两个不同的根xb1和xb2，且xb1<xb2，则（L- r） hb（x）（<0如果x∈ (-∞, xb1）∪ （xb2+∞),> 如果x为0∈ （xb1，xb2）。（4.19）应用（4.2）到（4.2），导数（hb/F）′（x）在(-∞, xb1）。因此，hb（x）/F（x）在(-∞, xb1）。我们进一步注意到b*> xs>xb2。注意，在区间（xb1，xb2）上，整数是正的。因此，（hb/F）′在somex处改变符号是可能的∈ （xb1，xb2）。要做到这一点，积分的正部分必须大于负部分的绝对值。换句话说，（3.2）必须保持不变。

如果（3.2）成立，那么一定存在一些*∈ （xb1，xb2）使得（hb/F）′a*) = 0，或相当于（ii）持有：hbF′（a）*) =h′b（~a）*)F（~a）*)-血红蛋白（~a）*)F′（~a）*)F（~a）*)=ea*F（~a）*)-（e)a*+ cb）F（a）*)′F（~a）*).如果（ii）成立，那么我们有Zxb1-∞ψ（x）exfb（x）dx=Z~a*xb1ψ（x）exfb（x）dx。此外，由于ZxB2a*ψ（x）exfb（x）dx>0，在Zxb1-∞ψ（x）exfb（x）dx<Zxb2xb1ψ（x）exfb（x）dx。这就建立了（ii）和（3.2）之间的等价性。在这种情况下，hb/F在（xb1，~a）上严格降低*). 然后，要么严格地在（~a）上增加*, B*), 或者存在一些“x”∈（xb2，b）*) 使得hb（x）/F（x）在（~a）上严格增加*, 并且在（\'x，b）上严格递减*). 在这两种情况下，（4.2）当且仅当（ii）成立时才成立。或者，如果（3.2）不成立，那么在（4.2）中，积分（hb/F）′将始终为负。这意味着函数hb（x）/F（x）对于所有x都是严格递减的∈ (-∞, B*), 在这种情况下（4.2）成立。因此，我们能够证明（4.2）成立，尤其是最小值0作为（4.2）的结果实现。为了证明（4.2），我们也经历了类似的过程。检查（r）- 五十） ~V（x）≥ 我们考虑两种情况。

首先当x<b时*, 我们得到（r）- 五十） ~V（x）=eb*- 脑脊液（b*)（r）- 五十） F（x）=0。另一方面，当x≥ B*, 不平等性（r- 五十） ~V（x）=（r）- 五十） hs（x）>0，从b开始*> xs（4.2）和（3.2）的第一个不等式。类似地，当x≥ B*, 我们有V（x）- （J（x）+hs（x））=hs（x）- hs（x）=0。当x<b时*, 这个不等式成立：~V（x）- （J（x）+hs（x））=hs（b*)F（b）*)F（x）- hs（x）≥ 0，相当于hs（x）F（x）≤房协（b）*)F（b）*), 由于（4.2）和（4.2）。orem 3.4（第1部分）的证明定义了函数sqg（x，z）=z+∞xΦ（s）（L）- r） 血红蛋白（s）ds-Z+∞zΦ（s）（L）- r） hs（s）ds，qF（x，z）=Zx-∞ψ（s）（L）- r） 血红蛋白（s）ds-Zz-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds。我们寻找d点*<~b*这样的qg（~d）*,~b*) = 0和qF（~d*,~b*) = 这是因为这两个方程分别等价于（3.4）和（3.4）。现在，我们开始通过缩小f或d的范围来求解方程*和b*. O bservethatqG（x，z）=ZzxΦ（s）（L）- r） hb（s）ds+Z∞zΦ（s）[（L）- r） （hb（s）- hs（s）]ds=ZzxΦ（s）（L）- r） 血红蛋白（s）ds- r（cb+cs）Z∞zΦ（s）ds<0，（4.20）对于所有x和z，使得xb2≤ x<z。因此，~d*∈ (-∞, xb2）。