具有GARCH波动率的风险度量的时间一致性及其应用

我们用ptt表示关于fta的条件概率，并计算α=Pta+σt+1（aZt+1+b）≤a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）=Pta+σt+1（aZt+1+b）Zt+2≤a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）F-1Z（α）=2.∞Pta+σt+1（aZt+1+b）z≤a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）F-1Z（α）dFZ（z）-1=2F-1Z（α）Pta+σt+1（aZt+1+b）z≤a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）F-1Z（α）dFZ（z）+2∞F-1Z（α）Pta+σt+1（aZt+1+b）z≤a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）F-1Z（α）dFZ（z）-1现在注意第一个积分F-1Z（α）z在z中减小为0，在积分范围内最小值为1。这意味着对于积分下的概率，左随机变量scaledby z随z减小到α。此外，由于Zt+1的支持有明确的右端点，因此第二个积分为正。因此，我们估计右手边的≥2α+2a-1，其中a>0。然而，对于接近1的α，我们有α+1<2α+2a。Cheridito和Stadje（2009）提议使用后验法（2.2）修正VaR的时间不一致性。由此产生了以下定义。定义3.4。考虑到损失，我∈定义3.1中的L（FT）和VaRα。然后是α级的时间一致性风险值∈L的（0,1）定义如下：VaRαT（L）∶=VaRαT（L）=L，VaRαt（L）∶=VaRαtVaRαt+1（L）, t=0，T-1.（3.5）在递归（2.2）的构造符号中，这对应于ρt∶=VaRα和φt∶=VaRαt.作为(VaRαT（X））Tt=0我们发现L∈L（英尺）VaRαt（L）=VaRαt○VaRαt+1○···○VaRαT-1.（五十） 。（3.6）选择GARCH（1，1）模型（2.5）需要一个方便的特性，即提前m天的VAR评估允许采用封闭形式的解决方案。更准确地说，我们可以推导出一个解析解，用于对终端时间t的GARCH（1,1）损失进行时间t风险评估，如下所示（通常我们设置∑-1k=0an=0）。证明见附录A定理3.5。设（Lt）Tt=0为GARCH（1,1）模型（2.5）给出的损失过程。然后我们有VaRαt（LT）=F-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b, t=0。

T-1、（3.7）其中PTt∶R→R是由ptt（x）给出的Ft可测量映射∶=在-T-2.k=0xk+σt+1xT-T-1，t=0，T-1.（3.8）3.2累计损失的时间一致性VaR我们现在来计算m日前VaRα。到目前为止，我们已经考虑了在时间T<T之前的固定日期T的风险头寸，在此之前，可以获得过滤形式的信息。m日前VaRα是对t+m期间[t+1，t+m]的累计损失Lt+K的风险评估≤T接下来我们展示VaRα在GARCH（1，1）损失的集合中线性化。提议3.6。假设（Lt）Tt=0是GARCH（1,1）模型（2.5）给出的损失过程，那么我们有固定的t∈{1，…，T-1} 还有m∈N使得t+m≤TVaRαtMk=1Lt+k=F-1Z（α）mk=1Pt+ktaF-1Z（α）+b=Mk=1VaRαtLt+k. （3.9）证据。首先注意，对于m=2，我们从（3.3）中知道VaRαtLt+1+Lt+2=VaRαtLt+1+VaRαt+1（Lt+2）=VaRαtσt+1Zt+1+σt+2F-1Z（α）,第二行从（3.2）开始。通过（2.5）我们得到σt+2=a+σt+1（aZt+1+b），它将最后一个方程转化为VaRαtLt+1+Lt+2=VaRαtσt+1Zt+1+F-1Z（α）a+σt+1（aZt+1+b）.通过VaRα的定义和σt+1Zt+1+F-1Z（α）a+σt+1（aZt+1+b）是Zt+1严格递增的Ft可测量函数，我们发现VaRαtLt+1+Lt+2=σt+1F-1Z（α）+F-1Z（α）a+σt+1（aF）-1Z（α）+b），（3.10），等于和VaRαtLt+1+VaRαtLt+2也等于中心对应的和。我们继续归纳，并假设（3.9）对∑M-1k=1Lt+k。

