霍克斯过程的人口观

这也将在下一节中用于研究霍克斯过程与普通移民的关系。5.关于更一般的霍克斯过程在本节中，我们将重点介绍一类被称为“普通移民霍克斯过程”（见Brémaud and Massoulié（2002））的计数过程，如下所述。定义2。一般移民的霍克斯过程是一个计数过程，其强度由λt=u（t）+XTn<tΦt（t）给出- Tn，Xn）+XSk<tψt（t- Sk，Yk），（26）5.1两种种群动态的描述，其中tn是N的跳跃次数，Sk是具有确定强度ρ（t）的计数过程的跳跃，Xn（resp.Yk）是分布为G（resp.H）的实正iid。假设（Sk）、（Yk）和（Xn）相互独立。在这个模型中，Tn是Nt跳跃的次数：如果系统在Tn发生事件，强度增加Φt（t- Tn，Xn），其中Xn是一些标记。这部分对自激特性进行了建模。同时，外部事件有时发生，并以一定量的ψt（t）激发感兴趣的系统- Sk，Yk）：这是外部激励组件。通过设置Φt（a，x）=φ（a）和ψt（a，x）=0，可以恢复前面章节中研究过的标准霍克斯过程。Brémaud和Massoulié（2002年）介绍并研究了一般移民的霍克斯过程。由于其灵活性和自然解释，此类模型最近在金融应用中受到了关注，例如Dassios和Zhao（2011）、Wheatley等人（2014）和Rambaldi等人（2014）。

特别是，Dassios和Zhao（2011）在Φt（a，x）=ψt（a，x）=xe的情况下研究了这种过程的分布特性-δa，其中强度过程是马尔可夫过程。本节的目的是研究具有一般移民的非平稳霍克斯过程的动力学和分布特征，以获得更大类别的生育功能，可能与时间有关，这在这个方向上扩展了Dasios和Zhao（2011）之前的工作。为了做到这一点，我们代表了一个具有年龄和特征的两人口迁移出生动力学。5.1两个种群动态的描述目标是构建多个个体（或粒子）的种群，每个个体的年龄a随时间演化，特征x∈ R+。我们构建了两个群体：第一个代表外部冲击，而第二个代表霍克斯过程的事件。每个群体（i），i=1或2，在时间t时表示为一个衡量指标，用于衡量每个个体的年龄和特征，表示为Z（i）t（da，dx）。这两个种群是基于定义2 asZ（1）t（da，dx）=XSk引入的≤tδ（t-Sk，Yk）（da，dx）和Z（2）t（da，dx）=XTn≤tδ（t-田纳西州（田纳西州，田纳西州）。（27）由于涉及年龄和个体特征，我们更喜欢称之为Z（i）t人口结构，而不是更具体的年龄金字塔。至于标准的霍克斯人口代表，我们可以计算整个人口结构的函数，甚至可以依赖于时间。考虑一个函数ft（a，x）5.1描述两个种群的动态随时间变化，以及个体的年龄和特征。这可以通过HZ（i）t，fti=ZR+×R+ft（a，x）Z（i）t（da，dx），（28）对i=1或i=2的总体进行计算。例如，霍克斯过程是N（2）t=hZ（2）t，1i。

此外，方程（26）中给出的霍克斯过程N（2）t的强度λtof可以改写为λt=u（t）+hZ（2）t-, Φti+hZ（1）t-, ψti。这表明潜在的人口动态如下所示。（i） 让我们首先描述外部冲击的总体（1）。它是由到达人口（1）的移民以ρ（t）的比率得出的；到达时，他们的年龄为0，并用分布H绘制了一些特征x。在t时属于人口（1）的任何个体（a，x）以ψt（a，x）的速率生育。新生儿属于人群（2）；它的年龄为0，一些特征用分布G绘制。（ii）现在让我们完成人口（2）的描述。除了人口（1）的出生，人口（2）还根据另外两种事件进化：移民和内部出生。移民以0岁的速率u（t）到达人口（2），并以分布G绘制特征。属于人口（2）的任何个体（a，x）在t时以Φt（a，x）的速率生育。新生鸟也属于种群（2）；它的年龄为0，一些特征用分布G绘制。这种动态如图1所示。至于我们对标准霍克斯过程的分析，关键的一步是研究人口结构随时间的动态变化。也就是说，当i=1或2时，过程hZ（i）t，fti的动力学是什么？下面的引理说明了这一点。引理6。对于每个函数f：（t，x，a）7→ ft（a，x）在t和a中是不同的，过程的动力学hZ（i）t，对于i=1或2，fti由dhz（i）t给出，fti=ZR+ft（0，x）N（i）（dt，dx）+hZ（i）t，（a+t） ftidt，其中点度量N（1）和N（2）由N（1）（dt，dx）=Xk给出≥1δ（Sk，Yk）（dt，dx）和N（2）（dt，dx）=Xn≥1δ（Tn，Xn）（dt，dx）。

