指数OU模型下的最优多次交易时间

下面的观察结果也很有用：fs（x）（如果x<xs，则大于0），如果x>xs，则小于0，以及fb（x）（如果x<0）∈ (-∞, xb1）∪ （xb2+∞),> 如果x为0∈ （xb1，xb2）。（3.10）根据问题数据，最优切换问题有两组不同的解。定理3.3对于x，最优切换问题（2.2）和（2.2）允许解J（x）=0∈ R、 V（x）=（eb*-脑脊液（b*)F（x）如果x<b*,前任- csif x≥ B*,（3.11）其中b*满足条件（3.1），如果下列任何相互排斥的条件成立：（i）方程（3.2）没有根或单一根。（ii）有两个不同的根（3.2）。而且 ~a*∈ （xb1，xb2）使得*)ea*= F′（~a）*)（e)a*+ cb），（3.12）安第斯山脉*+ cbF（~a）*)≥电子束*- 脑脊液（b*). （3.13）（iii）（3.2）有两个不同的根，但（ii）不成立。在eorem 3.3中，J=0表示根本不进入市场是最佳选择。另一方面，如果从标的资产的一个单元开始，最优切换问题将简化为最优单停问题。事实上，投资者在退出后永远不会重新进入市场。这与最优清算问题（2.1）相同，其中只有一个（退出）交易。这种情况下的最优策略与（3.1）中的V相同——当原木价格X达到阈值b时，退出市场是最优的*.当定理3.3中的任何条件都不成立时，我们也讨论剩下的情况。

接下来，最佳策略将涉及进入和退出阈值。定理3.4如果（3.2）有两个不同的根，即xb1和xb2，并且存在一个数a*∈（xb1，xb2）满足*+ cbF（~a）*)<电子束*- 脑脊液（b*), （3.14）然后，最优切换问题（2.2）和（2.2）允许解J（x）=如果x，则P F（x）∈ (-∞, ~a*),~KF（x）- （ex+cb）如果x∈ [~a*,~d*],QG（x）如果x∈ （~d）*, +∞),（3.15）~V（x）=（~KF（x）如果x∈ (-∞,~b*),QG（x）+ex- csif x∈ [b]*, +∞),（3.16）其中a*满意度（ii）和~P=~K-ea*+ cbF（~a）*),~K=e~d*G（~d）*) - （e~d）*+ cb）G′（~d）*)F′（~d）*)G（~d）*) - F（~d）*)G′（~d*),~Q=e~d*F（~d）*) - （e~d）*+ cb）F′（~d）*)F′（~d）*)G（~d）*) - F（~d）*)G′（~d*).存在唯一的临界水平*和b*从非线性方程组中发现：edG（d）- （ed+cb）G′（d）F′（d）G（d）- F（d）G′（d）=ebG（b）- （eb）- cs）G′（b）F′（b）G（b）- F（b）G′（b），（3.17）edF（d）- （ed+cb）F′（d）F′（d）G（d）- F（d）G′（d）=ebF（b）- （eb）- cs）F′（b）F′（b）G（b）- F（b）G′（b）。（3.18）此外，临界水平为*∈ （xb1，xb2）和*> xs。定理3.4中的最优策略由停止时间∧描述*= (ν*, τ*, ν*, τ*, . . . ),和∧*= (τ*, ν*, τ*, ν*, . . . ), 用ν*= inf{t≥ 0:Xt∈ [~a*,~d*]},τ*i=inf{t≥ ν*i:Xt≥~b*}, 和ν*i+1=inf{t≥ τ*i:Xt≤~d*}, 因为我≥ 1.换句话说，如果价格在[ea]范围内，最好购买*, ed*] 然后当pr iceξ达到eb时卖出*. 买入/卖出区域的结构类似于双止点情况（见定理3.1和3.2）。特别是，~a*和一个*因为方程（3.2）和（ii）是等价的。a级*仅与首次购买相关。从数学上讲，a*是与d分开确定的*和b*. 如果我们从零位开始，那么最好输入pr iceξ是否在区间[ea]内*, ed*].

