具有GARCH波动率的风险度量的时间一致性及其应用

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英文标题：
《Time-consistency of risk measures with GARCH volatilities and their
  estimation》
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作者：
Claudia Kl\\\"uppelberg, Jianing Zhang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we study time-consistent risk measures for returns that are given by a GARCH(1,1) model. We present a construction of risk measures based on their static counterparts that overcomes the lack of time-consistency. We then study in detail our construction for the risk measures Value-at-Risk (VaR) and Average Value-at-Risk (AVaR). While in the VaR case we can derive an analytical formula for its time-consistent counterpart, in the AVaR case we derive lower and upper bounds to its time-consistent version. Furthermore, we incorporate techniques from Extreme Value Theory (EVT) to allow for a more tail-geared statistical analysis of the corresponding risk measures. We conclude with an application of our results to a data set of stock prices.
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中文摘要：
本文研究了GARCH（1,1）模型给出的收益率的时间一致性风险度量。我们提出了一种基于静态度量的风险度量结构，克服了时间一致性的不足。然后，我们详细研究了风险度量值（VaR）和平均风险值（AVaR）的构造。而在VaR情况下，我们可以推导出其时间一致性对应物的分析公式，在AVaR情况下，我们推导出其时间一致性版本的上下限。此外，我们还结合了极值理论（EVT）的技术，以便对相应的风险度量进行更具尾部的统计分析。最后，我们将我们的结果应用于股票价格数据集。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Time-consistency_of_risk_measures_with_GARCH_volatilities_and_their_estimation.pdf (679.87 KB)

2022-5-8 03:29:51 上传

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关键词：GARCH 风险度量 ARCH 风险度 波动率

风险度量与Garchvolatility的时间一致性及其估计*张佳宁*2022年4月28日摘要本文研究了GARCH（1，1）模型给出的收益率的时间一致性风险度量。我们提出了一种基于静态度量的风险度量结构，克服了时间一致性的不足。然后，我们详细研究了风险度量值VaR和AVaR的构造。而在VaR情况下，我们可以推导出其时间一致性对应的分析公式，在AVaR情况下，我们推导出其时间一致性版本的上下限。此外，我们还结合了极值理论（EVT）的技术，以便对相应的风险度量进行更具尾部的统计分析。最后，我们将我们的结果应用于股票价格数据集。2010年AMS主题分类：60G70、91B30、91G80、91G702010 JEL分类：C02、C22、C58、G17、G32主要词汇和短语：动态风险度量、时间一致性、GARCH（1,1）、极值理论、风险价值、风险平均值、预期短缺、广义帕累托分布、总回报。1简介金融危机之后，风险管理构成了一个持续活跃的领域，吸引了数学研究和实际实施的定量要求。大多数金融机构需要遵守巴塞尔II/III协议，该协议规定了适用于内部风险控制的特定风险管理规则，并接受定期监管。在过去二十年中，风险管理的关键概念以风险度量的形式出现，被称为风险价值（VaR）。

简言之，VaR将金融机构的风险资本确定为与某些规定（监管或内部规则）时间范围和信心水平有关的盈亏分布的分位数。Artzner等人（1999）给出了风险度量领域的公理化方法，其中引入了一致性风险度量的概念，并认识到VaR并不总是满足一致性。Artzner等人（1999年）引入了一种风险度量，以弥补目前被称为平均风险值（AVaR）的一致性不足。F¨ollmer and Schied（2002）给出了凸风险度量的一个扩展，它将现有的风险概念整合到凸对偶理论的数学框架中，从而允许深入而强大的对偶刻画。为了解释盈亏头寸的动态随机演变，静态风险*德国加兴，博尔茨曼斯特拉3号，Zentrum Mathematik，M？unchen科技大学，邮编85748。zhang@tum.de , cklu@tum.demeasurement已扩展到动态风险度量类，该类度量不仅将风险度量视为（非线性）期望，还将其视为随机过程，参见Detlefsen和Scandolo（2005）和Riedel（2004）等，了解通过凸对偶理论对动态环境的扩展。在这个动态框架中，人们认识到，大多数现有的静态风险度量不会以直接的方式转移到流程中，而不会违反时间一致性的要求。时间一致性动态风险度量确保了风险度量的一致性行为，即如果一个投资组合在未来某个时间的风险高于另一个投资组合，那么这个投资组合在任何时候都比另一个投资组合的风险更高。