由于总和是ft+m-可测量的，我们得到（3.6）VaRαtMk=1Lt+k=VaRαt○VaRαt+1○···○VaRαt+m-1.M-1.k=1Lt+k+Lt+m=VaRαt○VaRαt+1○···○VaRαt+m-2.M-1.k=1Lt+k+VaRαt+m-1（Lt+m）=VaRαt（Lt+1+VaRαt+1（Lt+2+···+VaRαt+m-2（Lt+m）-1） +VaRαt+m-1（Lt+m））=VaRαtLt+1+VaRαt+1Mk=2Lt+k=VaRαtLt+1+mk=2VaRαt+1Lt+k最后一个恒等式后面是归纳假设，这也意味着Mk=2VaRαt+1Lt+k=F-1Z（α）mk=2Pt+kt+1aF-1Z（α）+b=F-1Z（α）mk=2ak-3.j=0aF-1Z（α）+bj+σt+2aF-1Z（α）+bK-2.我们使用（2.5）中的σt+2=a+σt+1（aZt+1+b），并观察到k=2ak-3.j=0aF-1Z（α）+bj+a+σt+1（aZt+1+b）aF-1Z（α）+bK-2=mk=2ak-2.j=0aF-1Z（α）+bj+σt+1（aZt+1+b）aF-1Z（α）+bK-2是Zt+1中严格递增的函数。因此，我们可以按照（3.10）中的相同论点来实现最终VarαtLt+1+mk=2VaRαt+1Lt+k=σt+1F-1Z（α）+F-1Z（α）mk=2ak-2.j=0aF-1Z（α）+bj+σt+1aF-1Z（α）+bK-1=σt+1F-1Z（α）+F-1Z（α）mk=2Pt+ktaF-1Z（α）+b=F-1Z（α）mk=1Pt+ktaF-1Z（α）+b=Mk=1VaRαtLt+k.这就完成了证明。4条件时间一致性风险平均值本节致力于研究风险平均值（AVaR）的时间一致性替代方案。由于一致性，AVaR通常被认为是对VaR更合理的修正。有关更多详细信息，我们参考F¨ollmer and Schied（2011年，第4章）。对于t∈{0，…，T}我们将L（Ft）定义为所有Pt可积损失的集合，其中Pt表示关于Ft的条件概率和相应的条件期望。以下定义与AVaR和VaR定义4.1有关。考虑到损失，我∈L（FT）α级的平均风险值∈（0，1）此时∈{0，…，T}由avarαT（L）=1给出-ααVaRut（L）du。

（4.1）定义3.1中的VaRαt（L）。VaR量化了与某一特定风险水平相关的风险，反映在α的选择上，而作为综合VaR，AVaR考虑了α和1之间的整个风险水平带宽上的VaR，从而更好地反映了VaR可能忽略的极端风险量。以下是一个以无条件AVaR闻名的事实的类比（例如McNeilet al.（2005）的引理2.16）。备注4.2。如果损失头寸为L∈L（FT）有一个连续分布函数，thenAVaRαt（L）=EtLL>VaRαt（L）, t=0，T.（4.2）由于（4.2），AVaR通常也称为条件VaR或预期短缺。假设B：除了假设A之外，我们从现在开始还需要Z具有连续分布函数。4.1单日损失的时间一致性AVaR我们再次关注（2.5）中的GARCH（1,1）模型。例4.3。假设设置如例3.2所示。对于t=0，T-1让Lt+1由（2.5）给出。那么AVaRαt（Lt+1）是提前1天的AVaR。如果创新（Zt）没有≥0有一个连续分布函数FZ，然后通过条件期望的线性和σt+1的可测性，我们得到t=0，T-1，AVaRαt（Lt+1）=σt+1EtZt+1Zt+1>F-1Z（α）=σt+11-α∞F-1Z（α）ydFZ（y）=σt+1AVaRα（Z）。这种计算也可以在麦克尼尔和弗雷（2000）中找到。与第3节类似，AVaR的时间一致性版本构造如下。定义4.4。考虑到损失，我∈定义4.1中的L（FT）和AVaRαt（L）。然后是α级风险的时间一致性平均值∈L的（0,1）定义如下：AVaRαT（L）∶=LAVaRαt（L）∶=阿瓦尔αtAVaRαt+1（L）, t=0，T-1.（4.3）对于时间T处损失平方的平均风险值，我们可以得出一个类似于（3.7）的明确公式。