然而，在随后的所有交易中，只要价格达到ed，我们就进入*从上方（在eb处退出后*之前）。因此，较低的水平a*请注意，区分第3.3条和第3.4条的条件是详尽且相互排斥的。如果定理3.3中的条件成立，那么定理3.4中的条件必须成立。特别地，定理3.3中的条件（ii）成立的当且仅当Zxb1-∞ψ（x）exfb（x）dx<Zxb2xb1ψ（x）exfb（x）dx，（3.19），其中ψ（x）=2F（x）σW（x），W（x）=F′（x）G（x）- F（x）G′（x）>0。（3.20）不平等（3.2）可以在给定模型输入的情况下进行数值验证。3.3数值示例我们以数值方式实现定理3.1、3.2和3.4，并说明相关的进入/退出阈值。在图1（左）中，最佳的入门级是d*和d*分别从0.7425上升到0。7912和fr om 0.8310到0.8850，随着平均回归速度u从0.5增加到1。另一方面，关键出口级别为b级*和b*保持相对温度在u以上。至于关键的低级别a*从最优双停止问题来看，图1（右图）显示它在以u为单位减少。s ame模式适用于临界较低级别a中的最优切换问题*对一个*, 如上所述。我们现在来看图2中交易成本的影响。在左边的面板上，我们观察到，随着交易成本cb的增加，最优切换进入和退出水平之间的差距，~d*和b*, 变宽了。这意味着最好同时推迟进入和退出。直觉上，为了抵消交易成本增加导致的利润率下降，有必要以更低的价格买入，以更高的价格卖出，以寻求更大的价差。相比之下，退出级别为b*从分析角度来看，双停止问题与进入成本无关，因此它在图中保持不变。

相比之下，入门级d*, 然而，随着CBD的增加而减少，但比d明显减少*. 图2（右）显示*, 这对于最佳双停止和切换问题都是一样的，随着cb的增加，这一点会增加。在图1和图2中，我们可以看到进入和退出水平的间隔，（~d）*,~b*), 与最佳sw瘙痒问题相关的是相应的时间间隔（d*, B*) 从最佳双停问题。从直觉上看，如果想在完成当前交易后再次进入市场，交易者更愿意提前进入/退出，这意味着交易范围缩小。50.60.70.80.911.11.2ud*~b*D*B*0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-9.4-9.2-9-8.8-8.6-8.4微安*图1：（左）最优进入和退出水平与均值回归速度的关系。参数：σ=0.2，θ=1，r=0.05，cs=0.02，cb=0.02。（右）进入区域a的临界较低级别*随着u从0.5增加到1，单音从-8.4452减少到-9.2258。参数：σ=0.2，θ=1，r=0.05，cs=0.02，cb=0.02.0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.70.80.911.11.2cb)d*~b*D*B*0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-9.5-9-8.5-8.-7.5-7.-6.5cba*图2：（左）最优进入和退出水平与交易成本之比。参数：u=0.6，σ=0.2，θ=1，r=0.05，cs=0.02。（右）进入区域a的临界较低级别*随着Cb从0.01增加到0.1，从-9.4228单调增加到-6.8305。参数：u=0.6，σ=0.2，θ=1，r=0.05，cs=0.02。等待区。图3显示了模拟路径和相关的入口/出口级别。当路径开始于ξ=2.6011>ed时*> 预计起飞时间*, 投资者等待进入，直到路径到达较低级别*（双重停车）或紧急停车*（切换）根据第3.2条和第3.4条。进入后，投资退出处于最佳水平*（双重停车）或eb*（切换）。

最佳转换阈值是指投资者在第188天首次进入市场，其基础资产价格为2.3847。相比之下，最佳双停时机会在第845天价格波动时产生一个较晚的条目*= 2.1754. 至于退出时机，在最佳切换设置下，投资者在第268天以eb的价格提前退出市场*= 2.8323. 在价格到达ESEB的第1160天，双停时间要晚得多*= 3.0988. 此外，在最优切换问题下，投资者在同一时间跨度内执行更多交易。如图所示，投资者将在双止点投资者首次清算之前完成市场上的两次“最后一程”（买入和卖出）交易。0 200 400 600 800 1000 120011.522.533.544.5天经验（b*)exp（~b）*)exp（~d）*)经验（d）*)图3：一个指数OU路径示例，以及入口和出口级别。在双停止设置下，投资者以νd进入*= inf{t≥ 0:ξt≤ 预计起飞时间*= 2.1754}带d*= 0.7772，并在τb处退出*= inf{t≥νd*: ξt≥ 电子束*= 3.0988}带b*= 1.1310. 最优转换投资者在νd处进入*= inf{t≥ 0:ξt≤ed*= 2.3888}带?*= 0.8708，并在τ/b处退出*= inf{t≥ ~nd*: ξt≥ eb*= 2.8323}带)b*= 1.0411. 进入区域的临界下限为ea*= 1.264 · 10-4.带着*= -8.9760（图中未显示）。参数：u=0.8，σ=0.2，θ=1，r=0.05，cs=0.02，cb=0.02.4求解和证明方法我们现在从定理3.1和3.2开始为第3节中的分析结果提供详细证明，以获得最佳双停问题。4.1从任意x开始的最优双停止问题∈ R、 我们用τa表示∧ τb间隔[a，b]w的退出时间-∞ ≤ A.≤十、≤ B≤ +∞. 如果a=-∞, 那么我们有τa=+∞ a、 在美国，这将移除较低的出口级别。同样，b=+∞, τb=+∞ a、 美国。

