SMC-ABC方法估计随机模拟模型

，lp），表示为NLO，kt=（NLO，k，-ld+1t，NLO，k，lpt），并假设这些随机向量满足条件依赖性质hno，k，st∧LO，k，sti⊥⊥hNLO，k，qt∧LO，k，qti，s6=q，s，q∈ {-ld+1，0, 1, . . . , lp}。(2)4. 假设随机向量NLO，kt∈ Nlt+按照多元广义DCOX过程分布，条件分布为NLO，kt~ GCPλLO，kt由公共关系部提供NLO，k，-ld+1t=n，NLO，k，lpt=nlt∧LO，kt=λLO，kt=Qlps=-ld+1λLO，k，stNSN！扩展-λLO，k，sti。(3)5. 根据∧LO，ks，假设潜在强度的随机向量无条件地具有独立性⊥⊥ ∧LO，kt，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(4)6. 假设强度随机向量∧LO，kt∈ Rlt+是通过随机向量ΓLO，kt的元素变换获得的∈ Rlt，其中对于每个元素，我们有∧LO，k，st=uLO，k，sF的映射ΓLO，k，st, （5） 我们这里有∈ {-ld+1，lp}，基线强度参数nuLO，k，so∈ R+与收敛单调映射F:r7→ [0, 1].7. 假设随机向量ΓLO，kt∈ R根据多元斜t分布ΓLO，kt分布~ 带位置参数向量mk的MSt（mk，βk，νk，∑k）∈ Rlt，参数向量βk∈ Rlt，自由度参数νk∈ N+和lt×ltcoveriance矩阵∑k。因此，ΓLO，kt有密度函数fΓLO，ktγt；mk，βk，νk，∑k=cKνk+ltq（νk+q（γt，mk））[βk]t[∑k]-1βkexp（γt）-mk）T[∑k]-1βkq（νk+q（γt，mk））[βk]t[∑k]-1βk-νk+lt1+Q（γt，mk）νkνk+lt，（6），其中Kv（z）是由Kv（z）=z给出的第二类修正贝塞尔函数∞伊夫-1e-z（y+y）-1） dy，（7）和c是一个归一化常数。我们还将函数Q（·，·）定义如下：Q（γt，mk）=（γt- mk）Th∑ki-1（γt- mk）。（8） 该模型允许skew-t边缘和skew-t copula，见Smith等人。

[2012]获取详细信息。重要的是，该随机模型允许以下比例混合表示，ΓLO，ktd=mk+βkW+√W Z，（9）带反伽马随机变量W~ IGaνk，νk和独立的高斯随机向量Z~ N0，∑k.8.假设对于随机向量NLO，kt中的每个元素NLO，k，stof顺序计数，有一个对应的随机向量OLO，k，st∈ 订单大小为NNLO、k、st+。我们假设元素OLO，k，si，t，i∈n1，NLO，k，STOI以OLO，k，si，t的形式分布~ H（·）。此外，我们假设订单大小是无条件独立的OLO、k、si、t⊥⊥ OLO、k、si、tfor i 6=i、s 6=sand t 6=t。备注2.1在拟定的做市商流动性活动模型下，流动性供应商在市场上下的订单数量具有适当的动态强度结构，可以在日内变化，以反映做市商在整个交易日提供的流动性的变化性质。此外，在每一级别的bid和ask下的限额订单数量也允许该模型捕获在高频LOB数据的实证分析中经常看到的每一级别的bid和ask下订单时观察到的依赖结构。所使用的依赖结构基于一个skew-t copula，该copula允许在书的每一层上买卖的随机强度的不可交换性，以及尾依赖特征的不对称性。这意味着，当市场庄家在每日内发生流动性短缺后，如在执行大型市场订单后，为补充流动性而进行的大规模运动时，模型可以根据情况仅根据出价或要求进行补充。

