霍克斯过程的人口观

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英文标题：
《Population viewpoint on Hawkes processes》
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作者：
Alexandre Boumezoued
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper focuses on a class of linear Hawkes processes with general immigrants. These are counting processes with shot noise intensity, including self-excited and externally excited patterns. For such processes, we introduce the concept of age pyramid which evolves according to immigration and births. The virtue if this approach that combines an intensity process definition and a branching representation is that the population age pyramid keeps track of all past events. This is used to compute new distribution properties for a class of linear Hawkes processes with general immigrants which generalize the popular exponential fertility function. The pathwise construction of the Hawkes process and its underlying population is also given.
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中文摘要：
本文研究一类具有一般移民的线性Hawkes过程。这些是具有散粒噪声强度的计数过程，包括自激和外激模式。对于这些过程，我们引入了年龄金字塔的概念，它根据移民和出生而演变。这种结合了强度过程定义和分支表示的方法的优点是，人口年龄金字塔跟踪所有过去的事件。这是用来计算一类具有一般移民的线性Hawkes过程的新分布性质，它推广了流行的指数生育率函数。文中还给出了霍克斯过程及其基本种群的路径构造。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Mathematical distribution Construction Applications Differential

Hawkes过程的人口观点Lexandre BoumezouedApril 27，2015摘要本文主要研究一类具有一般移民的线性Hawkes过程。这些是具有散粒噪声强度的计数过程，包括自激和外激模式。对于这些过程，我们引入了年龄金字塔的概念，它根据移民和出生而演变。这种结合了强度过程定义和分支代表性的方法的优点是，人口年龄金字塔跟踪所有过去的事件。这是用来计算一类具有一般迁移的线性Hawkes过程的新分布性质，它推广了流行的指数生育函数。霍克斯过程及其潜在种群的病理结构也是如此。关键词：霍克斯过程，分支，迁移，年龄金字塔，非平稳性，拉普拉斯变换，细化，泊松点测度。1引言本文研究了一些种群动力学模型与一类霍克斯过程之间的联系。我们对行为受过去事件影响的过程感兴趣，这些事件是自激的和外部激励的。霍克斯（Hawkes，1971）提出了具有散粒噪声强度的自激励过程，famousHawkes过程迄今已被用于多种应用，包括地震学、神经科学、流行病学、保险和金融等。霍克斯过程的散粒噪声强度（Nt）表示为λt=u+XTn<tφ（t- Tn），这项工作得益于ANR项目Lolita（ANR-13-BS01-0011）的财政支持，以及Risque基金会的Risque金融家主席。法国巴黎75005年，巴黎大学第6校区，巴黎大学第4广场，UMR CNRS 7599号，概率与模态实验室（LPMA）。

电子邮件：alexandre。boumezoued@upmc.frwheretn是霍克斯过程N本身的跳跃次数，u>0和φ是非负函数。在霍克斯模型中，当事件发生在时间Tn时，强度增加φ（t- Tn）：这模拟了自激特性。此外，出于许多建模目的，随着t的增加，φ返回到零，因此长时间后自激励消失。总的来说，每一个事件都会随着其强度的增加而激发系统，但这种增加会随着时间的推移而消失，因为很自然地要模拟这样一个事实，即非常古老的事件对过程的当前行为的影响可以忽略不计。在文献中，最近的贡献集中于具有自我激励行为的过程，以及一些外部激励成分。据我们所知，在Brémaud and Massoulié（2002）中引入了针对普通移民的霍克斯过程，在最近由金融应用推动的研究中也可以找到特定形式，如Dassios and Zhao（2011）、Wheatley et al（2014）和Rambaldi et al（2014），其中外部冲击、新闻到达和传染对建模至关重要。在本文中，我们感兴趣的是一类具有一般移民的霍克斯过程（见Brémaud和Massoulié（2002）），其强度的形式为λt=u（t）+XTn<tΦt（t- Tn，Xn）+XSk<tψt（t- Sk，Yk）。在这个模型中，Tn是N的跳跃次数：如果一个事件发生在系统时间Tn内，强度增加Φt（t- Tn，Xn），其中Xnis somemark。这部分对自激特性进行了建模。同时，外部事件以一定量的ψt（t）发生并激发感兴趣的系统- Sk，Yk）：这是外部激励组件。在这些模型的吸引人的特性中，其中一个来自强度的shotnoise形式。