因此，通过考虑区间型策略，我们还包括达到单一水平的停止策略类别（如上述理论3.1）。现在，让我们介绍一下转换ψ（x）：=FG（x），（4.1）和定义za=ψ（a），zb=ψ（b）。使用奖励函数hs（x），并使用（4.1），我们计算相应的预期折扣奖励：Ex{e-r（τa）∧τb）hs（Xτa）∧τb）}=hs（a）Ex{e-r（τa）∧τb）{τa<τb}}+hs（b）Ex{e-r（τa）∧τb）{τa>τb}（4.2）=hs（a）F（x）G（b）- F（b）G（x）F（a）G（b）- F（b）G（a）+hs（b）F（a）G（x）- F（x）G（a）F（a）G（b）- F（b）G（a）=G（x）hs（a）G（a）ψ（b）- ψ（x）ψ（b）- ψ（a）+hs（b）G（b）ψ（x）- ψ（a）ψ（b）- ψ（a）= G（ψ）-1（z））H（za）zb- zzb- za+H（zb）z- 扎兹布- za, （4.3）其中h（z）：=hsGo ψ-1（z）如果z>0，limx→-∞（hs（x））+G（x）如果z=0。（4.4）最后一个等式（4.1）将问题从x坐标转换为z=ψ（x）坐标（见（4.1））。反过来，候选者的最佳退出间隔[a]*, B*] 通过最大化（4.1）中的期望值来确定。这相当于转化问题中Zazbin和zbin的最大化（4.1）。因此，对于每一个z≥ 0，我们有w（z）：=sup{za，zb:za≤Z≤zb}H（za）zb- zzb- za+H（zb）z- 扎兹布- za, 应用（4.1）到（4.1），我们可以表示最大期望折扣报酬asG（x）W（ψ（x））=sup{a，b:a≤十、≤b} 前{e-r（τa）∧τb）hs（Xτa）∧τb）}。现在，需要证明所提出的停止策略的最优性。这也为value函数提供了一个解析表达式。定理4.1在XOU模型（2）下，在（2.1）中定义的值函数V（x）为giv en byV（x）=G（x）W（ψ（x）），其中G、ψ和W分别在（3）、（4.1）和（4.1）中定义。该证明类似于Leung和Li（2015）中定理3.2的证明，因此被省略。根据eorem 4.1，对于XOU模型下的最优清算问题，考虑区间型策略是有效的。

注意，最佳水平（a*, B*) 取决于初始值x，它们可能重合或取值-∞ 或者+∞. 因此，停止和继续区域的结构可能具有多个区间的特征，从而导致断开的继续区域（见上述定理3.2）。为了确定最优退出时间策略并求解V，主要挑战在于分析函数H和W。4.1.1最优退出时间在为下一个结果做准备时，我们将（4.1）和（3）-（3）应用于（4.1）中H的定义，并总结H的关键性质。引理4.2函数H在[0]上是连续的+∞), 在（0+∞) 并且具有以下性质：（i）H（0）=0，和H（z）（<0如果z∈ （0，ψ（ln-cs）），如果z∈ （ψ（ln-cs）+∞).（ii）H（z）严格地为z增加∈ （ψ（ln-cs）+∞), 和H′（z）→ 0作为z→ +∞.（iii）H（z）是（凸的，如果z∈ （0，ψ（xs）]，如果z是凹的∈ [ψ（xs）+∞).基于引理4.2，我们在图4中绘制了H。利用H的性质，我们现在求解最佳退出时间。zHWz*= ψ（b）*)ψ（ln-cs）ψ（xs）图4：H和W的示意图。根据引理4.2，H在ψ（xs）的左边是共凸的，在右边是凹的。最小的凹主曲线W是一条与H在z处相切的直线*在[0，z]上*), 与[z]上的H重合*, +∞).定理3.1的证明我们寻找f形式的值函数：V（x）=G（x）W（ψ（x）），其中W是H的最小凹主。通过引理4.2，我们观察到H是[ψ（xs）上的凹+∞), （ψ（ln-cs）上的严格正+∞), 和H′（z）→ 0作为z→ +∞. 因此，存在一个唯一的e数z*> ψ（xs）∨ ψ（ln-cs）使得h（z）*)Z*= H′（z）*).