请注意，尽管LTAVAR允许将时间T解释为条件挥发性，但我们调查的目的是利用LTAVAR推导出AVaRitself的语用界限，见下文第4.2节。我们从一个类似于定理3.5的结果开始，回想一下∑-1k=0ak=0。附录B中给出了证明。定理4.5。设（Lt）Tt=0由GARCH（1,1）模型（2.5）给出。然后我们有了squaredloss LT∈终端时间T时的L（FT）AVaRαt（LT）=1-ααF-1Z（u）du PTta1-ααF-1Z（u）du+b, t=0，T-1、（4.4）其中PTt∶R→R是由ptt（x）=aT给出的Ft可测量映射-T-2.k=0xk+σt+1xT-T-1，t=0，T-1.也可以推导m的表达式-前一天阿瓦尔α。像往常一样，我们定义∏j=1aj=1。提案4.6。设（Lt）Tt=0由GARCH（1,1）模型（2.5）给出。对于t>0，定义Qt+1t=σt+1，对于固定m≥2Qt+mt（z，z，…，zm-1)∶=是-2.k=0kj=1（azj+b）+σt+1m-1.j=1（azk+b）。（4.5）那么AVaRαt（Lt+1）=AVaRα（Z）σt+1，对于固定的m≥2.AVaRαt（Lt+m）=AVaRα（Z）（1）-α） m-1.∞F-1Z（α）···∞F-1Z（α）（m）-1） -时报Qt+mt（z，…，zm）-1） dFZ（z）···dFZ（zm-1). （4.6）证据。对于m=1，请注意（4.1）AVaRαt（Lt+1）=AVaRαt（Lt+1）=σt+11-α∫∞F-1Z（α）yd（y）作为不精确样本4.3。为了简单起见，我们设置κ=1-α∫∞F-1Z（α）yd（y）。对于AVaRαt（Lt+2）我们使用这个和引理B.1，计算m=2AVaRαt（Lt+2）=AVaRαtAVaRαt+1（Lt+2）=阿瓦尔αtAVaRαt+1（Lt+2）（4.7）=AVaRαtκσt+2（4.8）=κAVaRαtσt+2（4.9）=κEtσt+2σt+2>VaRαt+1（σt+2）=κEtσt+2Zt+1>F-1Z（α）=κ1 -αEta+σt+1aZt+1+b{Zt+1>F-1Z（α）}=κ1 -α∞F-1Z（α）a+σt+1az+bdFZ（z），因为σt+1是可测量的。假设（4.6）适用于Lt+2，Lt+m-1.那么AVaRαt（Lt+m）=AVaRαtAVaRαt+1（Lt+m）=阿瓦尔αtκ(1 -α） m-2.∞F-1Z（α）···∞F-1Z（α）（m）-2） -时报Q（t+1）+（m）-1） t+1（z。

