霍克斯过程的人口观

让我们介绍向量=（1，m，…，mn）-1） T，（6）和矩阵C=（Ci，j）-1.≤i、 j≤N-1受Ci驱动，i+1=1表示0≤ 我≤ N- 2和CN-1，j=cj表示-1.≤ J≤ N- 1，所有其他组件均为零。因为它完全由向量c决定，所以我们表示c（c）=0 00 1......0摄氏度-1c··cn-2cn-1.. （7） 方程（5）可以改写为Φ=CΦ，其中Φ=（1，φ，…，φ（n-1） T，谁的解由Φ（a）=eaCm给出。然后φ可以恢复为矩阵Φ（a）的第二个分量。特别地，如果多项式P（y）=yn-Pn-1k=0ckykis，具有不同的根y。。。，和相应的多重数n。。。，np，那么φ可以写成一个常数asPpi=1Pi（a）Eyia，其中Pi是一个多项式，其阶数为ni-1.这是一组非常大的函数，用于逼近假设1范围之外的任何受精函数。例如，幂律核在许多应用中都很重要。在地震的背景下，大森定律描述了流行病型余震（ETAS）模型：它对应于一种特殊形式φ（a）~Ka1+. 此外，在金融微观结构领域，最近的研究（参见E.g.Hardiman等人（2013））发现，高频金融活动最好通过具有幂律核的霍克斯过程来描述，而不是指数过程。3。2具有切向效应的动态幂律核可以近似为Hardiman等人（2013）中的情形，通过光滑函数φ（a）=M将其近似为常数-1Xi=0e-a/（τmi）（τmi）1+- 硒-a/（τm）-1） 式中，S为φ（0）=0。一般来说，人们可以用近似理论构造一系列生育率函数，这些函数趋向于原始函数。因此，这构造了一系列近似原始霍克斯过程的霍克斯过程。3.2动态让我们回到时间金字塔的动态。

使我们能够计算分布特性的关键特性是，人口使我们能够识别要添加到霍克斯过程中的成分及其强度，从而使动力学成为马尔可夫过程。这是在下面的命题中陈述的。提议2。在假设1下，过程Xt=（hZt，1i，hZt，φi，…，hZt，φ（n-1） i）Tsatis fies dynamicsXt=Ntm+ZtCXsds，（8）其中向量m和矩阵C分别在（6）和（7）中给出。特别是，X是一个马尔可夫过程。命题2的证明。让我们用引理1得到0≤ K≤ N- 1，带F≡ φ（k），hZt，φ（k）i=mkNt+ZthZs，φ（k+1）id。（9） 通过假设1，我们得到了rhzt，φ（n）-1） i=mn-1Nt+n-1Xk=-1ckZthZs，φ（k）内径，（10）带φ(-1)≡ 1.这意味着动力学（8），这也表明Xis是一个马尔可夫过程。（n+1）维向量Xt的动力学（8）给出了一组n方程，X的第一个分量是自由的Hawkes过程n。在第四节中，我们将通过基于泊松点测度的随机表示给出一个关于霍克斯过程N的方程。这将为X的组成部分提供一个完整的方程组，以及一个路径表示。目前，我们感兴趣的是推导X.3.3动量3中霍克斯过程及其附加分量的几个分布性质。3动量一阶矩方程（8）的微分系统是线性的，允许我们提出一个简单的一阶矩微分方程。我们还可以对小尺寸n=1和n=2进行显式计算。提议3。

在假设1下，向量映射u（t）：=E[Xt]是解tou（t）=um+Au（t），（11）其中（n+1）×（n+1）矩阵A由A=C+mJ给出，（12）其中j=（0，1，0，…，0），（13），向量m和矩阵C分别在（6）和（7）中给出。命题3的证明让我们使用补偿计数过程的鞅性质，然后使用Fubini定理和Lebesgue measurecharges无点的事实来得到E[Nt]=Rt（u+E[hZs，φi]）ds。现在，让我们取期望值（8）并使用前面的公式得到等式（11）。微分方程（11）允许获得预期事件数的显式公式。我们回忆起流行的指数情形φ（a）=e的一阶矩-ca（参见Dassios和Zhao（2011））并给出出生率φ（a）=αae的明确公式-βa.注意，这种情况可用于模拟激励下的平滑延迟的各种应用。还要注意一阶矩的不同行为，尤其是在临界情况下∞φ（a）da=1，对应于c=1和α=β。对于下面给出的两个例子，计算留给读者。推论1。对于φ（a）=e的Hawkes过程-ca，c>0，（假设1中n=1），E[Nt]=ut+t如果c=1，E[Nt]=u1- Ce（1）-c） t- 11- C- 计算机断层扫描, 如果c6=1。推论2。对于φ（a）=αae的Hawkes过程-βa，α，β>0，（在消耗1中n=2），E[Nt]=u8β1.- E-2βt+3ut+βut，如果α=β，E[Nt]=μβ- αt+αue（α）-β） t- 1(α - β)-E-（α+β）t- 1(α + β), 如果α6=β.3.3动量本小节中的二阶矩，我们导出过程Xt的方差方差矩阵的动力学：=（Nt，hZt，φi，…，hZt，φ（n-1） i）T.因此，我们将二阶矩表示为线性有序微分方程的解。