关于风险度量的时间一致性的文献多种多样，内容丰富，因为可以采用不同的数学观点来防止一致性。在时间一致性风险度量领域所做研究的不完整记录包括彭（2004年）、里德尔（2004年）、德特莱森和斯堪多洛（2005年）、韦伯（2006年）、福尔默和彭纳（2006年）、鲁尔达和舒马赫（2007年）、彭纳（2007年）、比昂·纳达尔（2009年）和比莱斯基等人（2015年）。时间一致性研究的一个主要结果表明，在法律不变的风险度量中，只有一个风险度量在转移到时间动态过程设置时支持时间一致性，即熵风险度量（参见F¨ollmer and Knispel（2011））。在上述理论工作的同时，还开发了统计模型和方法，以校准风险度量，并将其与现实世界的数据相结合。由于行业标准VaR及其一致对应的AVaR是法律不变的风险度量，实施（A）VaR的主要目标是对相关地区的利润和损失分布进行良好估计。在该领域，主要的估算方法包括历史模拟法、基于高斯分布假设的方法和基于极值理论（EVT）的方法。我们参考了McNeil等人（2005年），特别是第2章和第7章，以了解利润和损失分布估计方法的详细说明和参考。关于极值理论的更多背景可以在专著Embrechts等人（1997）中找到。McNeil和Frey（2000）提出了VaR和AVaR的一种实现方法，该方法基于对对数收益分布的估计，使用GARCH（1，1）模型和残差的EVT方法相结合。

该方法分两步进行：首先，GARCH（1，1）模型模拟金融时间序列固有的随机波动性，GARCH参数通过伪极大似然法估计。其次，他们对残差采用峰值超过阈值（POT）方法，只考虑超过临界值的残差。POT法通过最大似然法（如Embrechtset al.（1997）、第3.4节和第6.5节）对广义帕累托分布（GPD）进行拟合，也符合（a）VaR的典型高置信水平，以放大损失的极端分支。将POT方法应用于残差，而不是直接应用于对数收益，其优点是，由于残差的白噪声特性，极值的拟合过程只需应用一次。通过这两个步骤，麦克尼尔和弗雷（2000）成功地估算了（A）VaR，方法是建立一个分布，该分布充分考虑了尾部的极端情况，并在温和条件下考虑了VaR和AVaR的封闭式公式。本文的目标是将VaR和AVaR的动态时间一致性结合起来。我们研究了将静态风险度量扩展到满足时间一致性的动态风险度量。在这种转移中成功的一个关键属性是动态规划原理，参见Cheridito和Stadje（2009），Cheridito和Kupper（2011）。McNeil和Frey（2000）使用GARCH（1，1）和EVT的两步估计方案允许我们推导出动态时间一致性VaR的封闭形式表达式，该表达式易于使用估计的GPD和GARCH参数实现。

然而，对于AVaR，这种闭式表达式无法得到，我们推导出了AVaR的闭式上下近似。与静态变量相比，动态时间一致性变量更为保守，此外，动态时间一致性变量还带来了一个好处，即在McNeil和Frey（2000）中，必须通过模拟方法对累计损失的风险度量进行估计，现在可以通过在未来不同时间点对单个头寸的VaR进行（半）封闭估计。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了关于动态风险度量的初步知识，以及动态规划原理的特征。此外，我们还引入了GARCH（1，1）损失模型，为全文建立了模型框架。在第3节中，我们应用上一节中的新方法，推导出时间一致性VaR的封闭形式表达式，并研究其随时间演化的性质，证明累计损失的线性化。第四节专门研究AVaR。由于时间一致性AVaR的闭式表达式是不可能的，作为替代方案，我们推导出AVaR语用边界的闭式表达式，并像前一节一样研究其性质。第3节和第4节结果的证明推迟到附录中。在最后的第5节中，我们给出了与我们的目的相关的极值理论，并将我们的结果应用到股票价格的数据集。2.给定概率空间的条件风险度量(Ohm, F、 P）我们认为过滤（Ft）Tt=0，其中T∈N.我们用t表示byL（Ft）∈{0，…，T}所有Ft可测随机变量X的集合∶Ohm →R.在本文中，空间L（FT）代表我们需要进行风险评估的所有财务头寸的空间。通常，我们会对损失感兴趣，即。