，zm-2） dFZ（z）···dFZ（zm-2),式中q（t+1）+（m）-1） t+1（z，z，…，zm-2)∶=是-3.k=0kj=1（azj+b）+σt+2m-2.j=1（azk+b）。设置σt+2=a+σt+1（aZt+1+b），然后由于σt+1是可测的，Zt+1的因式分解会产生另一个积分和另一个因子1-分母中的α。4.2几乎确定的AVARF界限为对于（非平方）GARCH（1,1）损失的AVaRαt（LT）并不简单。然而，可以推导出AVaRαt（LT）。4.2.1单日损失的AVaR界限我们现在导出了AVaRα源于Jensen质量的应用。关于以下命题的证明，我们参考附录B命题4.7。设Lt为GARCH（1，1）模型（2.5）给出的T>0时刻的损失头寸。德纳瓦尔αt（LT）∶=1.-ααF-1Z（y）dyPTta1-ααF-1Z（u）du+b, t=0，T-1、（4.10）其中PTt(·)由（3.8）给出，满足阿瓦尔αt≤AVaRαtt=0，T-1.对之前结果的证明进行简单的修改，可以得到一个关于阿瓦尔α。提案4.8。设Lt为GARCH（1，1）模型（2.5）给出的T>0时刻的损失头寸。德纳瓦尔αt（LT）∶=1.-ααF-1Z（u）du1.-ααaF-1Z（y）+BdyT-T-1σt+1，t=0。T-1、（4.11）满意度AVaRαt（LT）≥AVaRαt（LT）t=0，T-1.4.2.2累计损失的AVaR界限不幸的是，对于AVaR，不存在与命题3.6相对应的结果，因此AVaR不会在GARCH损失的累计中线性化。一个关键的障碍是引理B.1不适用。然而，由于AVaR的次可加性和性质（2.4），我们可以导出GARCH损失加总的上界。提案4.9。让（Lt）Tt=0由GARCH（1，1）模型（2.5）给出。那么，对于t∈{1，…，T-1} 还有m∈N使得t+m≤T，m日前AVaRαtof累计损失∑mk=1Lt+kis边界阿瓦尔αtMk=1Lt+m+1≤Mk=1AVaRαt（Lt+m+1）。（4.12）证据。

根据次可加性性质（2.4）阿瓦尔αt∑mk=1Lt+m+1满足感阿瓦尔αtMk=1Lt+m+1≤Mk=1阿瓦尔αtLt+m+1.现在，这个断言来自命题4.7的应用。备注4.10。由于GARCH损失加总之间缺乏线性化，提案4.8中的m-ahead AVaR界限加总不会产生适当的下限阿瓦尔αt∑mk=1Lt+m+1. 而在单m日提前的情况下，AVaRαt（LT）是一个真正的较低下限AVaRαt（LT），它们的聚集∑mk=1AVaRαt（Lt+m+1）相当于上界的下界∑mk=1AVaRαt（Lt+m+1）。有可能∑mk=1AVaRαt（Lt+m+1）是∑mk=1AVaRαt（Lt+m+1）。然而，我们将使用∑在我们的数值实验中，mk=1AVaRαt（Lt+m+1）是一个弱下界，以确定上界的大小∑mk=1AVaRαt（Lt+m+1）是基于极值理论的分位数估计的尾部。1广义帕累托分布到目前为止，我们还没有确定噪声分布，只是假设了某些性质，如精确端点或分布函数的连续性。在整个过程中，我们的α接近1，对应的噪声分布函数接近1。因此，在某个高阈值u以上指定分布函数是很有效的。这是极值理论中的一个典型假设，我们将应用峰值超过阈值的方法（如McNeil和Frey（2000））。我们大致了解了环境。图1:Motorola股价分析：损失数据（顶部）、拟合aGARCH（1，1）模型后的条件方差（中间）和损失数据的残差（底部）。广义帕累托分布（GPD）由gξ，β（x）给出=1.-1+βx-1/ξ, ξ ≠0,1 -经验-xβ, ξ=0，（5.1），其中β>0和ξ∈R.如果ξ>0（5.1）被定义为x≥如果x上定义了ξ<0（5.1）∈[0, -βξ] ，参见Embrechts等人（1997）中的第3.4节。