（29）引理6的证明该证明是引理1的直接改编，使用（27）和（28）以及ft（t）的事实- s） =fs（0）+Zts（a+t） 傅（u）- s） 杜。与引理1类似，这个结果显示了左手边的纯跳跃部分，而漂移部分说明了老化项和时间依赖性。漂移既取决于hZ（i）t，afti和hZ（i）t，tfti是我们在下文中得出的结果的起点。5.2主要结果图1：移民出生过程的动态：移民抵达人口（1）（外部冲击）。然后每个个体1产生个体2（由外部冲击引起的事件）。同时，移民抵达人口2（因基线强度而发生的事件）。最后，每个个体2复制（自激）。一般移民的霍克斯过程可以恢复为个体数2.5.2。主要结果如下，我们介绍了允许恢复有限维马尔可夫动力学的假设。假设2。（i） 出生率Φ和ψ是非负的，满足Φt（a，x）=v（t）φ（a，x）和ψt（a，x）=w（t）ψ（a，x），其中φ（n）（a，x）=c-1+n-1Xk=0ckφ（k）（a，x）和v（p）（t）=d-1（t）+p-1Xl=0dl（t）v（l）（t），带n，p≥ 初始条件φ（k）（0，x）=φ（k）（x）和ψ（m）（a，x）=r-1+m-1Xk=0rkψ（k）（a，x）和w（q）（t）=k-1（t）+q-1Xl=0kl（t）w（l）（t），带m，q≥ 初始条件ψ（k）（0，x）=ψ（k）（x）。注意，我们使用了旋转f（k）（a，x）=akf（a，x）。（ii）地图（dl）-1.≤L≤P-1和（吉隆坡）-1.≤L≤Q-1你是连续的。备注2。假设2定义了一类广泛的自激励和外部激励生育函数，其形式为Φt（a，x）=v（t）φ（a，x）。让我们首先关注与时间无关的部分，并引入F（a，x），使得F=（1，φ，…，φ（n）-1） ）然后。2主要结果f=CF，其中C在（7）中定义。

特别地，如果多项式P（y）=yn-Pn-1k=0ckykis分裂，有明显的根y。。。，YP和相应的乘法YN。。。，np，那么φ可以写成一个常数asPpi=1Pi（x，a）Eyia，其中Pi是a中的多项式，次数最多为ni- 1的系数可能取决于x。这包括Dassios和Zhao（2011）的框架，其中Φt（a，x）=ψt（a，x）=xe-δa.由于我们还考虑了时间依赖性，满足2的出生率Φ和ψ似乎也有助于定义非平稳霍克斯过程，尤其是包括季节性。例如，我们可以简单地想象一个形式为cos（αt）φ（a，x）的核，其中v（t）=cos（αt）满足v=4α（1）- v） 。这一部分的目的是展示一些指数鞅，这将导致我们计算整个动力学的拉普拉斯变换。这特别提供了霍克斯过程与一般移民及其强度的联合拉普拉斯变换。这是本文的主要结果。我们首先陈述以下引理。引理7。让我们来定义-1.≤ K≤ N- 1和-1.≤ L≤ P- 1，Xk，lt:=hZ（2）t，aktlΦti和for-1.≤ K≤ M-1和-1.≤ L≤ Q-1，Yk，l:=hZ（1）t，aktlψti。让我们也来定义两个矩阵M（2）t=X（k，l）t-1.≤K≤N-1.-1.≤L≤P-1和M（1）t=Y（k，l）t-1.≤K≤M-1.-1.≤L≤Q-1.（i）让我们回忆一下，D表示给定矩阵D的转置。过程M（1）和M（2）遵循动态dm（i）t=ZR+W（i）（t，x）N（i）（dt，dx）+C（i）M（i）t+M（i）t\'D（i）t, （30）式中oW（1）k，l（t，x）=W（l）（t）ψ（k）（x）-1.≤ K≤ M- 1和-1.≤ L≤ Q- 1，oW（2）k，l（t，x）=v（l）（t）φ（k）（x）对于-1.≤ K≤ N- 1和-1.≤ L≤ P- 1，oC（1）=C（r），C（2）=C（C），D（1）t=C（k（t））和D（2）t=C（D（t）），其中C（.）由方程式（7）确定。（ii）由于动力（30），M（1）t，M（2）tT≥这是一个马尔可夫过程。引理7的证明我们关注Xk，l的动力学，Yk，l的问题也是一样的。