财务数据日志回报的负面影响。由于条件风险测度是随机变量，所有的性质，等式和不等式几乎肯定都是关于P的，我们一直假设这一点，没有特别提到它。定义2.1。对于t∈{0，…，T}一类带φT的映射（φT）Tt=0∶L（英尺）→L（Ft）是一种动态货币风险度量，如果它满足以下属性：（i）归一化：φt（0）=0表示t=0，T（ii）单调性：φt（X）≥φt（Y）表示所有X，Y∈L（FT）使X≥Y，对于t=0，T（iii）平移不变性：φt（X+m）=φt（X）+m∈L（英尺）和m∈L（英尺），福特=0，T如果L（FT）代表所有收益和损失变量的空间，则上述定义引出了动态货币效用函数的概念，参见Cheridito和Kupper（2011）中的定义2.1。如果除了定义2.1（i）-（iii）之外，动态货币风险度量φ满足正同质性：φt（λX）=λφt（X）对于所有X∈L（FT）和λ>0，对于t=0，T；o次加性：φt（X+Y）≤φt（X）+φt（Y）表示所有X，Y∈L（英尺），对于t=0，那么我们说φ是一个连贯的（动态货币）风险度量。定义2.2。动态货币风险度量∶=如果φt+1（X），则（φt）Tt=0是时间一致的≥φt+1（Y）意味着φt（X）≥φt（Y），对于所有X，Y∈L（英尺），对于t=0，T-1.在Cheridito和Kupper（2011）中可以找到以下关于时间一致性的有用描述。提议2.3。动态货币风险度量（φt）Tt=0是时间一致的，当且仅当其满足贝尔曼原理φt（X）=φt时φt+1（X）（2.1）对于所有X∈L（FT），t=0，T-1.Cheridito和Stadje（2009）以及Cheridito和Kupper（2011）指出，还有另一种构建时间一致性动态风险度量的方法：let（ρt）t-1t=0可以是任意的动态货币风险度量ρt∶L（英尺）→L（英尺），t=0。

T-1，然后反向迭代φT（X）∶=十、 φt（X）∶=ρtφt+1（X）, t=0，T-1、（2.2）定义了一个过程（φt）Tt=0，定义为时间一致的动态风险度量。以下性质是（φt）Tt=0构造的直接结果。推论2.4。为了X∈t=0时的L（FT），···, T-1φt（X）=ρt○ρt+1○···○ρT-1.（十） 。（2.3）对于一致风险度量φ，其次可加性性质意味着对于任何固定的∈{0，…，T}和m∈N使得t+m≤T和任意Xt+k∈L（Ft+k）表示k=1，我们有φtMk=1Xt+k≤Mk=1φt（Xt+k）。（2.4）我们通过反向迭代构建时间一致的动态风险度量。2.1损失头寸的GARCH（1,1）模型表明我们对损失的风险评估感兴趣。本文的重点是一类特殊的损失过程（Lt）Tt=0：其动力学由GARCH（1,1）过程控制，通常代表（负）对数收益。它认为（Lt）Tt=1满意度Lt=σtZt，σt=a+aLt-1+bσt-1，（2.5）其中a、a、b>0是模型参数，σ和Lare F-可测量初始随机变量，（Zt）Tt=1是严格的白噪声过程（独立地以零均值和单位方差相同分布）。还要注意的是，通过（2.5）σ，可以测量Ft-1每t=1，T我们用FZ表示∶R→[0,1]和F-1Z∶[0, 1]→R分别是每个Zt的分布函数和左连续分位数函数；i、 e.，FZ（z）=P（Zt≤z） ，F-1Z（α）=inf{x∈R∶FZ（x）≥α}, α ∈（0,1），t=0，T.（2.6）分位数函数F的性质-Z1我们参考Resnick（1987）第0.2节，或Embrechtset al.（1997）提案A1。6.我们假设FZis严格增加，因此F-1ZI是连续的，ZT的右端点是有限的；i、 e.，xF=inf{x∈R∶FZ（x）=1}=∞.如有必要，我们确定F-带xF的1Z（1）=∞. 因为Z有一个明确的右端点，α接近于1，F-1Z（α）通常为正。

