具有GARCH波动率的风险度量的时间一致性及其应用

，10.5.3.2时间一致性AVaR估计在第二步中，我们计算单损失头寸的近似AVaR上界和下界，并计算不同水平α的提前m天；i、 例如，我们定义并考虑AVaRαtLt+m和AVaRαtLt+m对于不同的m∈N.我们从提案4.7中获得的m天累计损失的风险度量。图5：提前m天单笔损失头寸的时间一致性VaR估计。图6：提前m天累计损失头寸的时间一致性VaR估计。单损累计。

损失α7.0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0.0.0.0.0 0.0 0.22 0.0250.0.0 0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0 0.0.0 0 0 0.0 0.0 0.0 0 0 0 0 0.0.0.0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0084 0.0097 0.0117 0.0156 0.0444 0.0495 0.0575 0.07187 0.0089 0.01030.0127 0.0175 0.0533 0.0598 0.0702 0.08938 0.0094 0.0110 0.0180.0196 0.0627 0.0708 0.0840 0.10899 0.0099 0.0118 0.0150 0.0218 0.0726 0.0826 0.0990 0.130710 0.0105 0.0126 0.0162 0.0244 0.0831 0.0952 0.1152 0.1551表2单一损失的VaRαLt+M和累计损失∑mj=1Lt+j.下限上限α10.0 0.0118 0 0.019 0 0.0 0 0.019 0 0.0 0 0.0199 0 0.019 0 0.019 0 0.019 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0118 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0139 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0139 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0.0214 0.0260 0.0340 0.0515 0.0402 0.0504 0.0686 0.10937 0.0250 0 0.03110.0420 0.0672 0.0532 0.0687 0.0974 0.16588 0.0291 0.0371 0.0520 0.0878 0.0704 0.0936 0.1384 0.25159 0.0340 0.0444 0.0643 0.1146 0.0932 0.1276 0.1966 0.381310.0398 0.0531 0.0795 0.1497 0.1232 0.1738 0.2792 0.5783表3：单次损失Lt+m=1，10.5.4结论值得注意的是，对动态时间一致性（A）VaR的解释与静态（A）VaR的解释有很大不同：动态（A）VaR通过静态（A）VaR随时间的组成而演变。阿格。阿瓦尔α阿格尔。

阿瓦尔α10.0 0.0 0.0 0 0.050 0 0 0.050 0 0 0.0 0 0 0 0.0525 0 0 0.050 0 0 0.055 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0118 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0901 0.10440.1280.17540.1338 0.1596 0.2034 0.29437 0.1151 0.13550.1700 0.2426 0.1870.2283 0.3008 0.46018 0.14420 0.1726 0.2220 0.33040.2574 0.3219 0.4392 0.71169 0.1782 0.2170 0 0.2863 0.4450.3506 0.4495 0.6358 1.092910 0.2180.2701 0.3658 0.5947 0.4738 0.6233 0.9150 1.6712表4：累计损失的AVaRα和AVaRα∑mj=1Lt+j。这导致了更为保守的风险度量，因为未来到期的风险头寸不仅在未来到期时通过自身的动态进入风险评估，而且在到期前的任何时间点进入风险评估。这意味着，在到期前产生的风险影响随时都会得到缓冲。正如人们所预料的那样，当预见到更多的风险管理时，安全边际α越高，安全资本的增加就越显著。表2对比了不同α和到期日m的单一和累计时间一致性VaR值。它令人信服地表明，在整个到期日期间，需要多少更高的资本储备来保证相同水平的统一安全。在α=0.975的水平上，时间一致性累计损失VaR从到期日1到2增加了一倍多，并乘以12到到期日10的系数。要防范可能在遥远的未来出现的所有不确定性，需要付出高昂的代价。为了进行比较，请回顾基于centrallimit定理或未来损失的正态性估计10天VaR的标准行业方法（例如McNeil等人。