它不会像在标准t-copula结构下那样自动补充书的两面，而不是在这个模型中使用的斜t-copula结构。我们现在定义了流动性提供者代理的第二个组成部分，即取消流程。取消过程与上述limitorder提交过程具有相同的随机过程模型规范，包括投标和询价中每个LOB级别的随机内容之间的斜t依赖结构。因此，为了避免重复，我们仅在以下规范中规定了取消流程与下单模式定义的独特差异。定义2（流动性提供方代理行的限额订单取消流程）考虑流动性提供方代理行的限额订单取消流程，以具有与限额订单提交相同的特定随机模型结构。例外情况是，假设在每个级别的每个时间间隔内，取消的订单数量正好被该级别的订单总数截断。1.至于提交，我们假设取消是一个多元路径空间随机矩阵xnc，k1:T∈ Nlt×T+由NC给出的取消订单数的随机向量构成，k1:T=NC，k，NC，k，北卡罗来纳州. 此外，假设这些随机向量在每个LTL水平上的取消订单数量，强度的潜在随机过程由随机矩阵∧C，k1:T给出∈ Rlt×T+，在路径空间上由∧C，k1:T给出=∧C，k，∧C，k，∧C，kT.2.

假设对于随机向量Vkt，对于在放置限制指令后位于LOB中的体积，我们有Vkt=Vkt-1+NLO，kt，随机向量NC，kt∈ Nlt+是根据一个截断的多元广义Cox过程分布的，条件分布为NC，kt | Vkt=v~ GCPλC，ktI（NC，kt<v）（带v=（v-ld+1，vlp）由PR提供NC，k，-ld+1t=n-ld+1，NC，k，lpt=nlp∧C，kt=λC，kt，~Vkt=v=lpYs=-ld+1（λC，k，st）NSN！Pvsj=0（λC，k，st）jj！。(10)3. 假设对于取消计数NC、k、st，具有最高优先级的订单从级别s（也是其各自队列中最早的订单）取消。还假设取消总是完全删除订单，即没有部分取消。备注2.2取消是做市商调节和调整其流动性活动的能力的一个关键部分，以避免交易中的重大损失，否则交易将在Adverse选择设置下执行。根据拟定的做市商流动性移除活动（取消）模型，市场中流动性提供者取消的限额订单数量具有适当的动态强度结构，可以在日内变化，以反映整个交易日流动性需求的变化性质。此外，在每一级别的买卖中取消的限额订单的数量也允许模型捕获在每一级别的买卖中取消订单时观察到的依赖结构。所使用的依赖结构基于一个skew-t copula，该copula允许书中每一级别的出价和出价的随机强度的不可交换性，以及尾部依赖特征的不对称性。这意味着，当LOB中出现较大的价格波动时，做市商需要通过取消现有的剩余订单和创建新订单来调整其LOB数量和利润。

这种情况通常会在整个交易日发生很多次，使用适当的依赖结构来实现这一点至关重要。此外，取消订单的数量需要保留容量保留原则，即任何给定时间内可能取消的限制订单总数的上限基于给定时间内书中的瞬时静止量。我们通过考虑流动性需求方代理的规格来完成代表性代理的规格。除了市场庄家在其经营的交易所的激励下每天在限价订单簿中下订单外，还有其他市场参与者出于其他原因进行交易。这些其他市场参与者包括对冲基金、养老基金和其他类型的大型投资者，通常我们将此类交易员群体称为流动性需求者。他们通过购买限额订单簿中的剩余订单来吸收全天的流动性。这些购买通常通过市场订单或激进的限制订单进行。在本章中，我们假设所有此类活动都可以由惊人的流动性需求者代理进行充分建模，并做出动态演变的决定，以下达市场订单，如下所述。定义3（流动性需求方代理的市场订单提交流程）考虑流动性提供者的代表性代理，由市场订单组成，其具有以下随机结构：1。假设一个路径空间随机向量NMO，k1:T∈ N1×T+表示根据每个区间NMO中市场订单数量的随机变量构造的市场订单数量，k1:T=NMO，k，NMO，k，NMO，kT.