我们还需要Zand的分位数函数，注意，对于z对称，F-1Z（α）=F-1Z（（α+1））。进一步注意α≤（α+1）表示α∈（0，1），因此-1Z（α）>1）F-1Z（α）≤F-1Z（α）≤F-1Z（（α+1））=F-1Z（α）。（2.7）我们总结了我们将在本文中假设的假设。假设A：我们假设FZis严格地随着R和F的支持度增加-1Z（α）>0。为了简单起见，我们还假设Z是对称的。由于我们经常使用分布尾，我们注意到-1Z也可以作为asF的代表-1Z（α）=inf{x∈R∶P（Zt>x）≤1.-α}, α ∈（0,1），t=0，T.（2.8）3条件时间一致性风险价值在本节中，我们在动态时间一致性风险度量的框架下研究风险价值（VaR）。人们通常认为∈L（FT）表示可能的大损失头寸，对于该头寸，L超过损失阈值m>0的概率应以小概率1为界-α、 即α通常接近1。满足该界限的最小损失阈值m为VaRα。文献中可以找到（有条件的）VaR定义的几种版本。在类比（2.8）中，我们始终遵循以下内容，这最符合本文中的治疗目的。定义3.1。考虑到损失，我∈L（FT）α级风险值∈（0，1）在时间t∈L的{0，…，T}由varαT（L）定义∶=埃辛M∈L（英尺）∶ P（L）≤M（英国《金融时报》）≥α, （3.1）3.1单日损失的时间一致性VaR我们从以下示例开始本节，这是McNeil and Frey（2000）感兴趣的核心对象。例3.2。对于t=0，T-1让Lt+1由（2.5）给出。然后VaRαt（Lt+1）是1天的aheadVaR，可以直接计算为VaRαt（Lt+1）=essinfM∈L（英尺）∶ P（σt+1Zt+1）≤M（英国《金融时报》）≥α.因为σt+1是Ft可测量的，所以我们也有m∶=Mσt+1是可测量的。

利用Zt+1和Ft之间的独立性，以及（2.8），我们可以继续计算αt（Lt+1）=σt+1essinf~m∈L+（英尺）∶ P（Zt+1）≤~m（英国《金融时报》）≥α=σt+1inf~m∈R+∶ P（Zt+1）≤~m）≥α=σt+1F-1Z（α）。（3.2）此外∈Ft，VaRαt（Lt+Lt+1）=Lt+VaRαt（Lt+1）=Lt+σt+1F-1Z（α）。(3.3)有一些例子表明，定义3.1的风险价值与时间不一致（例如Cheridito和Stadje（2009年）或F¨ollmer和Schied（2011年，例子11.13））。由于GARCH（1，1）模型（2.5）是通过迭代定义的，我们可以希望对于这个特定的模型，VaRα是时间一致的。然而，事实并非如此，我们提供了一个反例，利用命题2.3。例3.3。为了解释为什么在GARCH（1，1）损失框架下，VaR不能是时间一致的，回想一下，根据命题2.3，VaRα是时间一致的，当且仅当它满足动态规划原理VaRαt=VaRαt○VaRαt+1，t=0，T-1.对于t∈{0，…，T-2} 通过（3.2），我们得到VaRαt+1（Lt+2）=σt+2F-1Z（α），因此，VaRαtVaRαt+1（Lt+2）=VaRαt（σt+2F）-1Z（α））。我们计算VaRαt（Lt+2）和VaRαt（σt+2F）-GARCH（1，1）模型的1Z（α）：VaRαt（σt+2F-1Z（α））=m*=essinf{m∈L（英尺）∶Pσt+2F-1Z（α）≤M英尺≥α} =essinf{m∈L（英尺）∶Pa+σt+1（aZt+1+b）F-1Z（α）≤M英尺≥α}.自从功能（a+σt+1（aZt+1+b））F-1Z（α）在Zt+1和Ft可测范围内严格增加，我们得到*=（a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）F-1Z（α）。（3.4）接下来我们计算varαt（Lt+2）=m**=essinf{m∈L（英尺）∶Pσt+2Zt+2≤M英尺≥α} =essinf{m∈L（英尺）∶Pa+σt+1（aZt+1+b）Zt+2≤M英尺≥α}.现在假设m**=M*无论如何∈(0, 1).