（2010），第2.3.4节）。回想一下，在接下来的m个周期中，时间t的损失可以写为该周期内负回报的总和。如果回报率为iid，均值为零，方差为σ（甚至是正态分布），那么这个总和再次（近似）正态分布，均值为零，方差为mσ。这促使通过估计1天VaR并将其乘以√m、 让我们比较一下表2中的VaRαt与本行业标准一致。我们发现α=0.975的10天VaR为0.0064√10=0.0202（我们必须将其与时间一致性进行比较VaRαt(∑j=1Lt+j）=0.0830，大于4倍），对于α=0.99，10天VaR为0。0088√10=0.0278（我们必须将其与时间一致性进行比较VaRαt(∑j=1Lt+j）=0.1553，大于5倍）。造成这种巨大差异的一个原因是众所周知的事实，即GARCH的损失与√m、 但缩放强烈依赖于参数；参见Franqand Zakoian（2010），第4章。然而，单凭这一点并不能解释简单的行业标准和累计损失的时间一致性VaR之间的巨大差异。由于它们的构造，未来累计损失的组合VaR和AVaR产生的保守准备金率比相同α水平的标准VaR和AVaR要高得多。Asan暗示，考虑到α水平的降低，例如在90%的带宽范围内，可以对覆盖100年或1000年事件的α水平过高（如99%或99.9%）的标准保留要求进行测试-97.5%. 从统计学的角度来看，这种极高水平的降低也是非常合理的，因为较低水平的分位数会产生更可靠的估计器。定理3.5第3节的证明我们通过反向归纳进行。

首先，通过（3.2），在T-1.我们还有1天的时间VaRαT-1（LT）=F-1Z（α）σt与t=t的（3.7）一致-1.假设（3.7）适用于所有s=t，T-1.我们有VaRαt-1（LT）=VaRαt-1.VaRαt（LT）=VaRαt-1.F-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b=埃辛M∈L（英尺）-1)∶ P（F）-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b≤M英尺-1)≥α.我们用Pt表示-1关于Ft的条件概率-1.注意-1（F）-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b≤m） =Pt-1（F）-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b≤m） =Pσt+1（aF）-1Z（α）+b）T-T-1.≤mF-1Z（α）-在-T-2.k=0（aF-1Z（α）+b）k英尺-1..利用对σt+1的GARCH波动率（2.5）的定义，这可以通过PT继续-1（F）-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b≤m） =Pt-1.aσtZt≤（aF）-1Z（α）+b）T-T-1.mF-1Z（α）-在-T-2.k=0（aF-1Z（α）+b）k-A.-bσt自从《金融时报》-1-可测量且与Ft无关-1我们的结论是：VaRαt-1（LT）=F-1Z（α）a+（aF）-1Z（α）+b）σtaF-1Z（α）+bT-T-1+aT-T-2.k=0（aF-1Z（α）+b）k=F-1Z（α）在-T-1.k=0（aF-1Z（α）+b）k+σt（aF）-1Z（α）+b）T-t=F-1Z（α）PTt-1（aF）-1Z（α）+b）。这就完成了证明。第四节的证明我们需要下面的引理。引理B.1。对于t=0，T-2.假设英国《金融时报》∶R→R是一个可测量的，严格递增的映射。然后我们有{ω∈Ohm ∶ft（Zt+1）>VaRαt英尺（Zt+1）}={ω ∈Ohm ∶Zt+1>F-1Z（α）}。特别是，{ω∈Ohm ∶σt+2>VaRαt（σt+2）}={ω∈Ohm ∶Zt+1>F-1Z（α）}。证据由于ftit的假设是可逆的。根据VaRαtwe haveVaRαt的定义英尺（Zt+1）=埃辛M∈L（英尺）∶ P（英尺（Zt+1）≤M（英国《金融时报》）≥α=埃辛M∈L（英尺）∶ P（Zt+1）≤F-1吨（米）≥α=埃辛M∈L（英尺）∶ FZF-1吨（米）≥α=埃辛M∈L（英尺）∶ M≥英尺F-1Z（α）=英尺F-1Z（α）式中，第三条线来自Zt+1和Ft.Thusft（Zt+1）>VaRαt之间的独立性英尺（Zt+1）=英尺F-1Z（α）当且仅当Zt+1>F时保持-1Z（α）。