我们的方法基于微分微积分和微分过程（Xt）以及动力学（8），可以扩展到更高的矩。提议4。让我们引入方差-协方差矩阵Vt=Xt‘Xt，其中‘Xt表示Xt的转置。然后矩阵vt满足动态vt=dNtXt-“m+m”Xt-+ 嗯+ dtVt-C+CVt.具体而言，矩阵v（t）=E[Vt]满足以下普通微分方程v（t）=v（t）`A+Av（t）+u（m\'m+u（t）`m+u（t）`m+Ju（t）m.（14），其中u（t）是（11）的解，矩阵A在（12）中定义。命题4的证明。让我们使用符号Xt=（X[-1] t，X[0]t。。。，X[n-1] t）。通过部件进行集成，例如-1.≤ l、 k≤ N- 1，dX[k]tX[l]t= X[k]t-dX[l]t+X[l]t-dX[k]t+mkmldNt。上一个等式显示dVt=Xt-d\'Xt+（dXt）\'Xt-+ dNt。根据命题2，由于Lebesgue测度不收费，我们得到DVT=dNtXt-“m+m”Xt-+ 嗯+ dtVt-C+CVt.回想一下u（t）=E[Xt]。现在，将上一个等式中的期望值取为getv（t）=Eh（u+X[0]t）Xti\'m+mEh（u+X[0]t）\'Xti+u+E[X[0]t]m\'m+v（t）\'C+Cv（t）。最后，请注意X[0]tXt=Vt\'J，我们记得J是由J=（0，1，0，…，0）定义的，这使得前面的方程简化为（14）。我们给出了流行的指数生育率函数φ（a）=e的显式公式-对于φ（a）=βae的情况，在更高的阶上-βa，与临界情况相对应，因为每个个体的平均儿童数量满足∞φ（a）da=1。计算基于微分方程（14），由读者自行决定。推论3。对于φ（a）=e的Hawkes过程-ca（假设1中n=1），Var（Nt）=ut1+t+t+t如果c=1，则Var（Nt）=u（1- c）1.- c/21- ce2（1）-c） t+3c- 11- C- 2cte（1）-c） t- ct+c（1/2）- 3c）1- C, 如果c6=1.3.4拉普拉斯变换推论4。

对于φ（a）=βae的Hawkes过程-βa（假设1中n=2），强度的方差由var（λt）=βu给出-+3βt+βt+1- β-te-2βt-E-4βt.3.4拉普拉斯变换的目的是展示与过程X相关的指数鞅，从而以半显式形式表达其拉普拉斯变换。这在下面的命题中给出。有趣的是，（i）点指的是一些前向鞅，而（ii）点关注的是后向鞅。注意，基于拉普拉斯变换，恢复任意阶矩是经典的。提议5。让我们表示（FXt）过程X的规范过滤，并让我们在假设1下工作。（i） 对于任何确定性和可微的At，以下过程是（FXt）鞅：exp在Xt-兹塔斯。（CXs）ds-兹塔斯。Xsds-Zt（eAs.m）- 1） λsds. （15） （ii）对于任何（n+1）实向量v，E[exp（v.XT）]=exp-uZT（1）- eAs。m） ds, （16） 其中矢量图A满足以下非线性微分方程“CAt+At+（eAt.m- 1） J=0，（17）终端条件为=v。这里，v.XT表示vand XT之间的标量积，J在（13）中定义，`C是矩阵C的转置。（iii）此外，方程（17）存在唯一解。命题5的证明指数公式表明，对于任何确定性αs，expZtαsdNs-Zt（eαs）- 1） λsds. （18） 现在，通过分段积分和使用等式（8），在。Xt=ZtAs。dXs+ZtAs。Xsds=ZtAs。mdNs+ZTA。（CXs）ds+ZTA。Xsds。然后通过方程（18），αs=As。m、 （15）中的过程是鞅。为了证明第二点，我们的目标是找到一个形式为exp{At.Xt+D（t）}的鞅，其中有一些确定性的D（t）和一个终端条件At=v。为了做到这一点，让我们选择（15）中被积函数的随机部分消失。