自从b*> X满意度q（b）*) = 0和a*< XB2统计（二）我们有Limz→+∞qF（x，z）=Zx-∞ψ（s）（L）- r） 血红蛋白（s）ds- q（b）*) -Z+∞B*ψ（s）（L）- r） hs（s）ds>0，适用于所有x∈ （a）*, xb2）。此外，我们注意到资历架构z（x，z）=-ψ（z）（L）- r） hs（z）（<0如果z<xs，>0如果z>xs，（4.21）和qf（x，x）=Zx-∞ψ（s）（L）- r） [hb（s）- hs（s）]ds=-r（cb+cs）Zx-∞ψ（s）ds<0。（4.22）那么，（4.2）和（4.2）意味着存在一个独特的函数β：[a]*, xb2）7→ rstβ（x）>xsandqF（x，β（x））=0。（4.23）关于x的微分（4.2），我们看到β′（x）=ψ（x）（L- r） hb（x）ψ（β（x））（L- r） hs（β（x））<0，对于所有x∈ （xb1，xb2）。此外，根据b*> X满意度q（b）*) = 0，~a*满足度（ii）是qF的定义，我们有β（~a）*) = B*.到（4.2），我们有极限↑xb2qG（x，β（x））<0。

通过计算，我们得到了ddxqg（x，β（x））=-Φ（x）ψ（β（x））- Φ（β（x））ψ（x）ψ（β（x））（L- r） 血红蛋白（x）=-ψ（x）G（x）F（x）-G（β（x））F（β（x））（L）- r） hb（x）<0，对于所有x∈ （xb1，xb2）。因此，存在一个独特的d*这样qG（~d）*, β（~d）*)) = 0当且仅当*, β（~a）*)) > 如果（3.4）成立，上述不等式成立。实际上，直接计算产生了等价性：qG（~a）*, β（~a）*)) =Z+∞~a*Φ（s）（L）- r） 血红蛋白（s）ds-Z+∞B*Φ（s）（L）- r） hs（s）ds=-血红蛋白（~a）*)F（~a）*)-G（b）*)F（b）*)Zb*-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds-Z+∞B*Φ（s）（L）- r） hs（s）ds=-ea*+ cbF（~a）*)+电子束*- 脑脊液（b*).当这个解决方案存在时，我们就有了*∈ （xb1，xb2）和*:= β（~d）*) > xs。接下来，我们证明了（3.4）和（3.4）中给出的函数J和V满足（4.2）和（4.2）中的VIs对。与定理3.3的证明一样，我们证明了- 五十） ~J（x）≥ 0通过检查3个不相交的区域，其中J（x）呈现不同的形式。当x<a*,（r）- 五十） ~J（x）=~P（r）- 五十） F（x）=0。接下来，当x>d*,（r）- 五十） ~J（x）=~Q（r）- 五十） G（x）=0。最后是x∈ [~a*,~d*],（r）- 五十） ~J（x）=（r）- 五十） （KF（x）- hb（x））=-（r）- 五十） hb（x）>0，这是自a以来（4.2）的结果*,~d*∈ （xb1，xb2）。接下来，我们验证（r- 五十） ~V（x）≥ 事实上，我们有- 五十） ~V（x）=~K（r）- 五十） F（x）=0表示x<b*. 当x≥~b*, 我们得到了不等式（r- 五十） ~V（x）=（r）- 五十） （QG（x）+hs（x））=（r- 五十） hs（x）>0，因为b*> xsand由于（3.2）。它很容易证明J（x）- （V（x）- 血红蛋白（x））≥ 0和V（x）- （J（x）+hs（x））≥ 0.当x<a*,我们有J（x）- （V（x）- hb（x））=（P-~K）F（x）+（ex+cb）=-F（x）ea*+ cbF（~a）*)+ （ex+cb）≥ 这个不等式成立，因为我们已经在定理3.3的证明中证明了hb（x）F（x）对于x<a是严格递减的*.