对于第二部分，注意（3.4），VaRαt（σt+2）=a+σt+1aF-1Z（α）+b.根据GARCH（1,1）模型（2.5）的定义，我们得出σt+2=a+σt+1aZt+1+b=ft（Zt+1）>VaRαt英尺（Zt+1）=a+σt+1aF-1Z（α）+b=VaRαt（σt+2）当且仅当Zt+1>F-1Z（α）。定理4.5的证明我们再次应用反向归纳法。从（4.1）和示例4.3中，我们得到阿瓦尔αT-1（LT）=σT1-ααF-1Z（u）du，与t=t的（4.4）一致-1.为了简单起见，我们写κ=1-α∫αF-1Z（u）du。现在假设（4.4）适用于所有s=t，T-1.那么还需要证明t的（4.4）-1.我们在（4.1）和（2.5）之前阿瓦尔αt-1（LT）=AVaRαt-1.AVaRαt（LT）=阿瓦尔αt-1.κ-PTtaκ+b.我们表示Gt∶=PTt（aκ+b），是σt+1的一个可测量函数，并从期望值中取常数，得到阿瓦尔αt-1（LT）=κEt-1.燃气轮机Gt>VaRαt-1（Gt）.现在请注意，通过定义3.1VaRαt-1（Gt）=essinf{m∈L（英尺）-1)∶P燃气轮机≤M英尺-1.>α}.我们用Pt表示-1关于Ft的条件概率-1.我们使用σt+1Pt的GARCH波动率定义（2.5）进一步计算-1.燃气轮机≤M=Pt-1.在-T-2.k=0aκ+bk+σt+1aκ+bT-T-1.≤M=Pt-1.σt+1≤M-A.∑T-T-2k=0（aκ+b）k（aκ+b）T-T-1.=PZt≤M-A.∑T-T-2k=0（aκ+b）k（aκ+b）T-T-1.-A.-bσtaσt,在最后一行中，我们使用了σt Ft-1-ZT和Ft的可测量性和独立性-1.因此我们可以得出结论：Varαt-1（Gt）=a+σt（aF）-1Z（α）+b）aκ+bT-T-1+aT-T-2.k=0aκ+bk、 从引理B.1我们知道{Gt>VaRαt（Gt）}={Zt>F-1Z（α）}。因此，它源于ZT和Ft的独立性-1塔特-1.燃气轮机Gt>VaRαt-1（Gt）=Et-1.燃气轮机Zt>F-1Z（α）=1.-αEt-1.Gt{Zt>F-1Z（α）}.

（B.1）此外，我们计算-1.Gt{Zt>F-1Z（α）}=(1 -α） 在-T-2.k=0aκ+bk+aκ+bT-T-1.∞F-1Z（α）a+σt（au+b）dFZ（u）=（1）-α） 在-T-2.k=0aκ+bk+aκ+bT-T-1.αa+σt（aF）-1Z（u）+b）du=（1）-α） 在-T-1.k=0aκ+bk+aκ+bT-T-1.aκ+（1）-α） bσt，与（B.1）屈服集结合-1.燃气轮机Gt>VaRαt-1（Gt）=在-T-1.k=0aκ+bk+aκ+bT-tσt=PTt-1.aκ+b.这最终相当于阿瓦尔αt-1（LT）=1-ααF-1Z（u）du Et-1.燃气轮机Gt>VaRαt-1（Gt）=1.-ααF-1Z（u）du PTt-1.aκ+b,这证明了这一说法。命题4.7的证明仔细的证明追踪揭示了它与定理4.5的证明的相似性。为了简单起见，我们设置κ=1-α∫αF-1Z（y）dy和κ=1-α∫αF-t=t时的1Z（y）dy-1.我们有AVaRαT-1（LT）=与AVaRαT一致的κσT-1（LT）。根据定义和（4.8）和（4.9），阿瓦尔αT-2（LT）=AVaRαT-2.阿瓦尔αT-1（LT）=κAVaRαT-2.σT,我们得到了αT-2.σT=ET-2.σTσT>VaRαT-2（σT）=ET-2.σTZT-1> F-1Z（α）.引理B.1。Jensen不等式yieldsET的一个应用-2.σTZT-1> F-1Z（α）≤ET-2.σTZT-1> F-1Z（α）1/2.我们取得了进一步的进展-2.σTZT-1> F-1Z（α）=ET-2.a+σT-1（aZT）-1+b）ZT-1> F-1Z（α）=1.-α∞F-1Z（α）a+σT-1.ay+bdFZ（y）=a+σT-1.b+a1-α∞F-1Z（α）ydFZ（y）=a+σT-1.b+aκ,这相当于阿瓦尔αT-2（LT）≤κa+σT-1.aκ+b=κPTT-2.aκ+b=阿瓦尔αT-2（LT）。这证明了t=t-2.那是艾瓦·阿尔·T-2（LT）是阿瓦尔αT-2（LT）。现在假设AVaRαs（LT）≥对于s=T，AVaRαs（LT）成立-1.t+1。接下来我们展示Alsoavarαt（LT）≥AVaRαt（LT）。为此，请注意AVaRαt（LT）=AVaRαtAVaRαt+1（LT）≤阿瓦尔αtAVaRαt+1（LT）.