引理6中的0≤ K≤ N- 2和0≤ L≤ P- 2，dXk，lt=v（l）（t）ZR+φ（k）（x）N（2）（dt，dx）+（Xk+1，lt+Xk，l+1t）dt。（31）5.2假设2的主要结果，Xn，lt=Pn-1k=-1ckXk，Lt和Xk，nt=Pp-1l=-1dl（t）Xk，lt.这表明对于0≤ L≤ P- 2，dXn-1，lt=v（l）（t）ZR+φ（n）-1） （x）N（2）（dt，dx）+N-1Xk=-1ckXk，lt+Xn-1，l+1t！dt，（32）和0≤ K≤ N- 2，dXk，p-1t=v（p-1） （t）ZR+φ（k）（x）N（2）（dt，dx）+Xk+1，p-1t+p-1Xl=-1dl（t）Xk，lt！dt。（33）还有-1，p-1t=v（p-1） （t）ZR+φ（n）-1） （x）N（2）（dt，dx）+N-1Xk=-1ckXk，p-1t+p-1Xl=-1dl（t）Xn-1，中尉！dt，（34）此外，引理6给出了0≤ L≤ P- 1，dX-1，lt=v（l）（t）dN（2）t+X-1，l+1tdt。（35）和0≤ K≤ N- 2，dXk，-1t=ZR+φ（k）（x）N（2）（dt，dx）+Xk+1，-1tdt。（36）最后，再次通过假设2，我们得到以下两个方程：-1，p-1t=v（p-1） （t）dN（2）t+p-1Xl=-1dl（t）X-1，中尉！dt，（37）和dxn-1.-1t=ZR+φ（n）-1） （x）N（2）（dt，dx）+N-1Xk=-1ckXk，-1t！dt。（38）从方程（31）到（38），我们可以推导出动力学（30）。为了确保拉普拉斯变换在以下定理中的可处理性，我们还陈述了以下假设。假设3。对于每个λ>0，ZR+expλmax0≤K≤N-1φ（k）（x）G（x）dx<+∞.我们的主要结果如下。请注意，矩阵“uM givenby Tr（\'uM）=Pk，luk，lMk，l的轨迹计算了agiven矩阵M的组成部分的线性组合，并且回忆一下，“u表示矩阵u的换位。5.2主要结果ToRem 8。