此外，假设对于这些随机变量，强度的潜在随机过程由随机变量∧MO，k1:T给出∈ Rlt×T+，并通过∧MO，k1:T给出路径空间=∧MO，k，∧MO，k，∧MO，kT.2.假设随机变量shnmo，ks |∧MO，ksi的条件独立性⊥⊥hNMO，kt∧MO，kti，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(11)3. 假设在下达限价单和取消限价后，对于位于Lobt另一侧的交易量的随机变量Rkt，我们有Rkt=∑lps=1hVk，st-T- NC，k，sti，其中k=a，如果k=b，反之亦然，随机变量NMO，kt∈ N+按照截断的广义Cox过程分布，条件分布NMO，kt | | Rkt=r~ GCPλMO，kt1（NMO，kt<r）由PR给出NMO，kt=nλMO，kt=λMO，kt，~Rkt=r=（λMO，kt）nn！Prj=0（λMO，kt）jj！。(12)4. 假设根据∧MO，ks，潜在强度的随机向量无条件地具有独立性⊥⊥ ∧MO，kt，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(13)5. 假设每个强度随机变量∧MO，kt∈ R+有一个相应的转换强度变量ΓMO，kt∈ R和每个元素的关系由∧MO，kt=uMO，kF表示ΓMO，kt（14） 对于某些基线强度参数uMO，k∈ R+与严格单调映射F:r7→[0, 1].6. 假设随机变量ΓMO，kt∈ R、 表征广义Cox过程变换前的强度，分布在区间[t]中- 1，t）根据aunivariate skew-t分布ΓMO，kt~ St（mMO，kt，βMO，k，νMO，k，σMO，k）。假设对于市场订单计数的每个元素NMO，ktof，都有一个对应的随机向量OMO，k，st∈ NNMO，kt+订单大小。我们假设元素OMO，ki，t，i∈n1，NMO，ktois根据OMO，ki，t分布~ H（·）。

还假设市场订单量是无条件独立的OMO，ki，t⊥⊥ OMO，ki，tfor i 6=ior t 6=t。我们用随机向量表示给定日期时间t的真实数据集的LOB状态，这对应于出价和要价的每个级别的价格和数量。利用上述基于仓促代理的模型规范，并给定一个参数向量θ（通常代表流动性提供和流动性需求代理类型的所有参数），还可以生成日内LOB活动的模拟，并得出综合状态L*t（θ）。时间t的模拟LOB状态由时间t的状态获得- 1和一组随机分量，通常用Xt表示，它们是从基于代理的模型的以下分量的单一随机实现中获得的：o限制订单提交强度∧LO，bt，∧LO，at，订单号NLO，bt，NLO，at和订单大小OLO，a，si，t，OLO，b，sj，t，其中s=-ld+1。lp，i=1。NLO，a，st，j=1。NLO，b，st；o限制订单取消强度∧C，bt，∧C，at和取消次数NC，bt，NC，at；o市场订单强度∧MO，bt，∧MO，at，市场订单数量NMO，bt，NMO，at，VMO，bt，VMO，ATA和市场订单大小OMO，ai，t，OMO，bj，t，i=1。NMO，at，j=1。NMO，bt这些随机特征与LOB，L的先前状态相结合*T-1（θ），产生新的状态L*对于给定的一组参数θ，给定的byL*t（θ）=G（L）*T-1（θ），Xt）（15）G（·）是一种转换，它将LOB的先前状态和当前步骤中生成的活动映射到一个新步骤，与匹配引擎在每次事件后更新LOB的方式大致相同。

然而，由于我们以离散的时间间隔对活动进行建模，LOB仅在每个时间间隔结束时更新，传入事件（限价订单、市场订单和取消）按照第2.1节规定的顺序进行处理。然后，在实现这些参数θ的条件下，LOB中的交易活动可以模拟为一个交易日，Panayi和Peters[2015]中给出的算法描述了完整的过程。2.2随机代理LOB模型表示的贝叶斯模型公式在本节中，我们考虑了前一节中开发的LOB随机模型类别，并详细介绍了ABC框架下的贝叶斯模型公式。在计算困难的似然函数中建立贝叶斯模型的方法越来越受到关注。这些方法的出现可能是因为逐点评估的可能性确实很难解决，或者在我们的情况下，可能是由于模型规格和逐点评估的成本非常复杂，因此必须求助于替代方法来进行估计和对比。被称为无似然取样器或近似贝叶斯计算（ABC）方法的模拟算法（如顺序蒙特卡罗取样器）已适用于该设置，例如Peters等人[2012]。我们首先回顾一些基本知识。通常，贝叶斯推理通过后验分布进行，一般用π（θ| y）表示∝ f（y |θ）π（θ），参数θ的先验信息π（θ）的更新∈ 在观测数据y后，通过似然函数f（y |θ）∈ Y