（B.2）此外，我们通过归纳假设avarαtAVaRαt+1（LT）=阿瓦尔αtκPTt+1a1-ααF-1Z（u）du+b=κEtPTt+1aκ+bPTt+1aκ+b>VaRαtPTt+1aκ+b.通过与定理4.5和引理B.1的证明类似的计算，我们可以看到上述表达式简化了VarαtAVaRαt+1（LT）=κEtPTt+1aκ+bZt+1>F-1Z（α）≤1.-ααF-1Z（y）dyEtPTt+1aκ+bZt+1>F-1Z（α）1/2，其中最后一行来自Jensen不等式。注意，塔吉特PTt+1aκ+bZt+1>F-1Z（α）=1.-α∞F-1Z（α）在-T-3.k=0aκ+bk+a+σt+1ay+baκ+bT-T-2.dFZ（y）=aT-T-2.k=0aκ+bk+1-αaκ+bT-T-2σt+1αaF-1Z（y）+bdy=aT-T-2.k=0aκ+bk+σt+1aκ+bT-T-1=PTta+b,这意味着savarαtAVaRαt+1（LT）≤1.-ααF-1Z（y）dyPTtaκ+b=AVaRαt（LT）。最后，从（B.2）可以看出：AVaRαt（LT）≤AVaRαt（LT）。命题4.8在t=t时的证明-1，AVaRαT-1（LT）与阿瓦尔αT-1（LT）。t=t时-2.我们获得阿瓦尔αT-2（LT）=AVaRαT-2.阿瓦尔αT-1（LT）=1.-ααF-1Z（y）dy-AVaRαT-2.σT.为了简单起见，我们写κ=1-α∫αF-1Z（y）dy.通过从Z继承的分布函数的连续性，AVaRαT-2.σT=ET-2.σTσT>VaRαT-2（σT）,引理B.1重写了asAVaRαT-2.σT=ET-2.σTZT-1> F-1Z（α）.使用英国《金融时报》-2-σT的可测性-1和a>0，我们进一步计算，等等-2.σTZT-1> F-1Z（α）=ET-2.a+σT-1.aZT-1+bZT-1> F-1Z（α）≥σT-1ET-2.aZT-1+bZT-1> F-1Z（α）=σT-11-α∞F-1Z（α）ay+b dFZ（y）。（B.3）因此阿瓦尔αT-2（LT）≥κ1 -ααaF-1Z（y）+bdyσT-1=AVaRαT-2（LT）。这证明了t=t-2.那是艾瓦·阿尔·T-如（4.11）所示，2（LT）是阿瓦尔αT-2（LT）。现在假设AVaRαs（LT）≤对于s=T，AVaRαs（LT）成立-1.t+1。接下来我们展示Alsoavarαt（LT）≤AVaRαt（LT）。为此，请注意AVaRαt（LT）=AVaRαtAVaRαt+1（LT）≥阿瓦尔αtAVaRαt+1（LT）.

（B.4）此外，我们通过归纳假设avarαtAVaRαt+1（LT）=阿瓦尔αtκσT-11-α)αaF-1Z（y）+bdy=κ 1.-α∞F-1Z（α）ay+b dFZ（y）T-T-2Etσt+2σt+2>VaRαtσt+2=κ 1.-α∞F-1Z（α）ay+b dFZ（y）T-T-2Etσt+2Zt+1>F-1Z（α）,其中最后一个等式来自引理B.1。然后通过相同的计算得出（B.3），Etσt+2Zt+1>F-1Z（α）=σt+1αaF-1Z（y）+bdy，这与（b.4）一起产生，AVaRαt（LT）≥κ 1.-ααaF-1Z（y）+BdyT-T-1σt+1=AVaRαt（LT）。致谢我们感谢其中一位评论者和Marcin Pitera，他指出了本文之前版本中的一些错误。参考资料P。Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–228，1999年。A.A.巴尔克马和L.德哈恩。大年龄时的剩余寿命。《概率年鉴》，2:792-8041974。T.比莱基、I.夏兰科和M.皮特拉。离散时间内动态风险度量和动态绩效度量的时间一致性的统一方法。arXiv:1409.7028v2[math.PR]，2015年。比昂·纳达尔。时间一致的动态风险过程。《随机过程及其应用》，119（2）：633–6542009。P.切里迪托和M.库珀。时间一致性动态货币风险的构成衡量不确定的时间。《国际理论与应用金融杂志》，14（01）：137-1622011。P.切里迪托和M.斯塔杰。VaR和时间一致性备选方案的时间不一致性。《金融研究信件》，6（1）：40-462009。K.德特勒森和G.斯堪的诺。条件和动态凸风险度量。《金融与随机》，9（4）：539-5612005。P.Embrechts、C.Kl–uppelberg和T.Mikosch。为保险和金融模拟极端事件。柏林斯普林格，1997年。H·F¨ollmer和T·Knispel。熵风险度量：一致性与凸性、模型模糊性和大偏差。《随机与动力学》，11（02n03）：333–3511911。霍尔默和佩纳。

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