这被称为霍克斯过程的集群（或分支）表示，它基于以下注释：如果事件发生在时间Tn，那么t- 这只不过是t.Fewyears时这一事件的“年龄”。在霍克斯（1971）的开创性工作之后，霍克斯和奥克斯（1974）提出了自激过程的集群表示法。他们将其解释为随年龄变化的移民出生过程：他们证明，在某些平稳条件下，它可以被描述为分支泊松过程（也称为泊松聚类）。此外，在Dassios和Zhao（2011）中，通过集群表示给出了动态传染过程的定义。到目前为止，大多数关于霍克斯过程的研究都回顾了移民的出生表征，如下所示：移民有时是由强度为u的泊松过程给出的。然后，每一个移民开始了新一代：它产生了具有生育功能φ的新个体，每个人产生了具有相同生育功能φ的新个体。这通常被用作霍克斯过程的定义，为其行为提供良好的直觉。霍克斯和奥克斯（1974）的聚类表示法要求每个个体的平均子女数为kφk=R∞φ（a）满足kφk<1。在本文中，我们展示了潜在的移民出生动态，这不需要平稳假设。人口中的每个人都有自己的年龄和特点。这种结合了强度过程定义和分支表示的方法的优点是，人口年龄金字塔保持了所有过去事件的轨迹。这用于计算具有一般移民的线性Hawkes过程类的新分布性质。在文献中，Hawkes过程的分布特性已经在平稳条件下进行了研究。

Hawkes（1971）研究了二阶平稳性，而Adamopoulos（1975）利用Hawkesand Oakes（1974）的聚类表示推导了平稳性下的概率生成泛函。在这项工作中，Adamopoulos（1975）将概率母函数表示为某个函数方程的解。此外，Brémaudand Massoulié（2002）介绍了利用Bartlett谱研究平稳Hawkes过程矩的框架。我们还要提到最近两项关于平稳性下分布性质的研究。动量母函数在Saichev和Sornette（2011）中表示为某种超越方程的解。此外，Jovanovi'c等人（2014年）提出了一种图形化方法来推导累积量密度的闭式表达式，从而得出平稳Hawkes过程的矩。有趣的是，最近的贡献依赖于Hawkesand Oakes（1974）的静态分支表示。近年来，非平稳条件下统计性质的计算在数学分析和统计估计技术中得到了广泛的关注。然而，该框架中的最新研究只关注一个指数生育率φ（t）=αeβt。他们所依赖的工具是强度过程（λt）的最小发生器，对于这种指数生育率而言，它是马尔可夫的（见Oakes（1975））。这包括Errais等人（2010）、A"it-Sahaliaet等人（2010）、Dassios和Zhao（2011）以及Da Fonseca和Zaatour（2014）的工作。

我们的论文将这些研究自然地推广到更广泛的Hawkes过程中。本文的范围本文的目的是（i）为一般Hawkes过程引入年龄金字塔的概念，并研究其随时间变化的动力学，（ii）使用此概念计算一类推广了流行指数情况的肥力函数的新分布性质，以及（iii）对霍克斯的一般过程及其潜在的移民动态给出一个可行的描述。我们将人口描述为随年龄变化的多类型动态，包括移民和突变出生。我们引入年龄金字塔概念的人口观点受到Bensusan等人（2010-2015）的启发（另见Tran（2008））。正如Bensusan等人（2010-2015）所强调的那样，关键的观点是，人口年龄结构和特征（保持对过去事件的跟踪）提供了比强度本身更多的信息，并允许研究整个系统。通过这种方式，我们讨论了一类广泛的时间相关生育函数的一般移民的霍克斯过程的分布性质的计算。我们还给出了一个由泊松点测度驱动的随机方程的测度值过程解表示的年龄金字塔的路径构造，这是Thinning数值过程的理论对应。我们的方法似乎通过强度过程或分支动力学来调和霍克斯过程的两个定义。论文的结构如下。第2节重点介绍了标准霍克斯过程与时间无关的生育功能。在这个特殊的案例中，我们给出了人口的观点，并研究了年龄金字塔随时间的变化。

第三章，我们用这个概念计算了一类Hawkes过程的新分布性质，如动量和Laplace变换，它推广了PopularePontial情形。第4节详细介绍了标准Hawkesprocess及其底层总体的路径构造。我们的一般人口代表性和结果在第5节中给出，其中我们重点讨论了具有一般移民的霍克斯过程。特别地，我们推导了一类广泛的时间相关生育率函数的动力学和拉普拉斯变换。2.人口观点（标准线性）霍克斯过程的定义及其强度很低。让(Ohm, A、 P）是满足通常条件的概率空间。再次证明计数过程（Nt）的强度过程（λt）是（FNt）可预测的过程，因此Nt-Rtλsds是（FNt）-局部鞅，其中（FNt）表示（Nt）的正则过滤。定义1。设φ为连续非负映射。具有核φ的霍克斯过程（Nt）是一个具有典型过滤（FNt）的计数过程，它允许（FNt）可预测的强度λt=u+XTn<tφ（t- Tn）=u+Z（0，t）φ（t- s） dNs，（1）其中u>0，而（Tn）是（Nt）的跳跃次数。前面的定义提供了强度过程的表示，为了研究霍克斯过程的行为，这很有趣。但事实上，关于动力学的所有信息都丢失了。事实上，回顾霍克斯和奥克斯（1974）的分支代表，将潜在的人口动态铭记在心，是很有趣的。首先，移民根据参数为u的泊松过程到达。然后，每一个移民按照以下规则生成一组后代：如果一个个体在某个时间到达或出生，它将以φ（t）的速率产生新的个体- s） 在时间t。