（4.6）反过来，H的最小凹主分量由w（z）=（zH（z）给出*)Z*如果z∈ [0，z*),H（z）如果z∈ [z]*, +∞).替代b*= ψ-1（z）*) 在（4.1.1）中，我们有（z*)Z*=H（ψ（b）*))ψ（b）*)=电子束*- 脑脊液（b*),andH′（z）*) =eψ-1（z）*)G（ψ）-1（z）*)) - （eψ）-1（z）*)- cs）G′（ψ）-1（z）*))F′（ψ）-1（z）*))G（ψ）-1（z）*)) - F（ψ）-1（z）*))G′（ψ）-1（z）*))=电子束*G（b）*) - （eb）*- cs）G′（b）*)F′（b）*)G（b）*) - F（b）*)G′（b）*).等价地，我们可以用b来表示（4.1.1）*:电子束*- 脑脊液（b*)=电子束*G（b）*) - （eb）*- cs）G′（b）*)F′（b）*)G（b）*) - F（b）*)G′（b）*),简化后相当于（3.1）。因此，我们得到了w（ψ（x））=（ψ（x）H（z）*)Z*=F（x）G（x）eb*-脑脊液（b*)如果x∈ (-∞, B*),H（ψ（x））=ex-csG（x）如果x∈ [b]*, +∞).反过来，价值函数V（x）=G（x）W（ψ（x））由（3.1）给出。4.1.2最佳进入时间我们可以直接遵循产生定理4.1的参数，但回报为^h（x）=V（x）- hb（x）=V（x）- （ex+cb）和与H类似的定义^H:^H（z）：=^hGo ψ-1（z）如果z>0，limx→-∞（^h（x））+G（x）如果z=0。我们将寻找形式为：J（x）=G（x）^W（ψ（x））的值函数，其中^W是^H的最小凹主函数。下一个引理给出了^H的性质。引理4.3函数^H在[0]上是连续的+∞), 在（0+∞), （0，ψ（b）上的二次可微*)) ∪ （ψ（b）*), +∞), 并且具有以下性质：（i）^H（0）=0，并且存在一些b<b*使得^H（z）<0表示z∈ （0，ψ（b））∪ [ψ（b）]*), +∞).（ii）^H（z）对于z是严格递减的∈ [ψ（b）]*), +∞).（iii）定义康斯坦茨*= θ +σ2u-ru- 1.存在一些常数XB1和xb2，其中-∞ < xb1<x*< xb2<xs，解fb（x）=0，使得^H（z）是（凸的，如果z∈ （0，ψ（xb1））∪ （ψ（xb2）+∞)如果z是凹的∈ （ψ（xb1）、ψ（xb2））和^z:=arg maxz∈[0,+∞ )^H（z）∈ （ψ（xb1），ψ（xb2））。图5根据引理4.3给出了^H的简图，并说明了相应的smalles tconcave m ajorant^W。z^H^W^z=ψ（a）*)^z=ψ（d）*)ψ（b）ψ（b）*)图5：^H和^W的草图。