因为λs=u+hZs-, φi，这等于得到每个向量X=（X[-1], ...., X[n-1] ）猫。X+At。X+（eAt.m）- 1） （u+X[0]）=0。（19） 现在，让我们确定X中的项，从而得出A:“CAt”的方程式。X+At。X+（eAt.m）- 1） X[0]=0，即“CAt+At+（eAt.m- 1） J=0，其中J在（13）中定义。如果我们把终端条件设为=v，我们得到方程（20）。最后，方程（17）的存在性和唯一性源自柯西-利普希茨定理，自地图Y 7起→\'\'CY+（eY.m.）- 1） J是Con Rn+1类，因此是连续的和局部的lipschitz。前面的结果可以用一个函数来表示，下面是关于霍克斯过程及其强度的推导。证据见附录。推论5。在假设1下，对于每个实θ和θbyE[exp（θNT+θλT）]=exp，给出了霍克斯过程的联合拉普拉斯变换及其强度(-u(-1） nG（n）（0）+n-1Xk=0(-1） k+1kg（k）（0）！），（20） 其中，函数G满足非线性常微分方程：对于每个0≤ T≤ T(-1） n-1G（n+1）（t）+n-1Xk=0(-1） kckG（k+1）（t）+expθ- C-1G（t）+n-1Xk=0bkG（k+1）（t）！- 1=0，终端条件G（k）（T）=0表示0≤ K≤ N- 1和G（n）（T）=(-1） n-1θ，（21）和0≤ K≤ N- 1，bk=(-1） k锰-1.-K-Pn-1l=k+1mn-1.-lcn-l+k.4霍克斯种群的路径表示本节的目的是详细介绍霍克斯进程及其底层种群的路径构造。这是通过泊松点测度驱动的随机微分方程实现的。这种方法的优点在于，它似乎能够调和霍克斯过程的强度过程定义及其分支表示。

我们首先以泊松测度描述霍克斯过程的构造，然后展示驱动广义指数情形的方程组，最后讨论一般出生率的路径人口动态。霍克斯过程的构建定义中出现的一个问题1指的是这种过程的构建和路径唯一性的概念。答案可以通过细化表示给出，其工作原理如下。考虑泊松点度量Q（ds，dθ），强度度量Q（ds，dθ）=R+×R+上的dsdθ（定义见例如inlar（2011）），并表示（FQt）由Q生成的标准过滤。注意，强度度量Q不是有限的，只是σ-有限的，这使得不可能对泊松点测度Q的时间点进行排序。但这种灵活的表示允许表示广泛的计数过程。设（λt）是一个（FQt）可预测的过程，例如，对于每个t>0，Rtλsds<+∞. 接下来的过程（Nt）是一个计数过程，其（FQt）-可预测强度λt:Nt=R（0，t]RR+[0，λs]（θ）Q（ds，dθ）。实际上，N显然是一个计数过程，因为Q的每个原子的权重为1或0。此外，由于a.s.Rtλsds<+∞, 泊松点测度的鞅性质确保-RtRR+[0，λs]（θ）dθds=Nt-Rtλsds是一个（FQt）-局部鞅。现在，让我们描述一下霍克斯过程的构造。由于（1）中的强度是作为过程本身的一种特殊形式给出的，因此我们的想法是将霍克斯过程定义为随机方程n=Z（0，t]ZR+[0，u+R（0，s）φ（s）的解-u） dNu]（θ）Q（ds，dθ）。（22）关于霍克斯过程（甚至非线性）的存在性和唯一性的一般结果可以在Brémaud和Massoulié（1996）和Massoulié（1998）中找到（参见Delattre et al.（2014）以及Daley和Vere Jones（2008）和inlar（2011）的著作）。