请注意，事实上-s只不过是在s时出生的个体在t时的年龄。因此，生育机制可以重新表述为：人口中任何年龄为a的个体以φ（a）的速率生育。整个动力学描述了一个随年龄变化的移民出生过程，其中移民率为u，出生率为φ（a）。由于移民出生机制对于理解霍克斯动力学至关重要，现在的目标是跟踪人口中的所有年龄段。解决这个问题的一种方法是计算在时间t时年龄低于‘a>0的个体数量，表示为Zt（[0，‘a]）。这可以计算为在时间t之前到达的个体数量，而不是在时间t之前到达的个体数量- \'a，即zt（[0，\'a]）=Nt- 新界-\'a=Z（0，t]t-s≤“阿德斯。前面的方程式表明，对于固定的t，这定义了年龄间隔+的度量，这是跳跃度量dNt的图像。它可以写成zt（da）=Z（0，t]δt-s（da）dNs=NtXn=1δt-田纳西州（da）。（2） 请注意，Zt（da）只收取[0，t]的费用，因为在时间0之后出生的个体都不能达到大于t的年龄。从形式上讲，Zt（da）的衡量标准是对每个在时间t时活着的人的年龄进行加权，因此我们在人口统计分析中称之为年龄金字塔。一般来说，人口统计学研究关注的是每一年龄组的个体数量，例如一年，因此感兴趣的数量是e.g.Zt（[a，a+1]）。度量表示法的优点是，可以通过将人口年龄结构与年龄金字塔进行积分来计算人口年龄结构的函数f。为此，我们使用符号hzt，fi=ZR+f（a）Zt（da）=Z（0，t]f（t）- s） dNs。（3） 例如，霍克斯过程可以计算为Nt=hZt，1i。

此外，方程（1）中定义的强度过程可以使用（3）重写为λt=u+hZt-, φi.强度是迁移强度u和个体出生强度之和：这确实是迁移率u和出生率φ（a）的移民出生过程的强度，其中所有个体都独立行为。视为一个随机过程，（Zt（da））t≥0是一个度量值过程。实际上，这是一个金字塔过程，也就是度量值过程（Zt（da））t≥0是一个马尔可夫过程（见Tran（2006））。然而，请注意，它在时间上的差异并不直接（见Bensusan等人（2010-2015）和下面的引理1）。年龄金字塔过程的马尔可夫性质表明，所有需要的信息都包含在人口年龄结构中。让我们提到哈里斯（1963年）的开创性观点，他说，“如果我们不只是通过存在的物体数量，而是通过所有物体的年龄列表来描述当时人口的状态，那么从广义上讲，我们获得马尔可夫过程似乎在直觉上是合理的。”然而，在实践中，这些信息“太大”，无法进行易于处理的计算。在下一节中，我们将说明如何确定一些最小的组件，以添加到霍克斯过程中，从而使动力学马尔可夫。为此，我们首先需要解决年龄金字塔的时间演化问题。下面的引理详细说明了在f可微的情况下hZt，fi的动力学。这是我们在第3节中得出结果的关键工具。引理1。对于每个不同的f:R+→ R、 hZt，fi=f（0）hZt，1i+ZthZs，fids。（4） 引理1的证明。让我们在s和t之间写，f（t）-s） =f（0）+Rtsf（u）-s） duan将其用于方程（3）中，得到hZt，fi=f（0）hZt，1i+RtRtsf（美国）- s） 杜dNs。根据富比尼定理，和的最后一项是相等的联阵（美国）- s） 域名解析根据方程式（3），这等于toRthZu，fidu。

证据到此结束。分解（4）在测度值人口动力学领域是经典的（见Tran（2008）和Bensusan等人（2010-2015））。第一个术语指的是0岁个体到达的纯跳跃部分，而运输类型的第二个术语说明了老龄化现象：所有年龄都沿时间轴转换。特别是，这说明了为什么强度过程λt=u+hZt-, 在生育率函数是指数函数的情况下（见Oakes（1975）），即φ（a）=αeβa。在这种情况下，φ=βφ，方程（4）中有f≡ φ导致差异形式DHZT，φi=αdNt+βhZt，φidt。注意，Dnton通过当前值λt依赖于（λt）的过去，这证明了马尔可夫性。这句话是我们研究的起点，它在自然环境中扩展了指数情况。3指数情况在本节中，目的是使用第2节中引入的年龄金字塔过程的概念，计算非平稳3的几个分布特性。1关于出生率霍克斯过程的假设。特别是，我们提供了一阶和二阶矩的普通微分方程和拉普拉斯变换。所有的计算都是在出生率φ的假设下进行的，这自然扩展了普遍的假设情况。3.1关于出生率的假设假设1。地图∈ R+7→ φ（a）是非负的，属于Cn（R+）类，存在c=（c）-1.cn-1) ∈ Rn+1使得φstatisφ（n）=c-1+n-1Xk=0ckφ（k），（5）初始条件φ（k）（0）=mk，对于0≤ K≤ N- 1.满足假设1的出生率包括指数情况，但也包括对各种应用感兴趣的生育力函数。