假设我们假设某个高阈值u>0。给定一个具有分布函数F和右端点xF的随机变量X，其相关的超额分布函数定义为fu（y）=P十、-U≤YX>u=F（y+u）-F（u）1-F（u），0≤y<xF-u、 （5.2）Pickands（1975）和Balkema and de Haan（1974）将GPD归类为一大类超额分布的极限分布，从而压缩了GPD的强度。更准确地说，在温和的条件下，存在一个可测量的非负参数β=β（u），例如limu→xFsup0≤十、≤xF-U傅（x）-Gξ，β（u）=0holds，参见Embrechts et al.（1997）中的定理3.4.13，以获得该结果的严格说明。（5.1）的密度由gξ，β（x）给出=β1+βx-1/ξ-1, ξ ≠0，βexp-xβ, ξ =0.（5.3）图2:Motorola股价分析：损失数据的样本自相关函数（顶部）和建立GARCH（1,1）模型后的剩余数据（底部）。假设Z具有分布函数FZ，对于某些足够高的阈值u>0，满足Fu（x）=Gξ，β（x）为0≤十、≤xF-u和ξ∈R和β>0，我们发现α≥F（u）（对于ξ=0，我们将该分位数解释为相应指数分布的分位数）F-1Z（α）=u+βξ1.-α1 -F（u）-ξ-1., (5.4)1 -ααF-1Z（y）dy=F-1Z（α）1-ξ+β -ξu1-ξ. 我们得到-1Z（α）=F-1Z（（α+1））=u+βξ(1 -α)1 -F（u）-ξ-1..不幸的是，α没有明确的表达式-1.∫αF-1Z（y）dy.5.2统计模型设置在本节中，我们将之前推导的理论和公式应用于数据集。我们选择1985年3月1日至2014年10月15日期间摩托罗拉股票的历史每日收盘价，因为该数据集提供了金融时间序列的几个典型特征。我们将价格转化为负回报；i、 例如，转换为损失，并使用准最大似然估计（QMLE）拟合GARCH（1,1）参数（例如。

Franq和Zakoian（2010），第7章）。参数估计可以在表1中找到，结果如图1所示。我们在图1的中间部分可以看到1987年10月（黑色星期一）的主要波动性集群，从2000年到2002年（网络泡沫和9·11袭击事件之后），从2008年到2010年金融危机之后的一个较长时期。图3：广义帕累托分布的拟合。左图：正残差的平均超额图，以及阈值超额残差与设定GPD的QQ图。右图：超额分配fu（x-u） 根据拟合的GPD模型（实线）和超额概率的经验估计（虚点）。参数值标准误差a2e-07 1.09e-07a0。0451 0.0014b 0.9531 0.0013表1:QMLE估计的GARCH（1,1）参数。在下一步中，我们将在建立GARCH（1，1）模型后检查损失数据和残差的样本自相关函数。在图2中，底图描绘了残差和平方残差的acf，支持我们对i.i.d.GARCH残差Zt的假设。这也反映在Ljung Box的几次运行中，即残差的各种滞后。残差也通过增广Dickey-Fuller和KPSS平稳性检验。如第5.1节所述，我们将GPD设置为残差的上尾端。我们首先必须选择足够高的阈值u，并选择它作为残差的大约92%分位数。这一点通过研究图3中非负残差的平均过剩曲线得到了支持：残差的92%分位数（蓝色实线）产生了一个阈值，它有效地标志着平均过剩曲线线性行为的开始。

由于经验平均超标率在增加，图4:QQ绘制了阈值超标残差与最终GPD的对比图。可以假设形状参数ξ为正。ξ和β的参数估计证实了这一点。最大似然估计是ξ=0.3376，95%置信区间[0.2272,0.4481]和β=0.4609，置信区间为95%[0.4023,0.5280]。在图3中，右图描绘了超额分布Fu（x）的GPD fit-u） =P（X）≤十、X>u）叠加在超额概率的经验估计上。请注意GPD模型与超额概率的经验估计值的吻合程度。图4描绘了经验分位数与拟合分位数的QQ图。再次注意，已确定的GPD与经验估计值的良好一致性。5.3将时间一致性风险度量与数据拟合我们现在计算第3节和第4.5.3.1节中相应的时间一致性风险度量时间一致性VaR估计在第一步中，对于单个损失头寸，我们根据命题3.5计算不同α水平的m日前时间一致性VaR；i、 例如，我们确定并考虑不同m的VaRαt（Lt+m）∈N.在图5中，我们绘制VaRαt（Lt+m）对于m=1，10.一旦单一时间一致的风险措施计算VaRαt（Lt+m），我们同时通过聚合得到提案3.6中m天内累计损失的风险度量；即。，VaRαtMj=1Lt+j=Mj=1VaRαt（Lt+j）。在图6中，我们绘制了VaRαt(∑mj=1Lt+j）对于m=1，10.表2显示了单一损失Lt+mand累计损失的VaRα∑mj=1Lt+jj对于不同的α和m=1。