此外，V（x）- （~J（x）+hs（x））=F（x）e ~a*+ cbF（~a）*)- （例如- （政务司司长）≥ 0，因为（4.2）（以及随后的解释）意味着hs（x）F（x）对于所有x<~a都在增加*.在另一个区域，x∈ [~a*,~d*], 我们有J（x）- （V（x）- hb（x））=0，~V（x）- （J（x）+hs（x））=hb（x）- hs（x）=cb+cs≥ 0.当x>b时*, 很明显，J（x）- （V（x）- hb（x））=hb（x）- hs（x）=cb+cs≥ 0，~V（x）- （J（x）+hs（x））=0。建立x的不等式∈ （~d）*,~b*), 我们首先表示J（x）：=J（x）- （V（x）- hb（x））=QG（x）-~KF（x）+hb（x）=F（x）Zx~d*Φ（s）（L）- r） 血红蛋白（s）ds- G（x）Zxd*ψ（s）（L）- r） hb（s）ds，gV（x）：=V（x）- （J（x）+hs（x））=KF（x）-QG（x）- hs（x）=F（x）Zb*xΦ（s）（L）- r） hs（s）ds- G（x）Zb*xψ（s）（L）- r） hs（s）ds。反过来，我们计算得到g′J（x）=F′（x）Zx~d*Φ（s）（L）- r） 血红蛋白（s）ds- G′（x）Zx~d*ψ（s）（L）- r） hb（s）ds，g′V（x）=F′（x）Z＠b*xΦ（s）（L）- r） hs（s）ds- G′（x）Z~b*xψ（s）（L）- r） hs（s）ds。回想一下xb2和xs的定义，以及G′<0<F′这一事实，我们有G′~J（x）>0表示x∈ （~d）*, xb2）和g′V（x）<0表示x∈ （xs，~b）*). 这些，再加上*) = g~V（~b）*) = 0，意味着对于x，gJ（x）>0∈ （~d）*, xb2），而对于x，g)V（x）>0∈ （xs，~b）*).此外，因为我们有g)J（)b*) = cb+cs≥ 0，gV（d*) = cb+cs≥ 0、（4.24）和（1）- r） g~J（x）=（L）- r） hb（x）<0表示所有x∈ （xb2，~b）*), （4.25）（L）- r） g~V（x）=-（L）- r） hs（x）<0表示所有x∈ （~d）*, xs）。考虑到不等式（4.2）和（4.2），最大值原理意味着gJ（x）≥ 0和gV（x）≥ 0代表所有x∈ （~d）*,~b*). 因此，我们得出结论，J（x）-（V（x）-血红蛋白（x））≥ 0和V（x）-（J（x）+hs（x））≥ 0等待x∈ （~d）*,~b*).定理3.3和3.4的证明（第2部分）我们现在证明，定理3.3和3.4中的候选解，用j和v表示，分别等于最佳开关值函数j和Vin（2.2）和（2.2）。

首先，我们注意到≤~J和~v≤~V，因为~J和~V主导了任何可行策略的预期折扣成本。接下来，我们展示反向不平等。在第1部分中，我们已经证明了j和v满足VIs（4.2）和（4.2）。特别是，我们知道（r- 五十） ~j≥ 0和（r）- 五十） ~v≥ 然后通过Dynkin的公式和Fatou的引理，如Oksendal（2003，第226页），对于任何停止时间ζ和ζ，例如0≤ ζ≤ ζ几乎可以肯定，我们有不等式-rζ~j（Xζ）}≥ 前{e-rζ~j（Xζ）}，和Ex{e-rζ~v（Xζ）}≥ 前{e-rζ~v（Xζ）}。