最小的凹面主凹面^W是在^zon[0，^z]与^H相切的直线，与[^z，^z]上的^H重合，等于（^z）上的^H（^z）+∞).定理3.2的证明如引理4.3和图5所示，通过定义^H的最大化子，^z表示方程^H′（^z）=0。（4.7）还有一个唯一的数字^z∈ （xb1，^z）使得^H（^z）^z=^H′（^z）。（4.8）使用（4.1.2）、（4.1.2）和图5，^W是在^zon[0，^z]与^H相切的直线，与[^z，^z]上的^H重合，等于（^z）上的^H（^z）+∞). 因此，^W（z）=z^H′（^z）如果z∈ [0，^z），^H（y）如果z∈ [^z，^z]，^H（^z）如果z∈ （^z+∞).代替*= ψ-1（^z）到（4.1.2），我们有^H（^z）^z=V（a）*) - （ea）*+ cb）F（a）*),和^H′（^z）=G（a）*)（V′（a）*) - ea*) - G′（a）*)（V）（a）*) - （ea）*+ cb）F′（a*)G（a）*) - F（a）*)G′（a）*).等价地，我们可以用a来表示条件（4.1.2）*:V（a）*) - （ea）*+ cb）F（a）*)=G（a）*)（V′（a）*) - ea*) - G′（a）*)（V）（a）*) - （ea）*+ cb）F′（a*)G（a）*) - F（a）*)G′（a）*),简化后相当于（3.2）。此外，我们可以用a表示^H′（^z）*:^H′（^z）=^H（^z）^z=V（a）*) - （ea）*+ cb）F（a）*)= P.此外，替换为d*= ψ-1（^z）到（4.1.2），我们有g（d）*)（V′（d）*) - 预计起飞时间*) - G′（d）*)（V（d）*) - （埃德*+ cb）F′（d*)G（d）*) - F（d）*)G′（d）*)= 0，可以进一步简化为（3.2）。此外，^H（^z）可以用d表示*:^H（^z）=V（d）*) - （埃德*+ cb）G（d）*)= Q.通过直接替换^W的表达式和相关函数，我们得到了（3.2）中的值函数。4.2最优切换问题利用前面章节的结果，我们可以推断切换问题的买卖区域的结构，然后继续验证其最优性。在这一部分中，我们提供了定理3.3和3.4的详细说明。orem 3.3（第1部分）第一部分t的证明，hs（x）=ex- 政务司司长，我们要区别对待hsF′（x） =（例如- cs）F′（x）- exF（x）F（x）。

（4.9）另一方面，根据伊藤引理，我们有hs（x）=Ex{e-香港电台（Xt）}- 前任中兴通讯-鲁（L）- r） 许都房协.请注意{e-rths（Xt）}=e-rte（x）-θ） e-ut+θ+σ4u（1-E-2ut）- 反恐精英→ 0作为t→ +∞.这意味着hs（x）=-前任Z+∞E-鲁（L）- r） 许都房协= -G（x）Zx-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds- F（x）Z+∞xΦ（s）（L）- r） hs（s）ds，（4.10），其中ψ在（3.2）中定义，Φ（x）：=2G（x）σW（x）。最后一行来自罗杰斯和威廉姆斯（Rogers and Williams，2000年，第293页）的定理50.7。用F（x）除以两边，并对（4.2）的RHS进行微分，我们得到hsF′（x） =-女朋友′（x） Zx-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds-GF（x）ψ（x）（L）- r） hs（x）- Φ（x）（L）- r） hs（x）=W（x）F（x）Zx-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds=W（x）F（x）q（x），其中q（x）：=Zx-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds。由于W（x），F（x）>0，我们推断hsF′（x） =0等于q（x）=0。使用（4.2），我们现在看到（3.1）相当于q（b）=0。接下来，由（3.2）得出q′（x）=ψ（x）（L）- r） hs（x）（如果x<xs，则大于0，如果x>xs，则小于0）（4.11）这一点，以及在limx处的事实→-∞q（x）=0，意味着存在唯一的b*这样的q（b）*) = 0当且仅当limx→+∞q（x）<0。接下来，我们证明这个不平等性成立。通过定义HSF和F，我们得到了HS（x）F（x）=ex- csF（x）>0表示x>ln-cs，limx→+∞hs（x）F（x）=0，hsF′（x） =W（x）F（x）Zx-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds=W（x）F（x）q（x）。（4.12）由于q在（xs）中严格递减+∞), 当且仅当limx→+∞q（x）<0。因此，我们得出结论，存在唯一的b*使ebF（b）=（eb- cs）F′（b）。使用（4.2），我们可以看到*> 所有x<b的x和q（x）>0*. （4.13）观察到eb*, F（b）*), F′（b）*) > 0，我们可以得出hs（b）的结论*) = 电子束*- cs>0，或等效Yb*> 在cs。现在，我们通过直接替换来验证（3.3）中的∧V（x）和∧J（x）满足一对变量不等式：min{r∧J（x）- L~J（x），~J（x）- （V（x）- hb（x））}=0，（4.14）min{r＠V（x）- L~V（x），~V（x）- （J（x）+hs（x））}=0。