将计数过程表示为随机方程解的细化方法实际上是经典的。这种普遍的数学表达可以追溯到克斯坦（1964）和格里格里奥尼斯（1971）。其中一个经常提到刘易斯和谢德勒（1978年）以及绪方（1981年）提出的thinningalgorithms，这些算法对于非常复杂的强度过程进行数值模拟非常有用。当人们想要展示霍克斯过程的存在时，稀释公式的第一个优点就出现了。这是通过Picard迭代法完成的（见Massoulié（1998））：一个人构造一个序列（Nk）k≥0计数进程从N开始≡ 0和k≥ 0，Nk+1t=Z（0，t]ZR+[0，u+R（0，s）φ（s-u） dNku]（θ）Q（ds，dθ）。（23）可以证明序列（Nk）是柯西的，因此收敛到所需的过程。此外，另一个优点是具有很强的独特性。对于这个问题，细化表示似乎具有使用“一次一个噪声”的优点，从而给出路径构造和结果。有趣的是，Delattre et al.（2014）使用这种方法来显示相互作用的Hawkes过程的有限图的存在性和唯一性。由于路径表示和迭代构造，还可以识别动力学中的每一代。事实上，我们在（23）中看到了柯西序列的构造，它计算了移民的数量，而N- N统计移民的子女- 移民的孙辈等等。一般来说，Nk+1t- Nktis是在时间t之前出生的k代个体的数量。这表明了路径构造的另一个优势：所谓的“细化参数”θ提供了有关动力学的额外信息，特别是可以单独研究每一代。

在给出年龄金字塔的表示之前，我们首先回到指数情况的扩展。我们首先讨论出生率φ满足假设1的特殊情况。（n+1）的动力学-维度向量Xt:=（Nt，hZt，φi，…，hZt，φ（n-1） i）第（8）条中给出了dXt=dNtm+CXtdt。这实际上给出了n个方程，第一个坐标是自由的。路径表示法（22）允许通过dxt=ZR+m1h0，u+X[0]t导出完整的方程组-i（θ）Q（dt，dθ）+CXtdt，其中我们回忆起符号Xt=（X[-1] t，X[0]t。。。，X[n-1] t）。具有一般生育功能的移民生育过程在出生率一般的情况下，必须代表整个年龄金字塔，即给出基本移民生育过程的细化表示。在人口动力学领域，这种方法被用于构建随年龄增长的出生-死亡过程，尤其是在Bensusan等人（2010-2015年）中（另见Fournier and Méléard（2004年）和Tran（2008年））。从方程（3）和（22）中，我们得到了路径表示zt（da）=Z（0，t]ZR+[0，u+hZs-,φi]（θ）δ（t）-s） （da）Q（ds，dθ）。（24）这说明了一个事实，即t时的人口只不过是t时（移民或出生）之前到达的所有个体；如果一个人在某个时间到达，那么他在时间t的年龄是t- s、 注意，在这种形式下，区别并不直接（见Bensusan等人（2010-2015））。但从引理1中，我们可以写出以下（有限）方程组：对于每个可微的f:R+→ R、 dhZt，fi=f（0）ZR+[0，u+hZt-,φi]（θ）Q（dt，dθ）+hZt，fidt。（25）这种方法似乎调和了霍克斯过程的强度过程定义及其分支表示。事实上，人口年龄金字塔是通过方程（25）给出的，它是一个具有自身强度的随机测度值过程。

在讨论霍克斯过程的最后一部分之前，我们将在下面的备注中简要讨论现有的集群表示。备注1。我们回顾了霍克斯过程的定义，即霍克斯和奥克斯（1974年）提出的泊松聚类，以及戴利安·维尔·琼斯（2003年）一书中的调查。设Nc（ds）是R+上的泊松点度量，强度度量为uds：这定义了簇中心，也称为祖先。让我们介绍一类点过程{N（dt|s），s∈ R+}。对于每一个s，N（dt）定义了位于s的祖先群中的所有泉水的位置。聚类过程^N通过^N（dt）=RR+|N（dt）Nc（ds）计算所有移民的所有泉水的数量。也就是说，截至时间t的所有有效弹簧的数量由^N（[0，t]）=ZR+-N（[0，t]|s）Nc（ds）给出。因此，在集群表示法中，霍克斯过程可以写成移民及其影响力的总和，即Nc（[0，t]）+N（[0，t]）。值得注意的是，通过使用分支过程领域的结果，聚类表示法已证明有助于研究平稳性下的霍克斯过程。我们的人口代表似乎是非平稳的对应物，因为它允许我们在这个框架中导出新的分布属性。我们的人口代表性不仅提供了截至时间t的总后代的大小，而且还根据人口年龄结构提供了各种感兴趣的数量。第3节中使用了这一点，以确定使动力学马尔可夫所需的组件。