（4.26）对于∧=（ν，τ，ν，τ，…），注意到≤ τ几乎可以肯定，我们有j（x）≥ 前{e-r~nj（Xν）}（4.27）≥ 前{e-rν（~v（Xν）- hb（Xν））}（4.28）≥ 前{e-rτ~v（Xτ）}- 前{e-rνhb（Xν）}（4.29）≥ 前{e-rτ（~j（Xτ）+hs（Xτ））}- 前{e-rνhb（Xν）}（4.30）=Ex{e-rτj（Xτ）}+Ex{e-rτhs（Xτ）- E-rνhb（Xν）}，（4.31），其中（4.2）和（4.2）跟在（4.2）后面。此外，（4.2）和（4.2）分别来自（4.2）和（4.2）。注意到（4.2）是一个递归，并且j（x）≥ 在定理3.3和3.4中，我们都得到了∧j（x）≥ 前任(∞Xn=1[e-rτnhs（Xτn）- E-rνnhb（Xνn）]）。在所有∧上最大化会产生∧j（x）≥~J（x）。类似的证明给出了v（x）≥~V（x）。备注4.4如果Entry没有交易成本，即cb=0，则fb（现在是一个具有非零斜率的线性函数）有一个根x。此外，对于x，我们有fb（x）>0∈ (-∞, x） 对于x，fb（x）<0∈ （十）+∞). 这意味着输入区域必须是(-∞, d） ，对于某些数字d。因此，输入的连续区域是连通区间（d，∞).备注4.5假设Lξ是XOU过程ξ=eX的最小生成器，并定义函数Hb（y）：=y+cb≡ hb（lny）。

换句话说，我们有等价性：（Lξ）- r） 血红蛋白（y）≡ （L）- r） hb（lny）。关于（3.2）和（3.2），我们有（Lξ- r） Hb（y）（y大于0）∈ （yb1，yb2），<0表示y∈ （0，yb1）∪ （yb2，∞),（4.32）其中yb1=exb1>0和yb2=exb2和xb1<xb2是（3.2）或（Lξ）的两个不同根- r） Hb（y）<0，代表y∈ （0，y）*) ∪ （y）*, ∞), （4.33）其中y*= 前任*还有x*是（3.2）的单根。在这两种情况下，都违反了Zervos等人（2013）的假设4，其结果无法应用。事实上，他们需要（Lξ）- r） Hb（y）在形式（y）的连通区间上严格为负，∞), 对于一些固定的≥ 0.然而，从（4.5）和（4.5）中可以清楚地看出，这样一个区域是断开的。事实上，Zervos等人（2013）的方法适用于最优切换问题，其中最优等待进入区域（对数价格）为f形式（~d）*, ∞), 而不是d断开的区域(-∞, ~a*) ∪ （~d）*, ∞), 就像我们对XOU的例子一样。使用等待进入区域的新推断结构，我们修改了Zervos et al.（2013）中的参数，以解决定理3.3和3.4的最优切换问题。附录。引理4.2的证明（H的性质）。h on（0+∞) 直接从hs，G和ψ的表达式中推导出来。另一方面，我们有H（0）：=limx→-∞（hs（x））+G（x）=limx→-∞（例如-cs）+G（x）=limx→-∞G（x）=0。因此，H在0 f处的连续性从Limz开始→0H（z）=limx→-∞hs（x）G（x）=limx→-∞前任- csG（x）=0。接下来，我们证明了H的性质（i）-（iii）。（i）这与ψ（x）是严格增函数且G（x）>0这一事实非常相似。（ii）通过定义H，H′（z）=ψ′（x）（hsG）′（x）=[exG（x）- （例如- cs）G′（x）]ψ′（x）G（x），z=ψ（x）。为了x∈ （在cs中+∞), 前任- cs>0，G′（x）<0，所以exG（x）- （例如- cs）G′（x）>0。