让我们表示由（M（1），M（2））生成的规范过滤。在假设2下，（i）对于任何具有导数（A（1）t）和（A（2）t）的确定性和可微分矩阵（A（1）t）和（A（2）t），以下过程是FM鞅：Xi=1TrA（i）tM（i）t-ZtTrA（i）sC（i）M（i）s+A（i）sM（i）s\'D（i）s+A（i）sM（i）sds-ZtZR+eTrA（1）西南（1）（s，x）- 1.ρ（s）H（x）dxds-ZtZR+eTrA（2）西南（2）（s，x）- 1.u（s）+M（1）s[0,0]+M（2）s[0,0]G（x）dxds.（39）（ii）对于每个分别具有（n+1）（p+1）和（m+1）（q+1）维数的矩阵u和v，联合拉普拉斯变换可以表示为hexpTr（\'uM（1）t+\'vM（2）t）i=expZtZR+eTrA（1）西南（1）（s，x）- 1.ρ（s）H（x）dxds+ZtZR+eTrA（2）西南（2）（s，x）- 1.u（s）G（x）dxds,（40）我为什么∈ {1,2}，A（i）t+A（i）tC（i）+D（i）tA（i）t=锆+1.- eTrA（2）tW（2）（t，x）G（x）dxK、 （41）终端条件为A（1）T=\'u和A（2）T=\'v，（42），其中矩阵K由K=\'JJ给出，J在（13）中给出。此外，如果假设3满足，则存在（41）-（42）的解。定理8的证明我们首先展示指数鞅（39）。让我们表示hN（i），Hit=RtRR+H（s，x）N（i）（ds，dx）。对于确定性α（t，x）和β（t，x），则根据经典指数公式，以下过程是鞅exphN（1）、αit+hN（2）、βit-ZtZR+eα（s，x）- 1.ρ（s）H（x）dxds-ZtZR+eβ（s，x）- 1.u（s）+hZ（1）s-, ψsi+hZ（2）s-, ΦsiG（x）dxds.（43）现在的目标是计算过程M（1）和M（2）t的联合拉普拉斯变换。这仍然是为了计算EheTr（\'u.M（1）t+\'v.M（2）t）i，因为Tr（\'u.M）=Pk，luk，lMk，l.5.2主要结果让我们分别考虑两个（确定性）过程A（1）和A（2）两个尺寸（M+1）（q+1）和（n+1）（p+1）。通过部件集成，dA（i）tM（i）t=A（i）tdM（i）t+A（i）tM（i）tdt。

从（30）开始，我们得到了动态CSDTRA（i）tM（i）t=ZR+TrA（i）tW（i）（t，x）N（i）（dt，dx）+TrC（i）M（i）t+M（i）t\'D（i）t+A（i）tM（i）t让我们现在使用方程（43）和α（t，x）=TrA（1）tW（1）（t，x）β（t，x）=TrA（2）tW（2）（t，x）得到鞅（39）。为了得到拉普拉斯变换，仍然需要使被积函数（39）的随机部分消失。为此，让我们首先确定M（1）中的术语，以获得i=1的线性方程（41）。此外，对于i=2，M（2）中的项导致（41）。如果weset终端条件（42），我们通过（39）的鞅性质得到拉普拉斯变换（40）。利用柯西-利普希茨定理来总结这个定理的存在性和唯一性。为了证明Cto（41）类解的存在性和唯一性，有必要证明映射（Y，t）7→RR+eTr（yw（2）（t，x））G（x）dx属于C类。由于被积函数是由假设2（i）和（ii）给出的，因此有必要证明eTr（Y W（2）（t，x））Y，eTr（Y W（2）（t，x））tW（2）（t，x）（44）局部有界于某个独立于Y和t的量，并且相对于G是可积的。让我们使用一些局部化参数，并定义setB（0，r）={A实（n+1）×（p+1）矩阵，使得kAk∞≤ r} ，其中r>0和kak∞= 最大值-1.≤我≤N-1便士-1j=-1 |哎，j |。现在，对于（Y，t）∈ B（0，r）×我们得到expTrY W（2）（t，x）≤ 扩展-1Xi=-1p-1Xk=-1 |易，k|W（2）k，i（t，x）!≤ exp（n+1）最大值-1.≤我≤N-1p-1Xk=-1 |易，k|W（2）k，i（t，x）!≤ expr（n+1）最大值-1.≤L≤P-1中断∈[0，T]v（l）（t）最大值-1.≤K≤N-1.φ（k）（x）!,上一次的不平等使用了Y∈ B（0，r）。至于（44）的第一部分，“Yl，k≤ 对于第二个组成部分tW（2）k，l（t，x）≤φ（k）（x）监督∈[0，T]v（l+1）（t）, 通过使用假设2和假设3得出结论。