重要抽样、马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）和序贯蒙特卡罗（SMC）等数值算法通常用于从后验π（θ| y）中提取样本。备注2.3（数据向量注释）在本章上下文中，数据y是一天内给定资产的整个订单结构，总结如下：o限制订单提交订单编号NLO、bt、NLO、at和订单大小OLO、a、si、t、OLO、b、sj、t，其中S=-ld+1。lp，i=1。NLO，a，st，j=1。NLO，b，sto取消限制订单数量NC，bt，NC，ato市场订单数量NMO，bt，NMO，at，VMO，bt，VMO，ATA和市场订单规模MO，ai，t，OMO，bj，t，i=1。NMO，at，j=1。NMO，bt。在时间t时，得到的观测向量yt是所有这些变量的串联。这些随机特征是在交易日的市场小时内以采样率t获得的，通常在8.5小时的交易日内每5-30秒获得一次，每天产生1000-6000个向量值观测值。显然，即使评估这么多记录的可能性，即使它可以被写下来，在许多基于队列的LOB模型中，如本章所述，这将不是一项具有挑战性的任务。一般来说，我们将在下面表示给定日期资产的所有LOB观测值的集合，并通过θ表示用于对LOB随机模型进行参数化的所有参数集。在似然函数难以计算的情况下，即f（y |θ）可能无法逐点进行数值计算时，后验模拟越来越受到关注。因此，基于重复可能性评估的采样算法需要对此任务进行修改。这些方法统称为无似然取样器（也称为近似贝叶斯计算），是跨多个学科发展起来的。

他们在模型下使用辅助数据集的生成作为规避（棘手的）可能性评估的手段。2.2.1计算上难以解决的可能性的后验模型本质上，无可能性方法首先将观测数据y减少为汇总统计的低维向量ty=T（y）∈ T，其中dim（θ）≤ 暗（ty）<<暗（y）。因此，用一个新的后π（θ| ty）替换真后π（θ| y）。如果ty对θ和π（θ| ty）有效，则它们是等价的≈ π（θ| y）是通过ty损失信息的近似值。新的目标后验概率π（θ| ty）仍然被认为是难以计算的，然后被嵌入到一个可以进行采样的增强模型中。特别是模型参数θ和辅助数据t的关节后部∈ 给定观测数据T为π（θ，T | ty）∝ Kh（泰）- t） f（t |θ）π（θ），（16）其中t~ f（t |θ）可以解释为根据模型x模拟的数据集计算的汇总统计数据t=t（x）的向量~ f（x |θ）。假设这种模拟是可能的，那么模型下的数据生成~ f（t |θ）构成了似然自由集的计算基础。然后，参数θ的目标边缘后验πM（θ| ty）被获得为πM（θ| ty）=cMZTKh（ty）- t） f（t |θ）π（θ）dt（17），其中（cM）-1=RERTKh（ty）- t） f（t|θ）π（θ）dtdθ归一化（17），使其成为θ中的密度（例如Reeves and Pettitt[2005]；Wilkinson[2013]；Blum[2010]；Sisson et al[2007]；Fearnheadand Prangle[2012]）。函数Kh（ty）- t） 是一个标准的核函数，带有scale参数h≥ 0，对t区高密度的难治性后部进行加权≈ t辅助数据集和观测数据集相似。因此，πM（θ| ty）≈ π（θ| ty）通过标准的平滑参数（例如Blum[2010]）形成了对不可触发后通孔（17）的近似。