此外，由于ψ′（x）和G（x）都是正的，我们得出结论：H′（z）>0f或z∈ （ψ（ln-cs）+∞).H′（z）极限的证明将使用财产（iii），因此推迟到财产证明（iii）之后。（iii）通过微分，我们得到h′（z）=σG（x）（ψ′（x））[（L- r） hs]（x），z=ψ（x）。由于σ，G（x）和（ψ′（x））都是正的，我们只需要确定（L）的符号- r） hs（x）=exfs（x）。因此，财产（iii）遵循第（3.2）款的规定。为了确定H′（z）的极限，我们首先观察到→+∞hs（x）F（x）=0。（A.1）事实上，我们有极限→+∞hs（x）F（x）=limx→+∞E-xF（x）=limx→+∞Z+∞uru-1e（q2）-u） 徐-q2μσθu-乌杜-1=极限→+∞Zqσ2uuru-1e（q2）-u） 徐-q2μσθu-udu+Z+∞qσ2uuru-1e（q2）-u） 徐-q2μσθu-乌杜-1.由于Rhs上的第一项为非负项，第二项为严格递增和凸x项，因此极限为零。现在转到H′（z），我们注意到H′（z）=ψ′（x）（hsG）′（x），z=ψ（x）。如我们所示，对于z>ψ（ln-cs）∧ ψ（xs），H′（z）是一个正的递减函数。因此，这种限制是存在和满足的→+∞H′（z）=limx→+∞ψ′（x）（hsG）′（x）=c≥ 0.（A.2）观察这个极限→+∞hs（x）G（x）=+∞, 利克斯→+∞ψ（x）=+∞ , 还有limx→+∞（hs（x）G（x））′ψ′（x）存在，ψ′（x）6=0。我们将L\'Hopital规则应用于getlimx→+∞hs（x）F（x）=limx→+∞hs（x）G（x）F（x）G（x）=limx→+∞（hs（x）G（x））′ψ′（x）=c.（A.3）比较（A）和（A）意味着c=0。从（A）中，我们得出limz的结论→+∞H′（z）=0。A.2引理4.3的证明（^H的性质）。可以直接检查V（x）在任何地方都是连续的和可微分的，除了x=b之外，在任何地方都是两次可微分的*. ^h（x）具有相同的性质。由于G和ψ在任何地方都是二次可微的，所以^H在（0+∞) （0，ψ（b）上的二次微分*)) ∪ （ψ（b）*), +∞) 直接跟随。要查看^H（y）在0处的连续性，请注意V（x）→ 0和ex→ 0作为x→ -∞.

那么我们有^H（0）：=limx→-∞（^h（x））+G（x）=limx→-∞（V（x）- 前任- cb）+G（x）=limx→-∞G（x）=0，limz→0^H（z）=limx→-∞^h（x）G（x）=limx→-∞-cbG（x）=0。在0处有连续性。（i） 为了x∈ [b]*, +∞), 我们有^h（x）≡ -（cs+cb）<0。接下来是极限极限→-∞V（x）→ 0和limx→-∞前任→ 0表示limx→-∞^h（x）=V（x）- 前任- cb→ -cb<0。在此之前，对于x，存在^h（x）<0的一些b∈ (-∞, b） 。对于所讨论的非平凡情况，对于某些x，^h（x）必须是正的，所以我们必须有b<b*. 结论e，x的^h（x）<0∈ (-∞, b）∪ [b]*, +∞). 这一点，以及ψ（x）∈ (0, +∞) 是一个严格递增的函数，G（x）>0，意味着性质（i）。（ii）通过微分^H（z），我们得到^H′（z）=ψ′（x）（^hG）′（x），z=ψ（x）。为了确定^H′的符号，我们观察到≥ B*,（^h（x）G（x））′=(-（cs+cb）G（x））\'=（cs+cb）G′（x）G（x）<0。另外，ψ′（x）>0表示x∈ 因此，对于z，^H（z）是严格递减的≥ ψ（b）*).（iii）为了研究凸/凹性，我们研究了二阶导数^H′（z）=σG（x）（ψ′（x））（L- r） ^h（x），z=ψ（x）。