5.3关于路径代表5。3.关于霍克斯过程的路径代表性至于标准的霍克斯过程，我们可以用普通移民及其底层人口给出霍克斯过程的路径代表性。为此，让我们首先将第4节中的细化构造扩展到带有标记的点过程。泊松点测度不仅可以用来表示计数过程，还可以用来表示R+×E上的一般随机点测度，比如Γ（ds，dy）=Pn≥1δ（Tn，Yn）（ds，dy），其中（E，E）是一些可测空间。至于霍克斯过程，TN被视为个人进入人口的时间（移民或出生）。此外，E代表特征空间，符号Yn指的是到达时间Tn的个体所继承的特征。让我们构造一个随机点度量Γ（ds，dy），其一般强度度量γ（ds，dy）假设它允许一个密度：γ（ds，dy）=γ（s，y）dsu（dy）。在这个模型中，事件发生的强度为s7→Rx∈Eγ（s，x）u（dx），如果出生发生在时间Tn，则新生儿的特征yn用分布γ（Tn，y）u（dy）Rx绘制∈Eγ（Tn，x）u（dx）。设Q（ds，dy，dθ）是R+×E×R+上的泊松点测度，强度测度为u（dy）dθ。让我们仍然表示（FQt）由Q生成的规范过滤，并引入P（FQt）与FQt相关的可预测σ场。我们进一步假设γ（t，y）是P（FQt）×E-可测的，也假设γ（s，y）dsu（dy）<+∞ a、 s。。现在，定义Γ（ds，dy）=ZR+[0，γ（s，y）]（θ）Q（ds，dy，dθ）。（45）这清楚地定义了一个点度量，Q的鞅性质确保了随机点度量Γ（ds，dy）具有强度度量γ（s，y）dsu（dy）。这种构造可以在Massoulié（1998）中找到；更多细节请参阅本文。我们现在准备构造给定不等式（29）的两点测度N（1）和N（2）。

让我们在概率空间中引入两个独立的泊松点测度Q（1）（dt，dx，dθ）和Q（2）（dt，dx，dθ）(Ohm, F、 P）（必要时放大）在R+×R+×R+上用相同的强度测量dsdxdθ。由于其强度不依赖于第一点测量，因此第一点测量是即时构建的。实际上，一个常数（1）（dt，dx）=ZR+[0，ρ（t）H（x）]（θ）Q（1）（dt，dx，dθ）。我们强调这不是一个关于N（1）的方程，因为它的强度并不依赖于N（1）本身。对于与霍克斯过程有关的第二点过程，强度是作为过程本身的一个特殊性质给出的。事实上，点度量N（2）（dt，dx）的强度测量由λtG（x）给出，其中λtcan可以写入5。3在路径表示上使用（26）作为λt=u（t）+Z（0，t）Φt（t- s、 x）N（2）（ds，dx）+Z（0，t）ψt（t）- s、 x）N（1）（ds，dx）。然后，点度量N（2）可以定义为以下等式的解：N（2）（dt，dx）=ZR+[0，（u（t）+R（0，t）Φt（t-s、 x）N（2）（ds，dx）+R（0，t）ψt（t）-s、 x）N（1）（ds，dx））G（x）]（θ）Q（2）（dt，dx，dθ）。现在让我们给出相应种群的路径表示。由式（27）可知，Z（1）t（da，dx）=Z（0，t]ZR+×R+[0，ρ（s）H（x）]（θ）δ（t-s、 x）（da，dx）Q（1）（ds，dx，dθ）。（46）andZ（2）t（da，dx）=Z（0，t]ZR+×R+h0，u（s）+hZ（2）s-,Φsi+hZ（1）s-,ψsiG（x）i（θ）δ（t）-s、 x）（da，dx）Q（2）（ds，dx，dθ）。（47）此类表述用于具有年龄和/或特征的人口的随机人口动力学领域（具体见Fournier和Méléard（2004）、Tran（2008）和Bensusan等人（2010-2015））。对于标准的Hawkesprocess，路径表示有许多优点。特别是，它允许导出完整的方程组，并确定每一代（见第4节）。更重要的是，该公式将霍克斯过程文献与随机种群动力学领域联系起来。