由于σ，G（x）和（ψ′（x））都是正的，我们只需要确定（L）的符号- r） ^h（x）：（L- r） ^h（x）=σ（V′（x）- ex）+u（θ）- x） （V′（x）- （前）- r（V（x）- 前任- cb）=（[ux- (uθ +σ- r） ]ex+rcbif x∈ (-∞, B*),如果x，r（cs+cb）>0∈ （b）*, +∞).这表明^H（z）对于z是凸的∈ （ψ（b）*), +∞).此外，对于x∈ （xs，b）*), 我们有- r） ^h（x）=[ux- (uθ +σ- r） ]ex+rcb=-根据xs的定义，exfs（x）+r（cs+cb）>r（cs+cb）>0。因此，^H（z）在（ψ（xs），ψ（b）上也是凸的*)). 因此，我们建立了^H（z）在（ψ（xs）上是凸的+∞).接下来，我们确定（0，ψ（xs）]上^H（z）的凸性。表示^z:=arg m axz∈[0,+∞ )^H（z）。自从supx∈R^h（x）>0，我们必须有^h（^z）=supz∈[0,+∞ )^H（z）>0。由于连续性和微分性，^H在^z处必须是凹的。

那么，一定存在一个区间（ψ（a（0）），ψ（d（0）），其中^H是凹的和^z∈ （ψ（a（0）），ψ（d（0）））。另一方面，对于x∈ (-∞, xs]，（（L）- r） ^h）′（x）=[ux- (uθ +σ- R- u）]ex（如果x小于0∈ (-∞, 十、*),> 如果x为0∈ （十）*, xs]，其中x*= θ +σ2u-ru- 1.因此- r） ^h（x）在(-∞ , 十、*), 严格增加（x）*, xs]，并且在xsand处严格为正-∞:（L）- r） ^h（xs）=r（cs+cb）>0和limx→-∞（L）- r） ^h（x）=rcb>0。如果（L）- r） ^h（x）*) = -uex*+ rcb<0，则方程（L）正好存在两个不同的根- r） ^h（x）=0，表示为xb1和xb2，因此-∞ < xb1<x*< xb2<xsand（L- r） ^h（x）（如果x大于0）∈ (-∞, xb1）∪ （xb2，xs]，<0如果x∈ （xb1，xb2）。另一方面，如果- r） ^h（x）*) = -uex*+ rcb≥ 0，那么（L- r） ^h（x）≥ 0代表所有x∈ R、 ^H（z）对于所有z都是凸的，这与凹区间的存在相矛盾。因此，我们得出结论：-uex*+ rcb<0，且（xb1，xb2）是唯一的区间，即- r） ^h（x）<0。因此，（a（0），d（0））与（xb1，xb2）和^z重合∈ （ψ（xb1），ψ（xb2））。这就完成了证明。参考文献Salili，L.，Patie，P.，和Pedersen，J.（2005）。OrnsteinUhlenbeck过程s.随机模型的首次命中时间密度表示，21（4）：967–980。Bensoussan，A.和Lions，J.-L.（1982年）。变分不等式在随机控制中的应用。阿姆斯特丹北荷兰出版公司。贝塞姆宾德，H.，库格努尔，J.F.，塞根，P.J.，和斯穆勒，M.M.（1995）。均衡价格的均值回归：来自期货期限结构的证据。《金融杂志》，50（1）：361-375。Borodin，A.和Salminen，P.（2002年）。布朗运动手册：事实和公式。Birkhauser，第二名。Casassus，J.和Collin Dufresne，P.（2005年）。商品期货和利率隐含的随机便利收益率。《金融杂志》，60（5）：2283-2331。Dayanik，S.和Karatzas，I.（2003年）。